基于“新工科”的線性代數(shù)案例式教學(xué)模式的研究與實(shí)踐

黃 影, 張麗華

(沈陽(yáng)師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽(yáng) 110034)

0 引 言

基于“新工科”的線性代數(shù)案例式教學(xué)模式是指通過研究線性代數(shù)知識(shí)在工程、物理、電子、信息、化學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域中的應(yīng)用,進(jìn)行合理的教學(xué)設(shè)計(jì),在線性代數(shù)的課堂教學(xué)中,通過引入實(shí)際案例,使學(xué)生能夠?qū)W以致用,為培養(yǎng)創(chuàng)新型和研究型人才打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

1 基于“新工科”的線性代數(shù)課程建設(shè)的背景、內(nèi)容

1.1 基于“新工科”的線性代數(shù)課程建設(shè)的背景[1-3]

教育部于2017年4月公布的《“新工科”建設(shè)行動(dòng)路線》中明確提出,“新工科”是我國(guó)教育改革的方向,眾多綜合類高校及工科優(yōu)勢(shì)高校共同探討,達(dá)成“復(fù)旦共識(shí)”“天大行動(dòng)”“北京指南”,為順應(yīng)國(guó)際形勢(shì),開創(chuàng)工程教育改革的新發(fā)展思路,提出了“新工科”的教育理念。新工科的內(nèi)涵是: 以立德樹人為引領(lǐng),以應(yīng)對(duì)變化、塑造未來(lái)為建設(shè)理念,以繼承與創(chuàng)新、交叉與融合、協(xié)調(diào)與共享為主要途徑,培養(yǎng)多元化、創(chuàng)新型的卓越工程人才。這種新工科人才既具備運(yùn)用既定知識(shí)解決現(xiàn)有問題的實(shí)操能力,又能夠持續(xù)學(xué)習(xí)、自我更新,跟進(jìn)知識(shí)和技術(shù)的迭代,成為引領(lǐng)科技革新和產(chǎn)業(yè)發(fā)展的中堅(jiān)力量。

線性代數(shù)是高等院校理工科及經(jīng)濟(jì)管理等各專業(yè)的一門數(shù)學(xué)公共課,它是學(xué)生后續(xù)專業(yè)課程學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)和理論工具,對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力、空間想象能力、解決實(shí)際問題能力具有重要的作用。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和國(guó)際新形勢(shì)的出現(xiàn),線性代數(shù)在工程學(xué)、物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會(huì)學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域發(fā)揮的作用日益顯露出來(lái)。線性代數(shù)課程的授課教師面臨新的挑戰(zhàn),在進(jìn)行課程教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí),要多關(guān)注不同專業(yè)學(xué)生需要哪類相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí),選取具有專業(yè)背景的教學(xué)案例進(jìn)行教學(xué),使線性代數(shù)的教學(xué)更有針對(duì)性。使學(xué)生能夠在學(xué)習(xí)的過程中,真正體會(huì)到學(xué)以致用的樂趣,擺脫以往學(xué)習(xí)目標(biāo)不明確、學(xué)習(xí)動(dòng)力不足等困境。線性代數(shù)教學(xué)方式的改變,授課教師要多思考如何通過改進(jìn)教學(xué)方法和考核方式,在有限的課時(shí)內(nèi),將應(yīng)用案例融入到教學(xué)中來(lái),使線性代數(shù)的課程建設(shè)適應(yīng)新工科建設(shè)和發(fā)展的要求。

1.2 基于“新工科”的線性代數(shù)課程建設(shè)的內(nèi)容[4-6]

1.2.1 建立線性代數(shù)與專業(yè)知識(shí)有機(jī)統(tǒng)一的教學(xué)模式

設(shè)計(jì)教學(xué)案例要有專業(yè)針對(duì)性,以解決專業(yè)性問題的需求為目標(biāo)來(lái)提出問題、引入概念、設(shè)計(jì)解決方案,并將此問題貫穿一節(jié)課的始終,引導(dǎo)學(xué)生在探索專業(yè)性問題解決方案的過程中逐步建構(gòu)線性代數(shù)知識(shí)體系,加深學(xué)生對(duì)課程內(nèi)容本質(zhì)的理解,在潛移默化間培養(yǎng)他們的問題意識(shí),培養(yǎng)初步的科學(xué)研究意識(shí)。以計(jì)算機(jī)工程類、信息類的新工科專業(yè)為例,深入發(fā)掘?qū)I(yè)課中隱含的線性代數(shù)知識(shí),針對(duì)不同的章節(jié)設(shè)計(jì)與此相關(guān)的教學(xué)內(nèi)容,如利用圖像變換問題設(shè)計(jì)矩陣運(yùn)算教學(xué),利用圖像數(shù)據(jù)壓縮問題設(shè)計(jì)矩陣特征值、奇異值教學(xué),利用機(jī)器學(xué)習(xí)問題設(shè)計(jì)二次型和正定矩陣的課程教學(xué)等。

例1 基于圖像數(shù)據(jù)壓縮問題的“矩陣的奇異值”教學(xué)設(shè)計(jì)(此部分內(nèi)容為“矩陣的特征值”的拓展內(nèi)容)

1) 問題引入。通過女神上野樹里的一張照片引出像素矩陣,并利用Matlab對(duì)該矩陣進(jìn)行奇異值分解。

提出問題: 如果舍去像素分解式后面的若干項(xiàng),會(huì)對(duì)圖像的清晰度有何影響?(利用軟件去演示這種區(qū)別,并請(qǐng)學(xué)生總結(jié)其中的規(guī)律。)

2) 探究新知。通過講解圖像處理的基礎(chǔ)知識(shí),分析如何用矩陣來(lái)表示圖片,進(jìn)而利用Matlab將像素矩陣分解為以奇異值為系數(shù)的秩為1的矩陣的線性組合的形式,通過舍去一些含有較小的奇異值的項(xiàng)來(lái)比較圖像清晰度的變化。以此引出矩陣的奇異值的概念,重點(diǎn)講清基本定義和矩陣的奇異值分解的求法,舉例加深對(duì)定義的理解,由此可以初步理解矩陣的奇異值對(duì)圖像數(shù)據(jù)壓縮的作用:即在盡可能保證圖像可被識(shí)別的精度的前提下,我們可以保留奇異值較大的若干項(xiàng),舍去奇異值較小的項(xiàng)即可節(jié)省大量的存儲(chǔ)空間。

3) 深入挖掘。奇異值往往對(duì)應(yīng)著矩陣中隱含的重要信息,且重要性和奇異值大小正相關(guān)。每個(gè)矩陣A都可以表示為一系列秩為1的“小矩陣”之和,而奇異值則衡量了這些“小矩陣”對(duì)于A的權(quán)重。

4) 總結(jié)拓展。在圖像處理領(lǐng)域,奇異值不僅可以應(yīng)用在數(shù)據(jù)壓縮上,還可以對(duì)圖像去噪。

例2 以飛行器轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)演示引出“線性變換的矩陣”教學(xué)設(shè)計(jì)

1) 背景介紹。三維空間線性變換最直接的幾何意義和應(yīng)用價(jià)值可以從飛行器的三維轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)中得到解釋。飛行器在空中可以圍繞3個(gè)軸旋轉(zhuǎn)。先把飛行器的三維圖像用N個(gè)頂點(diǎn)的三維坐標(biāo)描述,其頂點(diǎn)次序要適當(dāng)安排,使得用plot3命令能繪制出飛行器的外觀。飛行器圍繞各個(gè)軸的旋轉(zhuǎn)的結(jié)果,表現(xiàn)為各個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)發(fā)生變化。只要把3種姿態(tài)的變換矩陣分別乘以飛行器外形的數(shù)據(jù)矩陣,就可以得到飛行器旋轉(zhuǎn)的動(dòng)態(tài)演示圖像。

2) 探究新知。通過矩陣乘法的幾何意義引出線性變換,包括對(duì)稱變換、收縮與拉伸、剪切變換、投影等。

3) 問題拆解。飛行器的線形輪廓模型由一系列的點(diǎn)和曲線組成。在最簡(jiǎn)單的二維圖形符號(hào)中,字母用于在屏幕上做標(biāo)記,字母上點(diǎn)的坐標(biāo)存儲(chǔ)在數(shù)據(jù)矩陣中。通過用2)的各種變換矩陣乘以數(shù)據(jù)矩陣,來(lái)改變飛行器的狀態(tài)?；谶@個(gè)思想,我們來(lái)研究飛行器的轉(zhuǎn)動(dòng)問題。

把3種姿態(tài)的3種變換矩陣Y、P、R分別乘以圖形數(shù)據(jù)矩陣G即可得到飛行器圍繞各個(gè)軸旋轉(zhuǎn)后的圖像,其中:

也可將三種轉(zhuǎn)動(dòng)復(fù)合起來(lái),即令GROTATE=(YPR)G。下面將u、v、w分別賦值為:

就得到飛行器經(jīng)不同轉(zhuǎn)動(dòng)后相應(yīng)的狀態(tài)。

1.2.2 建立新型考核方式,激勵(lì)學(xué)生探索各領(lǐng)域開放問題

深入發(fā)掘當(dāng)今社會(huì)的熱點(diǎn)問題作為應(yīng)用案例,并作為學(xué)期論文布置給學(xué)生,按照一定比例計(jì)入期末成績(jī),打破傳統(tǒng)的考核方式,更能激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新思維的培養(yǎng)。

2 基于“新工科”的線性代數(shù)課程建設(shè)的障礙與改進(jìn)策略研究

2.1 線性代數(shù)案例式教學(xué)實(shí)施的障礙

1) 學(xué)時(shí)少。線性代數(shù)課程本身學(xué)時(shí)少、內(nèi)容抽象,案例的引入必然會(huì)占用一定的時(shí)間。

2) 教材缺乏。國(guó)內(nèi)的線性代數(shù)教材多偏重理論介紹,涉及的應(yīng)用案例較少,不利于教師備課和學(xué)生自學(xué)。

3) 案例教學(xué)效果差別大。案例教學(xué)效果與教師對(duì)案例的分析理解程度、闡述角度以及個(gè)人教學(xué)風(fēng)格等多個(gè)因素密切相關(guān)。

4) 教育設(shè)施不足。在課堂上,如果學(xué)生不能直接動(dòng)手分析和計(jì)算,將使得案例法成為單純地教師對(duì)概念和原理的講解,起不到案例分析應(yīng)有的教學(xué)效果。

5) 有些案例教學(xué)脫離實(shí)際。

2.2 對(duì) 策

2.2.1 制作微視頻

針對(duì)課程學(xué)時(shí)少,沒有過多時(shí)間介紹案例背景,可以制作介紹案例的微視頻,給學(xué)生課前預(yù)習(xí)完成。而且微視頻比教師講解和紙質(zhì)材料更加形象生動(dòng),又利于理解。

2.2.2 制作案例庫(kù)

針對(duì)教材案例匱乏的現(xiàn)狀,任課教師團(tuán)隊(duì)可以制作案例庫(kù),并按照專業(yè)、知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行分類。

2.2.3 案例講授適可而止

“新工科”強(qiáng)調(diào)“自主學(xué)習(xí),創(chuàng)新培養(yǎng)”, 案例講解過程留出適當(dāng)空間讓學(xué)生自由發(fā)揮, 布置一點(diǎn)思考題, 特別對(duì)于那些樂于學(xué)習(xí)的學(xué)生, 可以收到更好的教學(xué)效果。

2.2.4 軟、硬件的技術(shù)支持

涉及到上機(jī)操作的案例,最好讓學(xué)生自己動(dòng)手操作,案例式教學(xué)可以考慮在機(jī)房上課。

2.2.5 制定合理的案例使用原則

1) 新舊案例交替使用,適合就好。選取案例時(shí),對(duì)于舊案例的選取要考慮時(shí)代背景,必要時(shí)對(duì)背景改編后進(jìn)行使用,案例不論新舊,能達(dá)到好的教學(xué)效果就是好案例。

2) 案例與知識(shí)點(diǎn)的緊密結(jié)合至關(guān)重要。案例式教學(xué)不能流于形式,要選擇與所教授知識(shí)點(diǎn)契合度高的案例。課程設(shè)計(jì)需要結(jié)合學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備、學(xué)科專業(yè)特點(diǎn)、學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣和學(xué)習(xí)心理等多方面因素,使得案例式教學(xué)能夠發(fā)揮出最優(yōu)的教學(xué)效果。

3) 案例選材要簡(jiǎn)單而貼近生活,易于理解。并非高大上的案例就是好案例,案例的選取要立足學(xué)生的既有知識(shí)和日常生活,容易被學(xué)生理解和接納,否則會(huì)適得其反,造成畏難情緒,使學(xué)生失去學(xué)習(xí)興趣。

3 結(jié) 語(yǔ)

為順應(yīng)國(guó)內(nèi)外工程教育改革的新形勢(shì),線性代數(shù)作為一門重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課,教學(xué)改革勢(shì)在必行,近幾年來(lái)這方面的研究層出不窮[7-15]?；凇靶鹿た啤钡木€性代數(shù)案例式教學(xué)模式的探索是一項(xiàng)長(zhǎng)期的任務(wù),特別是設(shè)計(jì)出與各專業(yè)契合度高的案例對(duì)任課教師而言,是個(gè)不小的挑戰(zhàn),教師團(tuán)隊(duì)需要投入大量的時(shí)間、精力去進(jìn)行課程設(shè)計(jì)、錄制微視頻、制作PPT等。