鋼軌焊頭平直度檢測(cè)系統(tǒng)的混沌振動(dòng)研究

(上海工程技術(shù)大學(xué) 電子電氣工程學(xué)院，上海 201620)

然而，在基于視覺的鋼軌檢測(cè)方法中，系統(tǒng)的機(jī)械振動(dòng)會(huì)使攝像頭或傳感器采集到的信息與實(shí)際有偏差，最終導(dǎo)致檢測(cè)效率的下降。一些研究表明，通過分析采集到的圖像與振動(dòng)的關(guān)系[3]，改變機(jī)械結(jié)構(gòu)[4]或優(yōu)化控制算法[5]，都能夠有效地抑制這種振動(dòng)。其中采用控制算法抑振可在不改變系統(tǒng)機(jī)械結(jié)構(gòu)的情況下，達(dá)到最優(yōu)的控制效果，設(shè)計(jì)簡單，可行性高，無需考慮成本問題[5]。文獻(xiàn)[5]針對(duì)鋼軌焊頭平直度檢測(cè)系統(tǒng)，采用基于有限時(shí)間Laplace變換的輸入整形器作為前饋控制，使相機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)輸出的電機(jī)轉(zhuǎn)速值最大超調(diào)量降低為2.6%，使采集誤差穩(wěn)定在0.03 mm內(nèi)。其中，輸入整形器的抑振效果與系統(tǒng)的頻率和阻尼有關(guān)[6]，而在相機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)中，由于參數(shù)的改變和系統(tǒng)對(duì)參數(shù)初值敏感性引發(fā)的混沌現(xiàn)象會(huì)使系統(tǒng)產(chǎn)生無規(guī)則的振動(dòng)響應(yīng)[7-10]，具體表現(xiàn)為功放的輸出電流以及伺服系統(tǒng)輸出的電機(jī)轉(zhuǎn)速值持續(xù)波動(dòng)，最終導(dǎo)致輸入整形器對(duì)整個(gè)系統(tǒng)抑振效果的減弱。為了對(duì)工程問題進(jìn)行精確建模，應(yīng)考慮非線性因素對(duì)系統(tǒng)的影響[11]，并避免其進(jìn)入混沌狀態(tài)，從而確保輸入整形器的抑振水平。

在常用的消除混沌的方法中，線性反饋控制法在工程上更容易實(shí)現(xiàn)，它利用混沌對(duì)系統(tǒng)參數(shù)初值的敏感性依賴，減小李雅普諾夫指數(shù)，從而使系統(tǒng)獲得穩(wěn)定的輸出。采用該方法只需要系統(tǒng)的輸出或狀態(tài)信息，無需改變被控系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，具有良好的軌道跟蹤能力和穩(wěn)定性[12]。

因此，本文基于鋼軌焊頭平直度檢測(cè)系統(tǒng)，嘗試根據(jù)功放輸出電流的分岔現(xiàn)象，分析相機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)中電流反饋系數(shù)值與功放輸出電流以及輸出電機(jī)轉(zhuǎn)速穩(wěn)定性之間的關(guān)系，在系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)之前，選擇合適的電流反饋系數(shù)，保證功放輸出的穩(wěn)定，并設(shè)計(jì)了基于零極點(diǎn)對(duì)消的輸入整形法仿真實(shí)驗(yàn)加以驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)表明，利用分岔圖與李雅普諾夫指數(shù)譜選取合適的電流反饋系數(shù)值，功放的輸出電流紋波較小且穩(wěn)定，減小了相機(jī)傳動(dòng)控制系統(tǒng)輸出轉(zhuǎn)速的振動(dòng)頻率以及最大超調(diào)量，抑制了相機(jī)傳動(dòng)控制系統(tǒng)中功放電路的混沌現(xiàn)象對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)的影響。

1 相機(jī)傳動(dòng)控制系統(tǒng)模型

鋼軌焊頭平直度檢測(cè)系統(tǒng)的機(jī)械結(jié)構(gòu)示意圖與系統(tǒng)框圖如圖1所示。系統(tǒng)由控制器控制伺服系統(tǒng)，帶動(dòng)激光相機(jī)采集鋼軌表面信息，然后傳送到計(jì)算機(jī)供后續(xù)的圖像數(shù)據(jù)分析，最終得到鋼軌的平直度信息。實(shí)際檢測(cè)過程中，由于系統(tǒng)輸出電機(jī)轉(zhuǎn)速的不穩(wěn)定而引起的振蕩會(huì)導(dǎo)致激光相機(jī)采集到的信息與實(shí)際有偏差，這種偏差影響了系統(tǒng)的檢測(cè)精度。

相機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)的控制框圖如圖2所示[5]，主要由輸入整形、伺服驅(qū)動(dòng)和機(jī)械傳動(dòng)幾部分組成。伺服驅(qū)動(dòng)主要由速度調(diào)節(jié)器、速度檢測(cè)、功放電路和伺服電機(jī)幾個(gè)環(huán)節(jié)組成。輸入整形環(huán)節(jié)是利用控制器根據(jù)系統(tǒng)的伺服驅(qū)動(dòng)環(huán)節(jié)和機(jī)械傳動(dòng)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)模型構(gòu)造的基于零極點(diǎn)對(duì)消的輸入整形算法。本文根據(jù)功放電路的混沌現(xiàn)象，利用分岔圖選擇合理的電流反饋系數(shù)值，確保功放紋波較小且可穩(wěn)定輸出，再采用輸入整形作為整個(gè)系統(tǒng)的前饋控制，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的抑振控制。

圖1 機(jī)械結(jié)構(gòu)示意圖與系統(tǒng)框圖

圖2 相機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)的控制框圖

系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)G(s)為[5]

G(s)=

(1)

式中,k1為位置調(diào)節(jié)器的傳遞函數(shù)；k2為速度調(diào)節(jié)器的傳遞函數(shù)；ki為電流反饋系數(shù)；sl為絲杠長度；ωn和ξ分別為伺服電機(jī)的轉(zhuǎn)子角速度和阻尼比；ωn1和ξ1分別為傳動(dòng)系統(tǒng)的角速度和阻尼比；kv為速度反饋系數(shù)；kp為位置反饋系數(shù)；ke為電勢(shì)系數(shù)；i為定子電流。

2 功放電路的混沌現(xiàn)象

伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)部分的功放電路采用的是一種三電平調(diào)制下的全橋電路拓?fù)?，是一種典型的非線性功放電路，存在著豐富的混沌現(xiàn)象[13]。分析功放電路的混沌現(xiàn)象，首先要建立功放電路的離散模型，基于該模型分析得到功放輸出電流的離散映射表達(dá)式，最后由該表達(dá)式得到隨電流反饋系數(shù)值變化的輸出值分岔情況，從而在系統(tǒng)進(jìn)入混沌之前選擇參數(shù)值。

2.1 功放電路的離散模型

三電平調(diào)制下的全橋電路拓?fù)淙鐖D3所示。

圖3中，U為電壓源,VT1～VT4為功率開關(guān)管，電感L和電阻R構(gòu)成了負(fù)載線圈，Uab為負(fù)載線圈兩端的電壓，IO為通過電磁線圈的電流。

針對(duì)VT1～VT4，可以用以下公式表示其通斷[13]：

(2)

(3)

T4=1-T1

(4)

T3=1-T2

(5)

式中,T1～T4分別代表開關(guān)管VT1～VT4的導(dǎo)通函數(shù)，“0”為關(guān)斷，“1”為導(dǎo)通;UT(t)為載波當(dāng)前時(shí)刻的值，ΔUC(t)為控制信號(hào)。

圖3 全橋電路拓?fù)?/p>

負(fù)載兩端的電壓Uab共有3種模態(tài)：模態(tài)一，Uab=U，電流增加；模態(tài)二，Uab=0，續(xù)流狀態(tài)；模態(tài)三，Uab=-U，電流減小。在每個(gè)載波周期內(nèi)，都對(duì)應(yīng)包括了模態(tài)一、模態(tài)二或模態(tài)二、模態(tài)三。以充電續(xù)流的過程為例，同一個(gè)周期內(nèi)，不同時(shí)刻功放的輸出電流情況可用以下公式表示[13]。

(1)nT～t1：續(xù)流狀態(tài)。

(6)

(2)t1～t2：充電狀態(tài)。

(7)

(3)t2～t3：續(xù)流狀態(tài)。

(8)

(4)t3～t4：充電狀態(tài)。

(9)

(5)t4～(n+1)T：續(xù)流狀態(tài)。

(10)

式中，T為開關(guān)管的開關(guān)信號(hào)；in為第n個(gè)載波周期電流的初始值；時(shí)間常數(shù)τ=L/R；E/R為放電時(shí)刻末期的電流值；d為全橋電路的占空比。

針對(duì)這種工作特性，結(jié)合基爾霍夫電壓定律和開關(guān)管狀態(tài)，在每個(gè)開關(guān)周期的開始時(shí)刻，對(duì)電磁線圈輸出電流IO采樣，并逐步迭代，分別得到其充電續(xù)流與放電續(xù)流的電流映射表達(dá)式如式(11)、式(12)所示。占空比d、反饋電壓ui和sat(ui)的定義如式(13)～式(15)所示[13]。

(11)

(12)

(13)

ui=ki(Iref-if)

(14)

(15)

式中，Iref為參考電流;if為反饋電流。

2.2 輸出電流的混沌行為分析

叉型分岔是進(jìn)入混沌最常見的類型之一，它是指隨著參數(shù)取值的改變，系統(tǒng)的輸出值變得不穩(wěn)定且不可預(yù)測(cè)，因此可以通過做分岔圖觀察系統(tǒng)何時(shí)進(jìn)入混沌。由式(11)與式(12)的輸出電流映射表達(dá)式，結(jié)合式(13)～式(15)，利用Matlab 2014a編寫程序，得到輸出電流關(guān)于電流反饋系數(shù)的分岔圖如圖4所示。

圖4 輸出電流關(guān)于電流反饋系數(shù)的分岔圖

由圖4可知，隨著電流反饋系數(shù)值的不斷增大，功放的輸出電流先是逐漸趨于穩(wěn)定，當(dāng)電流反饋系數(shù)值超過約6.25后，功放的輸出電流發(fā)生分岔，其值不再穩(wěn)定，此時(shí)系統(tǒng)進(jìn)入了混沌狀態(tài)。利用Matlab中Simulink仿真模塊搭建功放電路模型，得到電流反饋系數(shù)ki=6與ki=8時(shí)功放的輸出電流情況,如圖5所示。

圖5 ki分別為6和8時(shí)功放電路輸出電流

對(duì)比圖5中的結(jié)果可知，當(dāng)ki= 8時(shí)，功放的輸出電流不存在確定的周期軌道，此時(shí)處于混沌狀態(tài)，輸出電流不穩(wěn)定。

通過計(jì)算李雅普諾夫指數(shù)，可以進(jìn)一步驗(yàn)證隨著電流反饋系數(shù)的改變，系統(tǒng)是否進(jìn)入了混沌狀態(tài)。當(dāng)李雅普諾夫指數(shù)由負(fù)變正的時(shí)候，說明參數(shù)發(fā)生分岔，進(jìn)入混沌，輸出變得不穩(wěn)定；當(dāng)它由正變負(fù)的時(shí)候，系統(tǒng)的輸出變得穩(wěn)定，計(jì)算公式為

(16)

式中,x1=f(x0)，xi=f(xi-1)，f(x)為求得的輸出電流映射表達(dá)式。利用Matlab生成電流反饋系數(shù)的李雅普諾夫指數(shù)譜，如圖6所示。

由圖6與計(jì)算結(jié)果可知，當(dāng)系數(shù)超過臨界值6.25之后，李雅普諾夫指數(shù)由負(fù)變正，說明超過該閾值后，系統(tǒng)確實(shí)進(jìn)入了混沌狀態(tài)。因此，應(yīng)在該閾值范圍內(nèi)選取電流反饋系數(shù)的值。

2.3 電流反饋系數(shù)的選取

根據(jù)式(1)所示的傳遞函數(shù)，將ki以外的變量看作常量，經(jīng)過拉氏反變換得到相機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)的時(shí)域表達(dá)式。

(17)

為了表示方便，將式(1)中k1等固定參數(shù)簡化表示為常數(shù)變量c4～c9，其中c4遠(yuǎn)大于其余整數(shù)變量，ri為閉環(huán)傳遞函數(shù)特征多項(xiàng)式的特征根。觀察可知，式(17)第4項(xiàng)構(gòu)成了輸出的主要部分，且隨著ki的增大，輸出值逐漸減小，所以，應(yīng)在閾值范圍內(nèi)，取較大的ki值，保證較低的振蕩幅值。為驗(yàn)證理論分析的正確性，利用Matlab中Simulink仿真模塊搭建了系統(tǒng)模型并得到了輸出電機(jī)轉(zhuǎn)速的仿真圖如圖7所示，其中電流反饋系數(shù)ki分別取8，6，4，2。

圖7 不同電流反饋系數(shù)下系統(tǒng)的振動(dòng)情況仿真圖

由圖7可知，隨著ki的增大，相機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)輸出的電機(jī)轉(zhuǎn)速振幅逐漸減小，但當(dāng)ki超過閾值6.25之后，如圖7中ki=8時(shí)，由于輸出電流處于混沌，不存在確定的周期軌道，所以導(dǎo)致電機(jī)轉(zhuǎn)速即使在穩(wěn)定后，也會(huì)持續(xù)著約20 r/min的波動(dòng)，而在其他情況下，則可以保持穩(wěn)定的轉(zhuǎn)速，因此應(yīng)選擇ki= 6.25作為電流反饋系數(shù)的值，這樣既可以保證轉(zhuǎn)速較小的振幅，又可以保證穩(wěn)定的輸出。

3 基于零極點(diǎn)對(duì)消的輸入整形

為了驗(yàn)證電流反饋系數(shù)值對(duì)輸入整形器的抑振控制效果的影響，采用Matlab中Simulink仿真模塊搭建了基于零極點(diǎn)對(duì)消輸入整形法的仿真抑振實(shí)驗(yàn)。

3.1 輸入整形函數(shù)的構(gòu)造

輸入整形器是由系統(tǒng)振動(dòng)頻率和阻尼比設(shè)計(jì)的用于前饋控制脈沖序列，其頻域表達(dá)式為

(18)

式中，ti和Ai為脈沖序列的時(shí)滯及其對(duì)應(yīng)的幅值;n為脈沖個(gè)數(shù)。根據(jù)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)求出該表達(dá)式參數(shù)就可以實(shí)現(xiàn)輸入整形抑制振動(dòng)的目的[14]。

伺服驅(qū)動(dòng)部分可以等效為一個(gè)二階系統(tǒng)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為

(19)

(20)

令實(shí)部虛部分別為零，得到式(21)與式(22)。

(21)

(22)

根據(jù)時(shí)間最優(yōu)原則，令t1=0，求解可得到由兩個(gè)脈沖構(gòu)成的輸入整形器公式：

C(s)=A1+A2e-t2s

(23)

進(jìn)一步可得：

(24)

(25)

k可以取不同值，因此輸入整形器的零點(diǎn)就可能有無數(shù)個(gè)，選取其中一組零點(diǎn)與系統(tǒng)主導(dǎo)極點(diǎn)對(duì)消，可得：

(26)

(27)

由式(27)可知，當(dāng)k=1時(shí)，時(shí)滯t2最小。

為了使系統(tǒng)達(dá)到原來的輸出點(diǎn)，需要添加約束方程A1+A2=1，其中Ai>0，聯(lián)立可得：

(28)

(29)

根據(jù)系統(tǒng)參數(shù)計(jì)算得到輸入整形函數(shù):

C(s)=A1+A2e-t2s=0.7025+0.2975e-0.1011s

(30)

3.2 結(jié)果仿真與分析

原系統(tǒng)與采用不同抑振方法得到的系統(tǒng)輸出電機(jī)轉(zhuǎn)速的振動(dòng)情況仿真圖如圖8所示。

圖8 原系統(tǒng)及采用不同抑振方法后系統(tǒng)振動(dòng)情況的仿真圖

觀察圖8可知，采用本文的方法，系統(tǒng)的振動(dòng)情況明顯改善，輸出轉(zhuǎn)速的具體評(píng)價(jià)指標(biāo)如表1所示。

表1 系統(tǒng)輸出振動(dòng)情況的評(píng)價(jià)指標(biāo)

結(jié)合圖8與表1分析可知，文獻(xiàn)[5]能夠較好地抑制原系統(tǒng)的振動(dòng)，調(diào)節(jié)時(shí)間大幅縮短，系統(tǒng)能夠快速穩(wěn)定，轉(zhuǎn)速值的振蕩周期變大，最大超調(diào)量變小，而本文的算法與文獻(xiàn)[5]相比，考慮了混沌對(duì)系統(tǒng)輸出的電機(jī)轉(zhuǎn)速振蕩情況的影響，在保持調(diào)節(jié)時(shí)間幾乎不變的情況下，進(jìn)一步將最大超調(diào)量降低至0.5%，將振蕩周期增大到了212 ms，使原系統(tǒng)頻率高、振幅大的振動(dòng)，變成了一種頻率低、振幅小的振動(dòng)，改善了轉(zhuǎn)速的振動(dòng)情況，有效提高了系統(tǒng)的抑制振動(dòng)水平。

4 結(jié)束語

本文針對(duì)鋼軌焊頭平直度檢測(cè)系統(tǒng)工作時(shí)，系統(tǒng)振動(dòng)影響檢測(cè)精度的問題，研究了驅(qū)動(dòng)功放部分的混沌現(xiàn)象與系統(tǒng)輸出的電機(jī)轉(zhuǎn)速振蕩情況之間的關(guān)系，分析了電流反饋系數(shù)對(duì)于輸出振蕩情況的影響。實(shí)驗(yàn)表明，在系統(tǒng)進(jìn)入混沌之前選取合適的控制系統(tǒng)參數(shù)，可以有效改善系統(tǒng)輸出的振蕩情況，該分析為通過混沌理論提高系統(tǒng)的抑振水平提供了理論支撐，有利于進(jìn)一步提高鋼軌焊頭平直度檢測(cè)系統(tǒng)的抑制振動(dòng)水平以及檢測(cè)精度，具有理論和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。