高度-速度剖面內(nèi)再入軌跡快速規(guī)劃

周文雅，聶振燾，劉 凱

(1. 大連理工大學(xué)工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,大連 116024；2. 大連理工大學(xué)遼寧省空天飛行器前沿技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,大連 116024)

0 引 言

再入航天器是指能夠從空間再次進(jìn)入大氣層并最終返回地面的一類航天器。根據(jù)氣動性能，再入航天器可分為彈道式、半彈道式和升力式三種。其中，升力式再入航天器能夠利用氣動力實(shí)現(xiàn)飛行狀態(tài)和軌跡的調(diào)整。由于其軍用價(jià)值高、可重復(fù)利用率高，因而成為各國近年來競相研究的熱點(diǎn)。但由于其再入過程中動力學(xué)特性復(fù)雜、過程約束多、終端狀態(tài)要求高等原因，使其再入軌跡設(shè)計(jì)成為該領(lǐng)域研究的難點(diǎn)之一[1]。

早期的再入軌跡規(guī)劃方法是設(shè)計(jì)與速度相關(guān)的阻力加速度剖面，該方法已成功應(yīng)用于阿波羅計(jì)劃和航天飛機(jī)計(jì)劃[2]。Mease等[3]提出了基于衍化加速度(Evolved acceleration guidance logic for entry,EAGLE)的再入制導(dǎo)方法，其可適用于具有較大橫程要求的任務(wù)。Leavittz等[4]在EAGLE的基礎(chǔ)上提出了一種能夠獲得近似最大縱程和橫程的再入軌跡設(shè)計(jì)方法。張合新等[5]利用自適應(yīng)偽譜方法將多約束條件下的最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)換為非線性規(guī)劃問題，從而獲得最優(yōu)再入軌跡。Zhang等[6]研究了基于三維阻力加速度剖面的軌跡方法。Zimerman等[7]提出了一種考慮熱流等約束條件的再入軌道快速規(guī)劃方法，通過將再入軌跡分為常值熱流率跟蹤段與亞軌道再入段，并利用多維牛頓迭代法完成兩個(gè)變量組成的線性傾斜角控制量的搜索。沈振等[8]使用割線法在阻力加速度-速度平面內(nèi)搜索得到滿足要求的再入軌跡，有效地提高了軌跡的生成速度。

隨著計(jì)算機(jī)性能的提升以及優(yōu)化理論的發(fā)展，基于優(yōu)化理論獲得再入軌跡的方法得到了快速發(fā)展[9-11]。Rahimi等[12]將粒子群優(yōu)化算法應(yīng)用到再入軌跡求解中。Gangireddy等[13]利用鴿群優(yōu)化算法對再入軌跡進(jìn)行求解。優(yōu)化算法的使用雖然可以得到全局或局部最優(yōu)解，但由于其計(jì)算量大，無法保證實(shí)時(shí)性，因此一般用于離線軌跡規(guī)劃。Shen等[14]提出了可適用于在線軌跡規(guī)劃的“擬平衡滑翔條件法”，通過忽略飛行路徑角及其變化率的影響，將路徑約束轉(zhuǎn)換為高度速度剖面內(nèi)的傾斜角邊界，并通過割線法快速搜索出滿足航程和終端約束的傾斜角曲線。雍恩米等[15]考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，對“擬平衡滑翔條件”進(jìn)行改進(jìn)，達(dá)到提升再入軌跡精度的目的。周文雅等[16]在搜索傾斜角的過程中判斷并修正飛行路徑角變化率，以此提高了再入軌跡的可靠性。Shen等[17]提出了適用于低升阻比亞軌道航天器的再入標(biāo)準(zhǔn)軌跡快速設(shè)計(jì)方法。進(jìn)一步，Lu等[18]提出了可適用于不同升阻比航天器的再入軌跡設(shè)計(jì)方法，并解決了再入軌跡的“振蕩起伏”問題。盧寶剛等[19]在“擬平衡滑翔條件”的基礎(chǔ)上，結(jié)合數(shù)值預(yù)測方法，強(qiáng)化了攻角在再入過程中的作用，使所求再入軌跡滿足多約束再入條件，且該方法具有較強(qiáng)的適應(yīng)能力。

本文針對升力式航天器進(jìn)入稠密大氣后的再入軌跡設(shè)計(jì)問題，提出了一種在H-V剖面內(nèi)直接規(guī)劃再入軌跡的新方法。與上述文獻(xiàn)中的方法主要區(qū)別在于：不忽略飛行路徑角及其變化率等敏感信息，直接根據(jù)再入動力學(xué)關(guān)系進(jìn)行再入軌跡規(guī)劃，且得到的軌跡滿足再入約束條件。因此利用所提方法能夠得到物理概念直觀、可靠性更高的再入軌跡，同時(shí)保證了算法的快速性，有利于在線制導(dǎo)實(shí)現(xiàn)。

1 再入問題描述

1.1 動力學(xué)方程建模

不考慮地球自轉(zhuǎn)的無量綱化再入動力學(xué)方程如式(1)～(6)：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

D=ρV*2SrefCD/(2mg0)

(7)

L=ρV*2SrefCL/(2mg0)

(8)

1.2 再入約束

(9)

(10)

(11)

航天器在滑翔段結(jié)束后將進(jìn)入末端能量管理段(Terminal area energy management, TAEM)，為了約束航天器進(jìn)入TAEM時(shí)的運(yùn)動狀態(tài)，除了滿足高度和速度要求外，還要滿足航向誤差角Δψ和待飛航程S要求。航向誤差角Δψ定義為視線方位角與航向角間的差值。待飛航程S定義為瞬時(shí)目標(biāo)平面內(nèi)從當(dāng)前位置到目標(biāo)點(diǎn)連線在地球表面投影得到的大圓弧長。其中，瞬時(shí)目標(biāo)平面為航天器所在位置、地心以及目標(biāo)點(diǎn)所確定的平面，根據(jù)上述定義，待飛航程S的表達(dá)式為：

S=arccos(cosφTcosφcos(θT-θ)+sinφTsinφ)R0

(12)

式中:θT為目標(biāo)點(diǎn)經(jīng)度；φT為目標(biāo)點(diǎn)緯度。綜上，軌跡終端處應(yīng)滿足：

hf=hTAEM

(13)

Vf=VTAEM

(14)

|Δψf|<ΔψTAEM

(15)

Sf

(16)

式中:下標(biāo)為f的量代表航天器再入軌跡終端處的值；下標(biāo)為TAEM的量代表進(jìn)入末端區(qū)域能量管理段時(shí)的狀態(tài)。

2 再入軌跡規(guī)劃

航天器再入過程中的控制量為攻角α和傾斜角σ。根據(jù)航天器再入軌跡變化規(guī)律，可以預(yù)先設(shè)定攻角剖面，使傾斜角成為再入過程中的唯一控制量，達(dá)到簡化求解的目的。攻角剖面選取為如式(17)所示有關(guān)馬赫數(shù)Ma的分段函數(shù)：

(17)

2.1 初始下降段

當(dāng)航天器處于稀薄大氣內(nèi)飛行時(shí)，氣動力作用不明顯，控制量對下降軌跡的影響很小，可認(rèn)為航天器在此階段內(nèi)做自由落體運(yùn)動。不妨在初始下降段內(nèi)，將攻角和傾斜角均取為常值α0和σ0。可通過對動力學(xué)方程(1)～(6)積分獲得初始下降段軌跡。

初始下降段結(jié)束條件為式(18)。其原因?yàn)椋弘S著航天器由稀薄大氣進(jìn)入稠密大氣，會發(fā)生高度關(guān)于速度變化率逐漸減小的過程。當(dāng)式(18)滿足時(shí)，航天器已能夠依靠氣動力改變其飛行軌跡。同時(shí)，式(18)可以保證軌跡平滑過渡到滑翔段，避免再入軌跡出現(xiàn)高度上的大幅振蕩現(xiàn)象。

(18)

式中:δ為根據(jù)精度要求預(yù)先設(shè)置的小量；標(biāo)記初始下降段結(jié)束時(shí)的速度和航向誤差角分別為Vi和Δψi。進(jìn)入稠密大氣后，傾斜角的初始符號應(yīng)根據(jù)Δψi確定：

sgn(σ)=sgn(Δψi)

(19)

2.2 稠密大氣內(nèi)軌跡規(guī)劃

再入過程中的縱向運(yùn)動參數(shù)由高度、速度和飛行路徑角構(gòu)成。一旦高度、速度關(guān)系確定后，可根據(jù)式(1)、(4)和(5)組成的縱向動力學(xué)方程求解出飛行路徑角及傾斜角大小。進(jìn)一步，利用傾斜角反轉(zhuǎn)控制策略確定傾斜角符號，通過對式(2)、(3)和(6)進(jìn)行數(shù)值積分得到剩余運(yùn)動狀態(tài)量。

2.2.1確定再入軌跡下邊界

攻角剖面確定后，根據(jù)給定的駐點(diǎn)熱流、過載及動壓的最大值，可在H-V剖面內(nèi)形成路徑約束曲線，即形成了航天器再入軌跡的下邊界。為保證下邊界的平滑性，利用四次多項(xiàng)式擬合方法將路徑約束曲線轉(zhuǎn)換為新的、光滑的再入軌跡下邊界，如圖1所示。

圖1 路徑約束曲線與再入軌跡下邊界Fig.1 Path constraints profile and reentry trajectorylower boundary

2.2.2增量計(jì)算

稠密大氣內(nèi)再入軌跡可通過在下邊界基礎(chǔ)上增加增量實(shí)現(xiàn)。通過調(diào)節(jié)增量大小，可以改變再入軌跡，使其滿足軌跡終端約束。再入軌跡規(guī)劃形式為：

h(V)=hmin(V)+Δh(V)

(20)

式中:hmin(V)表示再入軌跡下邊界，Δh(V)可選為二次型增量形式：

Δh(V)=

(21)

式中:a1=-1/(Vi-Vm)2，a2=-1/(Vf-Vm)2；Vm是預(yù)先選定的位于Vi與Vf間某一點(diǎn)處的速度；hm為Vm在軌跡下邊界上對應(yīng)的高度；Δh1為終端約束高度hTAEM與軌跡下邊界終點(diǎn)高度的差。該量的引入用以保證滿足終端高度約束；Δh2為初始下降段終點(diǎn)處的高度與軌跡下邊界起點(diǎn)高度的差。該量的引入用于保證初始下降段軌跡與滑翔段軌跡間的光滑過渡。增量Δh(V)的自變量V的變化范圍為[VfVi]，因此軌跡終端速度約束直接得到滿足；p為調(diào)節(jié)系數(shù)，用于保證航天器滿足航程約束和終端航向誤差角約束，其值通過下文中的割線法迭代獲得。

Vm的選取會影響再入軌跡的形式。對于不同的終端條件，Vm值的選取要求不同；舉例說明，當(dāng)起點(diǎn)與終點(diǎn)間的待飛航程較大時(shí)，若Vm取值較小，將會出現(xiàn)傾斜角較長時(shí)間處于0°的情況，這會導(dǎo)致航天器局部受熱過高，對熱防護(hù)系統(tǒng)不利。不妨將Vm選取為與無量綱航程有關(guān)的表達(dá)式：

Vm=Si×VE

(22)

式中:Si為初始下降段終點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)間的無量綱化航程；VE為固定值。

2.2.3生成再入軌跡

增量計(jì)算完成后，通過增量與下邊界求和的方式獲得完整的H-V剖面內(nèi)再入軌跡。將再入軌跡上的狀態(tài)量代入式(1)和式(4)，可獲得飛行路徑角。

縱向參數(shù)求解過程中，速度作為軌跡規(guī)劃的自變量，高度由軌跡下邊界上的高度與高度增量求和獲得；飛行路徑角由上述方法確定的高度、速度代入動力學(xué)方程反解求出?？梢?，上述變量的獲得均不需要對動力學(xué)方程進(jìn)行積分，而是通過簡單的代數(shù)運(yùn)算獲得，有效減小了計(jì)算量，保證了算法的快速性。

利用下式求出對應(yīng)再入軌跡的傾斜角大?。?/p>

(23)

傾斜角大小確定后，傾斜角的符號由傾斜角反轉(zhuǎn)控制策略獲取。傾斜角反轉(zhuǎn)控制策略的基本思路為：預(yù)先設(shè)定航向誤差角走廊，當(dāng)航向誤差角到達(dá)航向誤差角走廊邊界時(shí)，傾斜角符號取反；當(dāng)航向誤差角位于航向誤差角走廊內(nèi)時(shí)，傾斜角符號不變，即：

(24)

式中:Δψset為設(shè)定的航向誤差角走廊邊界。

傾斜角的大小與符號確定后，結(jié)合已給定的攻角剖面，可對式(2)、(3)和(6)進(jìn)行數(shù)值積分得到當(dāng)前軌跡對應(yīng)的經(jīng)、緯度及航向角。根據(jù)經(jīng)、緯度可計(jì)算出初始下降段終點(diǎn)與當(dāng)前軌跡終點(diǎn)間的待飛航程Stogo。研究發(fā)現(xiàn)p與Stogo間存在單調(diào)關(guān)系，因此可通過割線法快速計(jì)算出滿足要求的參數(shù)p：

p(k+1)=p(k)-(Stogo(k)-(Si-Se))·

(p(k)-p(k-1))/(Stogo(k)-Stogo(k-1))

(25)

式中:Stogo(k)為p(k)所對應(yīng)的初始下降段終點(diǎn)與當(dāng)前軌跡終點(diǎn)間的待飛航程；Se是為避免航天器飛過目標(biāo)點(diǎn)造成終端航向誤差角過大而設(shè)定的固定參數(shù)，其意義在于以犧牲一部分航程的方式來滿足終端航向誤差角要求。也可以理解為，使航天器實(shí)際飛行航程略小于目標(biāo)航程，以保證航天器不會飛越目標(biāo)點(diǎn)。式(25)迭代的終止條件為式(15)和式(16)，即再入軌跡滿足軌跡終端約束。

綜上可以看出，在所提的再入軌跡規(guī)劃方法中，是將終端待飛航程Sf作為可調(diào)節(jié)的量，使再入軌跡嚴(yán)格滿足軌跡終端高度hf、速度Vf和航向誤差角Δψf要求。

3 仿真分析

設(shè)航天器再入點(diǎn)處對應(yīng)的經(jīng)、緯度為(0°，0°)，四種工況目標(biāo)點(diǎn)位置要求如表3所示。

計(jì)算求解后，四種工況所對應(yīng)的中間變量及部分終端狀態(tài)如表4所示；圖2是H-V剖面內(nèi)的再入軌跡；圖3是四種工況所對應(yīng)的經(jīng)、緯度變化曲線；圖4是四種工況所對應(yīng)的傾斜角變化曲線。

表2 再入終端約束Table 2 Reentry terminal constraints

表3 目標(biāo)點(diǎn)位置Table 3 Target position

表4 仿真結(jié)果Table 4 Simulation results

圖2 H-V剖面再入軌跡Fig.2 Reentry trajectory in H-V profile

圖3 經(jīng)緯度變化曲線Fig.3 Longitude and latitude profile

圖4 傾斜角變化曲線Fig.4 Bank angle profile

由各圖可以看出，所提方法對各種再入工況的適應(yīng)性較強(qiáng)，可以快速規(guī)劃出滿足所有路徑約束及終端約束的再入軌跡。傾斜角均處于允許范圍內(nèi)。值得一提的是，該規(guī)劃算法在本質(zhì)上保證了再入軌跡的平滑性。同時(shí)，在待飛航程可調(diào)范圍內(nèi)，能夠嚴(yán)格滿足軌跡終端處高度和速度約束。

為驗(yàn)證不確定性存在情況下所提方法的適應(yīng)性，引入大氣不確定性及初始再入?yún)?shù)不確定性，針對工況4進(jìn)行100次蒙特卡洛仿真。不確定性參數(shù)設(shè)置見表5。

由圖5和圖6所示的蒙特卡洛仿真結(jié)果可以看出，在考慮參數(shù)不確定性情況下，軌跡終端對應(yīng)的航向誤差角及待飛航程均處于約束范圍內(nèi)。同時(shí)說明本文所提再入軌跡規(guī)劃方法具有良好的適應(yīng)性。

圖5 終端航向誤差角Fig.5 Terminal heading error angle

圖6 終端待飛航程Fig.6 Terminal range-to-go

4 結(jié) 論

根據(jù)升力式再入航天器動力學(xué)特點(diǎn)，提出了一種直接在高度-速度剖面內(nèi)規(guī)劃再入軌跡的方法。所提方法不依賴于飛行路徑角及其變化率等敏感狀態(tài)量，因而規(guī)劃出的再入軌跡具有高精度、高可靠性特征。同時(shí)，縱向軌跡的獲得不需要對動力學(xué)方程進(jìn)行積分，保證了算法的快速性。蒙特卡洛仿真表明所提算法具有良好的適應(yīng)性。本文所提方法能夠?yàn)樵诰€軌跡規(guī)劃提供技術(shù)參考。