高慧明老師講數(shù)學(xué)(2)

高慧明

高考數(shù)學(xué)試題中以網(wǎng)錐曲線的幾何性質(zhì)為背景的壓軸選擇題主要涉及以下幾種類型問題：求網(wǎng)錐曲線的離心率，求特定字母的取值范圍，求網(wǎng)錐曲線中的最值，以及平面圖形與網(wǎng)錐曲線相結(jié)合的問題。

評(píng)注：在求解有關(guān)離心率的問題時(shí)，一般并不是直接求出c和a的值，而是根據(jù)題目給出的橢圓或雙曲線的幾何特征，建立關(guān)于參數(shù)c，a，b）的方程或不等式，通過解方程或不等式求得離心率的值或范圍。一般來說，求離心率的取值范圍，通常可以從兩個(gè)方面來研究：一是考慮幾何關(guān)系，例如根據(jù)線段的大小關(guān)系或者角的大小關(guān)系列不等式;二是考慮代數(shù)關(guān)系，通過設(shè)點(diǎn)，將所給問題坐標(biāo)化，結(jié)合圓錐曲線方程和本身的范圍來確定。

評(píng)注：拋物線的定義是轉(zhuǎn)化拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離和到準(zhǔn)線距離的橋梁，通過設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)并結(jié)合拋物線的定義，將待求對(duì)象坐標(biāo)化，同時(shí)結(jié)合拋物線的方程消元，利用函數(shù)思想求解最值問題是常見的求最值的方法，有時(shí)還可以用幾何平面幾何知識(shí)求解。

評(píng)注：求離心率問題實(shí)質(zhì)上是根據(jù)已知條件，挖掘題中a，b，c、的等量關(guān)系或者不等關(guān)系，可以借助平面圖形自身滿足的條件或者點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的方程或者范圍等，本題利用平行四邊形的性質(zhì)并結(jié)合雙曲線方程和平行四邊形的面積公式得到關(guān)于a，b，c的方程，進(jìn)而確定離心率的值。

相關(guān)鏈接4.已知橢網(wǎng)和雙曲線有共同

2.求解特定字母取值范圍問題的常用方法

（1）構(gòu)造不等式法。根據(jù)題設(shè)條件及曲線的幾何性質(zhì)（如：曲線的范圍、對(duì)稱性、位置關(guān)系等），建立關(guān)于特定字母的不等式或不等式組，然后解不等式或不等式組，從而求得特定字母的取值范圍。

（2）構(gòu)造函數(shù)法。根據(jù)題設(shè)條件，用其他的變量或參數(shù)表示欲求范圍的特定字母，即建立關(guān)于特定字母的目標(biāo)函數(shù)，然后研究該函數(shù)的值域或最值情況，從而得到特定字母的取值范圍。

（3）數(shù)形結(jié)合法。研究特定字母所對(duì)應(yīng)的幾何意義，然后根據(jù)相關(guān)曲線的定義、幾何性質(zhì)，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的方法求解。

3.求解圓錐曲線中的最值問題的常用方法

（l）幾何方法。利用曲線的定義、幾何性質(zhì)，以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解。

（2）代數(shù)方法。把要求最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為某個(gè)（些）參數(shù)的函數(shù)（解析式），然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進(jìn)行求解。

常見的幾何方法有：①直線外一定點(diǎn)P到直線上各點(diǎn)距離的最小值為點(diǎn)P到直線的垂線段的長度;②圓C外一定點(diǎn)P到網(wǎng)上各點(diǎn)距離的最大值為| PC|+r，最小值為|PC|- r（r為網(wǎng)C半徑）;③過網(wǎng)C內(nèi)一定點(diǎn)P的網(wǎng)的最長的弦即為經(jīng)過P點(diǎn)的直徑，最短的弦為過P點(diǎn)且與經(jīng)過P點(diǎn)的直徑垂直的弦;④網(wǎng)錐曲線上本身存在最值問題，如：橢網(wǎng)上兩點(diǎn)間最大距離為2a（長軸長）;雙曲線上兩點(diǎn)間最小距離為2a（實(shí)軸長）;橢網(wǎng)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的取值范圍為[a-c，a+c]，a-c與a+c分別表示橢網(wǎng)的焦點(diǎn)到橢網(wǎng)上點(diǎn)的最小與最大距離;拋物線上的點(diǎn)中頂點(diǎn)與拋物線的準(zhǔn)線距離最近。

常用的代數(shù)方法有：①利用二次函數(shù)求最值;②通過三角換元，利用正、余弦函數(shù)的有界性求最值;③利用基本不等式求最值;④利用導(dǎo)數(shù)法求最值;⑤利用函數(shù)單調(diào)性求最值。

（責(zé)任編輯 王福華）