物理奧賽拋體問題的處理與運(yùn)用

殷仁勇

(江蘇省儀征中學(xué)，江蘇 揚(yáng)州 211900)

在物理奧賽輔導(dǎo)教學(xué)過程中,會涉及到拋體運(yùn)動問題,如果用初等數(shù)學(xué)處理,要用到比較復(fù)雜的三角函數(shù)知識,且運(yùn)算量大,有時思路比較巧妙,學(xué)生難以想到.本文另辟蹊徑,使用了高等數(shù)學(xué)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo),解一階常系數(shù)非齊次微分方程等數(shù)學(xué)工具,思路直接而又簡單.以下就拋體運(yùn)動的各種情形分別舉例討論．

1 使用斜拋運(yùn)動軌道方程討論各種極值問題

圖1

(1)x,y一定,θ(tanθ)滿足什么條件,v0(v02)取極值?

例1.足球運(yùn)動員在距球門正前方s=11 m處的罰球點(diǎn),準(zhǔn)確地從球門正中橫梁邊沿下踢進(jìn)一球,橫梁邊沿離地高度h=2.5 m,足球質(zhì)量為m=0.5kg,空氣阻力不計,求運(yùn)動員至少要對足球做多少功?

(2)y,v0(v02)一定,θ(tanθ)滿足什么條件,x取極值?

圖2

例2.如圖2所示,拋射體的初速度v0已知,拋出點(diǎn)距離地面的高度為h,求拋射體的水平射程L的極值．

(3)x,v0(v02)一定,θ(tanθ)滿足什么條件,y取極值?

例3.一人在離墻x處踢一足球,若足球初速v0為定值,求擊中墻上可能的最大高度y．

2 平拋運(yùn)動考慮kv空氣阻力

圖3

3 斜拋運(yùn)動考慮kv空氣阻力

例5.質(zhì)量為m的拋射體初速為v0,拋射角為θ,在空氣中運(yùn)動時,所受阻力與速率成正比,比例系數(shù)為k,試求軌跡方程,并驗(yàn)證當(dāng)k→0時變?yōu)樾睊佭\(yùn)動的軌道方程．[3]

由以上兩式消去時間t,得出拋射體的軌跡方程為