基于SD-LCMV算法的FDA平臺外干擾抑制

王博, 謝軍偉,*, 張晶, 葛佳昂

(1. 空軍工程大學防空反導學院， 西安 710051； 2. 陜西交通職業(yè)技術學院， 西安 710018)

與相控陣(Phased Array, PA)不同，頻率分集陣列(Frequency Diverse Array, FDA)通過在陣元間引入遠小于載頻f0的頻差Δf控制相鄰陣元的相差從而形成具有時間-角度-距離相關性的波束指向[1-2]。文獻[3-5]系統(tǒng)綜述了目前FDA領域研究的主要進展以及亟待解決的關鍵技術問題。對于收發(fā)共型的一維均勻線性頻率分集陣列(Uniform Linear Array Frequency Diverse Array, ULA-FDA)，在接收端可通過基于頻域濾波及基于正交波形2種方法實現(xiàn)信號分離，從而得到基于梳狀濾波器的FDA(Frequency Diverse Array Based on Frequency Filter, FDA-BFF)和多輸入多輸出FDA(Frequency Diverse Array based on Multiple-Input Multiple-Output, FDA-MIMO)接收機結構[6-8]。支援干擾機可通過在防區(qū)外釋放強噪聲或密集假目標信號的方式在作戰(zhàn)區(qū)域形成一定的干擾扇面，以掩護作戰(zhàn)飛機突防。此時，作戰(zhàn)飛機與干擾機處于不同的空間位置，可通過空域濾波技術最大化目標方向接收增益，同時對干擾方向增益置零。基于FDA的自適應波束形成方法中雙邊最小方差無失真響應(Two-Side Minimum Variance Distortionless Response, TS-MVDR)波束形成器能夠有效降低經(jīng)典最小方差無失真響應(Minimum Variance Distortionless Response, MVDR)波束形成器的計算復雜度，但當估計的導向矢量存在誤差時，波束形成器的輸出性能會嚴重下降。

針對這一問題，本文在將重疊子陣結構代替ULA-FDA作為接收陣列的基礎上，采用可變加載約束的最速下降線性約束最小方差(Steepest Descent Linear Constrained Minimum Variance, SD-LCMV)算法計算導向矢量失配時的最優(yōu)權矢量，實現(xiàn)了陣列方向圖主瓣的糾偏和保形。最后，仿真驗證了本文分析的正確性。

1 模型假設

圖1為ULA-FDA的基本結構。

圖1 ULA-FDA基本結構Fig.1 Basic conguration of ULA-FDA

窄帶條件下，設載波頻率為f0，則第n個陣元對空輻射信號的載頻為

fn=f0+nΔfn=0,1,…,N-1

(1)

第n個陣元發(fā)射信號可表示為

sn(t)=exp(j2πfnt)n=0,1,…,N-1

(2)

陣元n發(fā)射的信號到達遠場點觀測點(R,θ)的信號表達式為

(3)

式中：陣元n到目標點的距離rn=R-ndsinθ，R為參考陣元到目標點的距離，d為陣元間距;c為光速。一般地，陣元n與陣元n-1發(fā)射的信號傳播到遠場點觀測點(R,θ)時所形成的相位差為

(4)

(5)

采用如圖1所示的陣列作為收發(fā)共型陣，信號在發(fā)射端經(jīng)賦相或加權后向空間輻射，經(jīng)目標二次反射回接收陣列，在接收端通過采用不同的濾波方式可以構成相應的發(fā)射-接收機結構。文獻[8-9]中對帶限相干處理、全波段相干處理、全波段偽相干處理這3種FDA陣列接收端信號處理機制與FDA-PA、FDA-BFF、FDA-MIMO接收機結構的對應關系做了詳細的分析。本文基于文獻中關于FDA陣列3種接收端信號處理機制的分析，對基于PA雷達、FDA-BFF以及FDA-MIMO結構的MVDR波束形成器的干擾抑制性能做進一步的分析。

1.1 MVDR算法模型

假設一PA雷達包含M個全向陣元，目標位于空間(Rs,θs)處，另有Z個干擾源，空間位置分別為(Ri,θi),i=1,2,…,Z，則PA的接收信號可表示為

(6)

式中：s(t)為有用信號；J(t)=[j1(t),j2(t),…,jZ(t)]為干擾信號集；a(θ)為PA的接收導向矢量，即

a(θ)=[1 e-j(2πf0dsin θ/c)… e-j(Z-1)(2πf0dsin θ/c)]

(7)

陣列輸出可表示為

(8)

式中：wH為接收端加權矢量；n(t)為接收機噪聲矢量。MVDR波束形成準則可表述為[10]

s.t.wHa(θs)=1,wHa(θi)=0

(9)

求解式(9)，可得對應的加權矢量為

(10)

式中：R=E[xJ(t)xJH(t)]，xJ(t)=J(t)+n(t)。數(shù)字波束的輸出性能常用輸出信干噪比(SINR)表示，即

(11)

1.2 MVDR算法應用

將FDA-BFF、FDA-MIMO 接收機結構的導向矢量代入式(10)，即可求得相應的最優(yōu)加權矢量。對FDA-BFF結構，陣列輸出為

n(t)=wH[a(R0)*a(θ0)]s(t)+

(12)

式中：a(R)=[1 ej(2πΔfR/c)… ej(N-1)(ΔfR/c)]；a(θ)=[1 e-j(2πf0dsin θ/c)… e-j(N-1)(2πf0dsin θ/c)]；*表示Hadamard積。將導向矢量代入式(10)，得接收端加權矢量為

(13)

輸出信干噪比可為

(14)

對FDA-MIMO結構，陣列輸出可表示為

y(t)=wH[a(R0,θ0)?b(θ0)]s(t)+

(15)

式中：?表示克羅內克積；b(θ)=a(θ)。由式(15)可得，相比于PA雷達和FDA-BFF結構，F(xiàn)DA-MIMO結構具備二維空域的干擾抑制能力，只要干擾與目標在距離、角度一維可分辨，就能夠在保持目標增益的同時對干擾進行抑制，干擾抑制能力更強。此時，接收端加權矢量可表示為

(16)

輸出信干噪比可表示為

(17)

1.3 TS-MVDR算法在FDA-MIMO中的應用

為解決式(10)在FDA-MIMO中直接應用算法復雜度過高的問題，充分利用MIMO導向矢量中的克羅內克結構，采用TS-MVDR[8]進行最優(yōu)權矢量求解，即將MIMO波束形成過程虛擬為發(fā)射波束形成和接收波束形成2個過程，兩過程中的導向矢量分別為a(R,θ)和b(θ)，利用式(9)分別求取對應過程的最優(yōu)權矢量，再求取兩最優(yōu)權矢量的克羅內克積作為最終的權重矢量，該過程可描述為

(18)

假設FDA-MIMO擁有N個陣元，MVDR波束形成器需通過式(15)求解N2個系數(shù)向量；而TS-MVDR相當對單一子陣、子列分別進行MVDR波束形成，最后通過克羅內克積綜合為一個權矢量，僅需求解2N個系數(shù)向量，大大降低了計算量。

2 子陣FDA結構分析

圖1所示基本FDA陣列在陣元間引入固定的頻偏增量，其“S型”的方向圖中存在著距離-角度耦合的問題，這一耦合是由于頻偏增量與陣元間距的線性遞增同步而導致的[11-12]。通過在陣元間引入非線性頻偏增量或者將陣列結構劃分為不同的子陣結構都可以打破這種同步，從而實現(xiàn)方向圖的距離-角度解耦[13-16]。圖2為單邊子陣、中心對稱子陣、重疊子陣以及交叉子陣FDA的陣列結構[17-19]。

本文采用旁瓣最低的重疊子陣FDA結構代替基本的ULA-FDA作為收發(fā)共型陣，同時將正弦形式的非線性頻偏增量引入重疊正弦FDA陣列。圖2(c)的重疊子陣FDA中從參考陣元開始依次構建陣元數(shù)為M的子陣列，相鄰子陣間不完全重疊。假定ULA-FDA陣列陣元數(shù)為N，子陣的陣元數(shù)為M，則可以構建出N-M+1個子陣列。第l個子陣在遠場位置處的信號形式為

圖2 子陣FDA結構Fig.2 Conguration of subarray-based FDAs

(19)

式中:sl(t)為第l個子陣的發(fā)射波形;wl為權矢量；ul為導向矢量，即

(20)

βm,l=2π[Δf(R/c)+f0mdsinθ/c]

(21)

3 可變加載約束SD-LCMV算法

(22)

可變加載約束SD-LCMV算法通過對權重矢量的范數(shù)設置一個上界約束，從而提高波束形成器的穩(wěn)健性能。將式(9)的優(yōu)化問題模型改寫為

(23)

式中:δ表示約束上界。采用拉格朗日乘子法構造代價函數(shù)：

(24)

采用最速下降方向即負梯度方向作為搜索方向，得到權矢量的迭代公式為

(25)

(26)

將式(26)代入式(25)中，得到權重迭代公式為

w(n+1)=P[w(n)-

μyH(n)x(n)]+F-ημPw(n)

(27)

b1η2+b2η+b3=0

(28)

其中：

b1=[μPw(n)]H[μPw(n)]

(29)

(30)

b2=-2Re{(μPw(n)]H[P(w(n)-

μyH(n)x(n))+F]}

(31)

求解可得η。式中：Re[]表示取實部。同時，根據(jù)式(32)在最速下降方向上搜索真實導向矢量：

a(n+1)=a(n)-μ[2w(n+1)+

(32)

4 仿真分析

假設陣元間距d=c/(2f0)，f0=10 GHz，Δf=10 kHz，t=0 s，仿真驗證本文分析的有效性。

仿真13種陣列的干擾抑制特性分析。

本例中考慮30陣元的FDA陣列，假設目標位置為(30 km,30°)，干擾位于(32 km,31°)，基于PA、FDA-BFF結構的MVDR陣列方向圖分別如圖3和圖4所示。改變干擾位置，設干擾位于(32 km,42°)處，得基于MVDR的FDA-BFF陣列方向圖如圖5所示。對于FDA-MIMO結構，由于MIMO的結構復雜性，MVDR波束形成器并不適用于大規(guī)模的FDA-MIMO陣列。當干擾位于(32 km,31°)，當陣元數(shù)分別為9、30時，基于FDA-MIMO結構的MVDR波束形成器的陣列方向圖如圖6和圖7所示。圖8仿真了干擾位于(33 km,31°)時基于TS-MVDR的FDA-MIMO陣列方向圖。

圖4 基于MVDR的FDA-BFF陣列方向圖(N=30)Fig.4 FDA-BFF beampattern based on MVDR (N=30)

一般情況下，PA結構可以在干擾角度形成一條僅與角度相關而與距離無關的“零陷帶”。但當干擾與目標角度接近時，由圖3可知，PA的陣列方向圖會出現(xiàn)主瓣畸變的問題。由于FDA陣元間頻偏增量的原因，圖4中的FDA-BFF結構的波束指向具有距離角度二維相關性，可在(32 km,31°)干擾位置處形成零陷的同時，在目標位置處保持增益。由圖5可知，當干擾的空間位置滿足FDA-BFF結構波束的距離-角度耦合關系時，即干擾位于FDA-BFF的空域主瓣內時，F(xiàn)DA-BFF形成的主瓣在目標位置處依然發(fā)生了畸變，波束形成器輸出性能也出現(xiàn)了下降。

圖5 基于MVDR的FDA-BFF陣列方向圖(N=30)Fig.5 FDA-BFF beampattern based on MVDR (N=30)

圖6 基于MVDR的FDA-MIMO陣列方向圖(N=9)Fig.6 FDA-MIMO beampattern based on MVDR (N=9)

圖7 基于MVDR的FDA-MIMO陣列方向圖(N=30)Fig.7 FDA-MIMO beampattern based on MVDR (N=30)

圖8 基于TS-MVDR的FDA-MIMO陣列方向圖(N=30)Fig.8 FDA-MIMO beampattern based on TS-MVDR (N=30)

由圖6和圖7可知，當N=9時，通過應用一維MVDR能夠得到在目標處增益最大，在干擾處增益置零的方向圖；但當N=30時，雖然在干擾位置處仍能形成零陷，但方向圖出現(xiàn)較大程度畸變，無法找到相應的主瓣區(qū)域。由圖8可看出，利用TS-MVDR算法進行波束形成，在陣元數(shù)較大的情況下方向圖不會出現(xiàn)嚴重的畸變；但當干擾與目標角度相近時，仍會產(chǎn)生主瓣畸變。這是因為TS-MVDR本質上是對算法計算量的優(yōu)化，當干擾與目標角度相近時，在對單一子陣、子列分別進行MVDR波束形成的過程中已經(jīng)存在主瓣畸變的問題，求取克羅內克積的過程對主瓣畸變問題沒有優(yōu)化作用。

仿真24種子陣FDA的發(fā)射方向圖對比。

本文的核心是采用非線性頻偏增量的重疊子陣FDA代替基本ULA-FDA作為收發(fā)共型陣，在導向矢量存在失配時通過SD-LCMV算法求取最優(yōu)導向矢量。本例中對比分析4種子陣FDA結構的發(fā)射方向圖特性。假設基本ULA-FDA的陣元數(shù)為20，每個子陣的陣元數(shù)為10，頻偏增量Δf=2 kHz。圖9為當目標位于(200 km,30°)時4種子陣FDA結構的發(fā)射方向圖。為進一步優(yōu)化，將正弦形式的非線性頻偏引入到4種子陣結構中得到圖10所示的發(fā)射方向圖。

圖9 子陣FDA發(fā)射方向圖Fig.9 Transmit beampattern of subarray-based FDA

與PA波束指向只與角度相關而與距離無關不同，F(xiàn)DA通過在陣元間引入一個固定的頻偏增量增加了雷達的自由度，形成了具有距離-角度相關性的波束指向。當基本FDA的“S型”方向圖中固有的距離-角度耦合會給波束的精確控制等帶來一系列的問題。如圖9所示，僅將基本的ULA-FDA陣列劃分為4種子陣FDA不能有效地實現(xiàn)距離-角度解耦。通過將非線性頻偏增量引入到陣列中得到圖10所示的發(fā)射方向圖。圖10中4種子陣FDA都可在目標位置處形成點狀的波束指向，對比主瓣寬度和旁瓣大小，重疊子陣FDA具有最優(yōu)特性。因此，本文后續(xù)分析基于重疊子陣sin-FDA陣列的MVDR波束形成器的干擾抑制特性。

仿真3ULA-FDA與重疊子陣sin-FDA的方向圖對比。

陣元數(shù)為20的ULA-FDA陣列可以構成11個陣元數(shù)為10的重疊子陣，遠場目標位置處的場強為各子陣場強的疊加。與圖11中基本ULA-FDA發(fā)射陣列的多峰值方向圖不同，圖12中重疊子陣sin-FDA發(fā)射方向圖的波束主瓣在目標位置處可以形成點狀的發(fā)射波束，能夠有效消除靜態(tài)方向圖中的距離-角度耦合。此外，基于中心對稱、交叉子陣以及單邊子陣結構的FDA發(fā)射方向圖都可以實現(xiàn)指向目標位置的點狀波束。將重疊子陣sin-FDA結構作為接收陣列，得到如圖13所示的陣列方向圖。與圖8不同，圖13中得到單峰值的重疊sin-FDA-MIMO的陣列方向圖。當導向矢量失配時波束形成器的性能會出現(xiàn)下降，針對這一問題本文引入SD-LCMV算法計算導向矢量失配時的最優(yōu)權矢量。

仿真4導向矢量失配時的干擾抑制特性。

本例中考慮導向矢量存在2°指向誤差，頻偏增量Δf=2 kHz，陣元數(shù)為20的PA、FDA-BFF及重疊子陣sin-FDA陣列其干擾位于(33 km,32°)時的情況。

圖14～圖16分別為存在2°指向誤差，導向矢量失配情況下基于PA、FDA-BFF及重疊子陣sin-FDA的MVDR波束形成器的陣列方向圖。如圖14和圖15所示，當存在指向誤差時，MVDR波束形成器會收斂到存在誤差的估計導向矢量上，主瓣產(chǎn)生明顯偏移。2種算法在干擾位置處都能形成有效零陷，但基于FDA-BFF的MVDR波束形成器形成的零陷較淺，干擾抑制效果有待進一步提高。本文方法能夠有效糾正主瓣的偏移，避免畸變的出現(xiàn)。同時期方向圖僅在目標位置處形成單一主瓣峰值，這也為后續(xù)關于目標參數(shù)估計的一系列分析中的模糊消除奠定了重要基礎。圖17中本文方法的輸出SINR高于其他2種結構。基于FDA-BFF的MVDR波束形成器存在SINR輸出的性能“凹口”，出現(xiàn)凹口的原因是因為主瓣畸變。

圖13 重疊子陣sin-FDA陣列方向圖Fig.13 Overlapping subarray-based sin-FDA beampattern

圖14 存在指向誤差時的PA陣列方向圖Fig.14 PA beampattern with pointing error

圖15 存在指向誤差時的FDA-BFF陣列方向圖Fig.15 FDA-BFF beampattern with pointing error

圖16 存在指向誤差時的重疊子陣sin-FDA陣列方向圖Fig.16 Overlapping subarray-based sin-FDA beampattern with pointing error

圖17 3種機制的SINR比較Fig.17 SINR comparison among three architectures

5 結 論

1) 分析了干擾與目標位置接近時，MVDR波束形成器在陣元數(shù)較大、導向矢量失配時出現(xiàn)的主瓣畸變問題。

2) 對比了4種子陣FDA的陣列方向圖特性，得到將正弦頻控函數(shù)引入重疊子陣FDA中可以得到較為理想的主瓣寬度及旁瓣特性。

3) 對比驗證了與ULA-FDA陣列相比，重疊子陣sin-FDA陣列的發(fā)射方向圖與陣列方向圖具有的解距離-角度耦合特性。

4) 仿真驗證了當導向矢量存在指向誤差時，通過SD-LCMV算法的修正，基于重疊子陣sin-FDA的陣列方向圖能夠在抑制干擾的同時實現(xiàn)主瓣糾偏和保形。