王博, 謝軍偉,*, 張晶, 葛佳昂
(1. 空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院, 西安 710051; 2. 陜西交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院, 西安 710018)
與相控陣(Phased Array, PA)不同,頻率分集陣列(Frequency Diverse Array, FDA)通過(guò)在陣元間引入遠(yuǎn)小于載頻f0的頻差Δf控制相鄰陣元的相差從而形成具有時(shí)間-角度-距離相關(guān)性的波束指向[1-2]。文獻(xiàn)[3-5]系統(tǒng)綜述了目前FDA領(lǐng)域研究的主要進(jìn)展以及亟待解決的關(guān)鍵技術(shù)問(wèn)題。對(duì)于收發(fā)共型的一維均勻線性頻率分集陣列(Uniform Linear Array Frequency Diverse Array, ULA-FDA),在接收端可通過(guò)基于頻域?yàn)V波及基于正交波形2種方法實(shí)現(xiàn)信號(hào)分離,從而得到基于梳狀濾波器的FDA(Frequency Diverse Array Based on Frequency Filter, FDA-BFF)和多輸入多輸出FDA(Frequency Diverse Array based on Multiple-Input Multiple-Output, FDA-MIMO)接收機(jī)結(jié)構(gòu)[6-8]。支援干擾機(jī)可通過(guò)在防區(qū)外釋放強(qiáng)噪聲或密集假目標(biāo)信號(hào)的方式在作戰(zhàn)區(qū)域形成一定的干擾扇面,以掩護(hù)作戰(zhàn)飛機(jī)突防。此時(shí),作戰(zhàn)飛機(jī)與干擾機(jī)處于不同的空間位置,可通過(guò)空域?yàn)V波技術(shù)最大化目標(biāo)方向接收增益,同時(shí)對(duì)干擾方向增益置零?;贔DA的自適應(yīng)波束形成方法中雙邊最小方差無(wú)失真響應(yīng)(Two-Side Minimum Variance Distortionless Response, TS-MVDR)波束形成器能夠有效降低經(jīng)典最小方差無(wú)失真響應(yīng)(Minimum Variance Distortionless Response, MVDR)波束形成器的計(jì)算復(fù)雜度,但當(dāng)估計(jì)的導(dǎo)向矢量存在誤差時(shí),波束形成器的輸出性能會(huì)嚴(yán)重下降。
針對(duì)這一問(wèn)題,本文在將重疊子陣結(jié)構(gòu)代替ULA-FDA作為接收陣列的基礎(chǔ)上,采用可變加載約束的最速下降線性約束最小方差(Steepest Descent Linear Constrained Minimum Variance, SD-LCMV)算法計(jì)算導(dǎo)向矢量失配時(shí)的最優(yōu)權(quán)矢量,實(shí)現(xiàn)了陣列方向圖主瓣的糾偏和保形。最后,仿真驗(yàn)證了本文分析的正確性。
圖1為ULA-FDA的基本結(jié)構(gòu)。
圖1 ULA-FDA基本結(jié)構(gòu)Fig.1 Basic conguration of ULA-FDA
窄帶條件下,設(shè)載波頻率為f0,則第n個(gè)陣元對(duì)空輻射信號(hào)的載頻為
fn=f0+nΔfn=0,1,…,N-1
(1)
第n個(gè)陣元發(fā)射信號(hào)可表示為
sn(t)=exp(j2πfnt)n=0,1,…,N-1
(2)
陣元n發(fā)射的信號(hào)到達(dá)遠(yuǎn)場(chǎng)點(diǎn)觀測(cè)點(diǎn)(R,θ)的信號(hào)表達(dá)式為
(3)
式中:陣元n到目標(biāo)點(diǎn)的距離rn=R-ndsinθ,R為參考陣元到目標(biāo)點(diǎn)的距離,d為陣元間距;c為光速。一般地,陣元n與陣元n-1發(fā)射的信號(hào)傳播到遠(yuǎn)場(chǎng)點(diǎn)觀測(cè)點(diǎn)(R,θ)時(shí)所形成的相位差為
(4)
(5)
采用如圖1所示的陣列作為收發(fā)共型陣,信號(hào)在發(fā)射端經(jīng)賦相或加權(quán)后向空間輻射,經(jīng)目標(biāo)二次反射回接收陣列,在接收端通過(guò)采用不同的濾波方式可以構(gòu)成相應(yīng)的發(fā)射-接收機(jī)結(jié)構(gòu)。文獻(xiàn)[8-9]中對(duì)帶限相干處理、全波段相干處理、全波段偽相干處理這3種FDA陣列接收端信號(hào)處理機(jī)制與FDA-PA、FDA-BFF、FDA-MIMO接收機(jī)結(jié)構(gòu)的對(duì)應(yīng)關(guān)系做了詳細(xì)的分析。本文基于文獻(xiàn)中關(guān)于FDA陣列3種接收端信號(hào)處理機(jī)制的分析,對(duì)基于PA雷達(dá)、FDA-BFF以及FDA-MIMO結(jié)構(gòu)的MVDR波束形成器的干擾抑制性能做進(jìn)一步的分析。
假設(shè)一PA雷達(dá)包含M個(gè)全向陣元,目標(biāo)位于空間(Rs,θs)處,另有Z個(gè)干擾源,空間位置分別為(Ri,θi),i=1,2,…,Z,則PA的接收信號(hào)可表示為
(6)
式中:s(t)為有用信號(hào);J(t)=[j1(t),j2(t),…,jZ(t)]為干擾信號(hào)集;a(θ)為PA的接收導(dǎo)向矢量,即
a(θ)=[1 e-j(2πf0dsin θ/c)… e-j(Z-1)(2πf0dsin θ/c)]
(7)
陣列輸出可表示為
(8)
式中:wH為接收端加權(quán)矢量;n(t)為接收機(jī)噪聲矢量。MVDR波束形成準(zhǔn)則可表述為[10]
s.t.wHa(θs)=1,wHa(θi)=0
(9)
求解式(9),可得對(duì)應(yīng)的加權(quán)矢量為
(10)
式中:R=E[xJ(t)xJH(t)],xJ(t)=J(t)+n(t)。數(shù)字波束的輸出性能常用輸出信干噪比(SINR)表示,即
(11)
將FDA-BFF、FDA-MIMO 接收機(jī)結(jié)構(gòu)的導(dǎo)向矢量代入式(10),即可求得相應(yīng)的最優(yōu)加權(quán)矢量。對(duì)FDA-BFF結(jié)構(gòu),陣列輸出為
n(t)=wH[a(R0)*a(θ0)]s(t)+
(12)
式中:a(R)=[1 ej(2πΔfR/c)… ej(N-1)(ΔfR/c)];a(θ)=[1 e-j(2πf0dsin θ/c)… e-j(N-1)(2πf0dsin θ/c)];*表示Hadamard積。將導(dǎo)向矢量代入式(10),得接收端加權(quán)矢量為
(13)
輸出信干噪比可為
(14)
對(duì)FDA-MIMO結(jié)構(gòu),陣列輸出可表示為
y(t)=wH[a(R0,θ0)?b(θ0)]s(t)+
(15)
式中:?表示克羅內(nèi)克積;b(θ)=a(θ)。由式(15)可得,相比于PA雷達(dá)和FDA-BFF結(jié)構(gòu),F(xiàn)DA-MIMO結(jié)構(gòu)具備二維空域的干擾抑制能力,只要干擾與目標(biāo)在距離、角度一維可分辨,就能夠在保持目標(biāo)增益的同時(shí)對(duì)干擾進(jìn)行抑制,干擾抑制能力更強(qiáng)。此時(shí),接收端加權(quán)矢量可表示為
(16)
輸出信干噪比可表示為
(17)
為解決式(10)在FDA-MIMO中直接應(yīng)用算法復(fù)雜度過(guò)高的問(wèn)題,充分利用MIMO導(dǎo)向矢量中的克羅內(nèi)克結(jié)構(gòu),采用TS-MVDR[8]進(jìn)行最優(yōu)權(quán)矢量求解,即將MIMO波束形成過(guò)程虛擬為發(fā)射波束形成和接收波束形成2個(gè)過(guò)程,兩過(guò)程中的導(dǎo)向矢量分別為a(R,θ)和b(θ),利用式(9)分別求取對(duì)應(yīng)過(guò)程的最優(yōu)權(quán)矢量,再求取兩最優(yōu)權(quán)矢量的克羅內(nèi)克積作為最終的權(quán)重矢量,該過(guò)程可描述為
(18)
假設(shè)FDA-MIMO擁有N個(gè)陣元,MVDR波束形成器需通過(guò)式(15)求解N2個(gè)系數(shù)向量;而TS-MVDR相當(dāng)對(duì)單一子陣、子列分別進(jìn)行MVDR波束形成,最后通過(guò)克羅內(nèi)克積綜合為一個(gè)權(quán)矢量,僅需求解2N個(gè)系數(shù)向量,大大降低了計(jì)算量。
圖1所示基本FDA陣列在陣元間引入固定的頻偏增量,其“S型”的方向圖中存在著距離-角度耦合的問(wèn)題,這一耦合是由于頻偏增量與陣元間距的線性遞增同步而導(dǎo)致的[11-12]。通過(guò)在陣元間引入非線性頻偏增量或者將陣列結(jié)構(gòu)劃分為不同的子陣結(jié)構(gòu)都可以打破這種同步,從而實(shí)現(xiàn)方向圖的距離-角度解耦[13-16]。圖2為單邊子陣、中心對(duì)稱子陣、重疊子陣以及交叉子陣FDA的陣列結(jié)構(gòu)[17-19]。
本文采用旁瓣最低的重疊子陣FDA結(jié)構(gòu)代替基本的ULA-FDA作為收發(fā)共型陣,同時(shí)將正弦形式的非線性頻偏增量引入重疊正弦FDA陣列。圖2(c)的重疊子陣FDA中從參考陣元開(kāi)始依次構(gòu)建陣元數(shù)為M的子陣列,相鄰子陣間不完全重疊。假定ULA-FDA陣列陣元數(shù)為N,子陣的陣元數(shù)為M,則可以構(gòu)建出N-M+1個(gè)子陣列。第l個(gè)子陣在遠(yuǎn)場(chǎng)位置處的信號(hào)形式為
圖2 子陣FDA結(jié)構(gòu)Fig.2 Conguration of subarray-based FDAs
(19)
式中:sl(t)為第l個(gè)子陣的發(fā)射波形;wl為權(quán)矢量;ul為導(dǎo)向矢量,即
(20)
βm,l=2π[Δf(R/c)+f0mdsinθ/c]
(21)
(22)
可變加載約束SD-LCMV算法通過(guò)對(duì)權(quán)重矢量的范數(shù)設(shè)置一個(gè)上界約束,從而提高波束形成器的穩(wěn)健性能。將式(9)的優(yōu)化問(wèn)題模型改寫(xiě)為
(23)
式中:δ表示約束上界。采用拉格朗日乘子法構(gòu)造代價(jià)函數(shù):
(24)
采用最速下降方向即負(fù)梯度方向作為搜索方向,得到權(quán)矢量的迭代公式為
(25)
(26)
將式(26)代入式(25)中,得到權(quán)重迭代公式為
w(n+1)=P[w(n)-
μyH(n)x(n)]+F-ημPw(n)
(27)
b1η2+b2η+b3=0
(28)
其中:
b1=[μPw(n)]H[μPw(n)]
(29)
(30)
b2=-2Re{(μPw(n)]H[P(w(n)-
μyH(n)x(n))+F]}
(31)
求解可得η。式中:Re[]表示取實(shí)部。同時(shí),根據(jù)式(32)在最速下降方向上搜索真實(shí)導(dǎo)向矢量:
a(n+1)=a(n)-μ[2w(n+1)+
(32)
假設(shè)陣元間距d=c/(2f0),f0=10 GHz,Δf=10 kHz,t=0 s,仿真驗(yàn)證本文分析的有效性。
仿真13種陣列的干擾抑制特性分析。
本例中考慮30陣元的FDA陣列,假設(shè)目標(biāo)位置為(30 km,30°),干擾位于(32 km,31°),基于PA、FDA-BFF結(jié)構(gòu)的MVDR陣列方向圖分別如圖3和圖4所示。改變干擾位置,設(shè)干擾位于(32 km,42°)處,得基于MVDR的FDA-BFF陣列方向圖如圖5所示。對(duì)于FDA-MIMO結(jié)構(gòu),由于MIMO的結(jié)構(gòu)復(fù)雜性,MVDR波束形成器并不適用于大規(guī)模的FDA-MIMO陣列。當(dāng)干擾位于(32 km,31°),當(dāng)陣元數(shù)分別為9、30時(shí),基于FDA-MIMO結(jié)構(gòu)的MVDR波束形成器的陣列方向圖如圖6和圖7所示。圖8仿真了干擾位于(33 km,31°)時(shí)基于TS-MVDR的FDA-MIMO陣列方向圖。
圖4 基于MVDR的FDA-BFF陣列方向圖(N=30)Fig.4 FDA-BFF beampattern based on MVDR (N=30)
一般情況下,PA結(jié)構(gòu)可以在干擾角度形成一條僅與角度相關(guān)而與距離無(wú)關(guān)的“零陷帶”。但當(dāng)干擾與目標(biāo)角度接近時(shí),由圖3可知,PA的陣列方向圖會(huì)出現(xiàn)主瓣畸變的問(wèn)題。由于FDA陣元間頻偏增量的原因,圖4中的FDA-BFF結(jié)構(gòu)的波束指向具有距離角度二維相關(guān)性,可在(32 km,31°)干擾位置處形成零陷的同時(shí),在目標(biāo)位置處保持增益。由圖5可知,當(dāng)干擾的空間位置滿足FDA-BFF結(jié)構(gòu)波束的距離-角度耦合關(guān)系時(shí),即干擾位于FDA-BFF的空域主瓣內(nèi)時(shí),F(xiàn)DA-BFF形成的主瓣在目標(biāo)位置處依然發(fā)生了畸變,波束形成器輸出性能也出現(xiàn)了下降。
圖5 基于MVDR的FDA-BFF陣列方向圖(N=30)Fig.5 FDA-BFF beampattern based on MVDR (N=30)
圖6 基于MVDR的FDA-MIMO陣列方向圖(N=9)Fig.6 FDA-MIMO beampattern based on MVDR (N=9)
圖7 基于MVDR的FDA-MIMO陣列方向圖(N=30)Fig.7 FDA-MIMO beampattern based on MVDR (N=30)
圖8 基于TS-MVDR的FDA-MIMO陣列方向圖(N=30)Fig.8 FDA-MIMO beampattern based on TS-MVDR (N=30)
由圖6和圖7可知,當(dāng)N=9時(shí),通過(guò)應(yīng)用一維MVDR能夠得到在目標(biāo)處增益最大,在干擾處增益置零的方向圖;但當(dāng)N=30時(shí),雖然在干擾位置處仍能形成零陷,但方向圖出現(xiàn)較大程度畸變,無(wú)法找到相應(yīng)的主瓣區(qū)域。由圖8可看出,利用TS-MVDR算法進(jìn)行波束形成,在陣元數(shù)較大的情況下方向圖不會(huì)出現(xiàn)嚴(yán)重的畸變;但當(dāng)干擾與目標(biāo)角度相近時(shí),仍會(huì)產(chǎn)生主瓣畸變。這是因?yàn)門(mén)S-MVDR本質(zhì)上是對(duì)算法計(jì)算量的優(yōu)化,當(dāng)干擾與目標(biāo)角度相近時(shí),在對(duì)單一子陣、子列分別進(jìn)行MVDR波束形成的過(guò)程中已經(jīng)存在主瓣畸變的問(wèn)題,求取克羅內(nèi)克積的過(guò)程對(duì)主瓣畸變問(wèn)題沒(méi)有優(yōu)化作用。
仿真24種子陣FDA的發(fā)射方向圖對(duì)比。
本文的核心是采用非線性頻偏增量的重疊子陣FDA代替基本ULA-FDA作為收發(fā)共型陣,在導(dǎo)向矢量存在失配時(shí)通過(guò)SD-LCMV算法求取最優(yōu)導(dǎo)向矢量。本例中對(duì)比分析4種子陣FDA結(jié)構(gòu)的發(fā)射方向圖特性。假設(shè)基本ULA-FDA的陣元數(shù)為20,每個(gè)子陣的陣元數(shù)為10,頻偏增量Δf=2 kHz。圖9為當(dāng)目標(biāo)位于(200 km,30°)時(shí)4種子陣FDA結(jié)構(gòu)的發(fā)射方向圖。為進(jìn)一步優(yōu)化,將正弦形式的非線性頻偏引入到4種子陣結(jié)構(gòu)中得到圖10所示的發(fā)射方向圖。
圖9 子陣FDA發(fā)射方向圖Fig.9 Transmit beampattern of subarray-based FDA
與PA波束指向只與角度相關(guān)而與距離無(wú)關(guān)不同,F(xiàn)DA通過(guò)在陣元間引入一個(gè)固定的頻偏增量增加了雷達(dá)的自由度,形成了具有距離-角度相關(guān)性的波束指向。當(dāng)基本FDA的“S型”方向圖中固有的距離-角度耦合會(huì)給波束的精確控制等帶來(lái)一系列的問(wèn)題。如圖9所示,僅將基本的ULA-FDA陣列劃分為4種子陣FDA不能有效地實(shí)現(xiàn)距離-角度解耦。通過(guò)將非線性頻偏增量引入到陣列中得到圖10所示的發(fā)射方向圖。圖10中4種子陣FDA都可在目標(biāo)位置處形成點(diǎn)狀的波束指向,對(duì)比主瓣寬度和旁瓣大小,重疊子陣FDA具有最優(yōu)特性。因此,本文后續(xù)分析基于重疊子陣sin-FDA陣列的MVDR波束形成器的干擾抑制特性。
仿真3ULA-FDA與重疊子陣sin-FDA的方向圖對(duì)比。
陣元數(shù)為20的ULA-FDA陣列可以構(gòu)成11個(gè)陣元數(shù)為10的重疊子陣,遠(yuǎn)場(chǎng)目標(biāo)位置處的場(chǎng)強(qiáng)為各子陣場(chǎng)強(qiáng)的疊加。與圖11中基本ULA-FDA發(fā)射陣列的多峰值方向圖不同,圖12中重疊子陣sin-FDA發(fā)射方向圖的波束主瓣在目標(biāo)位置處可以形成點(diǎn)狀的發(fā)射波束,能夠有效消除靜態(tài)方向圖中的距離-角度耦合。此外,基于中心對(duì)稱、交叉子陣以及單邊子陣結(jié)構(gòu)的FDA發(fā)射方向圖都可以實(shí)現(xiàn)指向目標(biāo)位置的點(diǎn)狀波束。將重疊子陣sin-FDA結(jié)構(gòu)作為接收陣列,得到如圖13所示的陣列方向圖。與圖8不同,圖13中得到單峰值的重疊sin-FDA-MIMO的陣列方向圖。當(dāng)導(dǎo)向矢量失配時(shí)波束形成器的性能會(huì)出現(xiàn)下降,針對(duì)這一問(wèn)題本文引入SD-LCMV算法計(jì)算導(dǎo)向矢量失配時(shí)的最優(yōu)權(quán)矢量。
仿真4導(dǎo)向矢量失配時(shí)的干擾抑制特性。
本例中考慮導(dǎo)向矢量存在2°指向誤差,頻偏增量Δf=2 kHz,陣元數(shù)為20的PA、FDA-BFF及重疊子陣sin-FDA陣列其干擾位于(33 km,32°)時(shí)的情況。
圖14~圖16分別為存在2°指向誤差,導(dǎo)向矢量失配情況下基于PA、FDA-BFF及重疊子陣sin-FDA的MVDR波束形成器的陣列方向圖。如圖14和圖15所示,當(dāng)存在指向誤差時(shí),MVDR波束形成器會(huì)收斂到存在誤差的估計(jì)導(dǎo)向矢量上,主瓣產(chǎn)生明顯偏移。2種算法在干擾位置處都能形成有效零陷,但基于FDA-BFF的MVDR波束形成器形成的零陷較淺,干擾抑制效果有待進(jìn)一步提高。本文方法能夠有效糾正主瓣的偏移,避免畸變的出現(xiàn)。同時(shí)期方向圖僅在目標(biāo)位置處形成單一主瓣峰值,這也為后續(xù)關(guān)于目標(biāo)參數(shù)估計(jì)的一系列分析中的模糊消除奠定了重要基礎(chǔ)。圖17中本文方法的輸出SINR高于其他2種結(jié)構(gòu)?;贔DA-BFF的MVDR波束形成器存在SINR輸出的性能“凹口”,出現(xiàn)凹口的原因是因?yàn)橹靼昊儭?/p>
圖13 重疊子陣sin-FDA陣列方向圖Fig.13 Overlapping subarray-based sin-FDA beampattern
圖14 存在指向誤差時(shí)的PA陣列方向圖Fig.14 PA beampattern with pointing error
圖15 存在指向誤差時(shí)的FDA-BFF陣列方向圖Fig.15 FDA-BFF beampattern with pointing error
圖16 存在指向誤差時(shí)的重疊子陣sin-FDA陣列方向圖Fig.16 Overlapping subarray-based sin-FDA beampattern with pointing error
圖17 3種機(jī)制的SINR比較Fig.17 SINR comparison among three architectures
1) 分析了干擾與目標(biāo)位置接近時(shí),MVDR波束形成器在陣元數(shù)較大、導(dǎo)向矢量失配時(shí)出現(xiàn)的主瓣畸變問(wèn)題。
2) 對(duì)比了4種子陣FDA的陣列方向圖特性,得到將正弦頻控函數(shù)引入重疊子陣FDA中可以得到較為理想的主瓣寬度及旁瓣特性。
3) 對(duì)比驗(yàn)證了與ULA-FDA陣列相比,重疊子陣sin-FDA陣列的發(fā)射方向圖與陣列方向圖具有的解距離-角度耦合特性。
4) 仿真驗(yàn)證了當(dāng)導(dǎo)向矢量存在指向誤差時(shí),通過(guò)SD-LCMV算法的修正,基于重疊子陣sin-FDA的陣列方向圖能夠在抑制干擾的同時(shí)實(shí)現(xiàn)主瓣糾偏和保形。