《線性代數(shù)》中“特征值與特征向量”的教學(xué)創(chuàng)新探析

張明

（中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院，北京 100048）

線性代數(shù)（Linear Algebra）是數(shù)學(xué)學(xué)科的一個(gè)重要分支，它的研究對(duì)象是向量、向量空間（或稱線性空間）、線性變換和有限維的線性方程組。但是由于線性代數(shù)課程的理論性、抽象性及學(xué)生所學(xué)知識(shí)的有限性，我們發(fā)現(xiàn)，同學(xué)們很難理解這些名詞，更談不上深層次的應(yīng)用了，特別是對(duì)文科專業(yè)的學(xué)生而言。其中，特征值與特征向量就是一個(gè)大家公認(rèn)的難點(diǎn)。那么我們換個(gè)視角，不從科學(xué)的、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕嵌葋?lái)學(xué)習(xí)，而是采用“形象的”的方式先掌握住它，然后再?gòu)母摺⒏畹膶哟蝸?lái)理解、應(yīng)用，也是一條很不錯(cuò)的學(xué)習(xí)路徑與方法。

關(guān)于特征值與特征向量，有觀點(diǎn)認(rèn)為是大數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）在化三元二次型到主軸的著作里隱含出現(xiàn)了特征方程概念； 也有學(xué)者認(rèn)為是約瑟夫·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）在思考和處理六大行星運(yùn)動(dòng)的微分方程組時(shí)，首先明確給出特征方程的概念；現(xiàn)在，更多的觀點(diǎn)把它歸功于矩陣論的創(chuàng)立者、第一個(gè)把矩陣作為一個(gè)獨(dú)立的數(shù)學(xué)概念提出來(lái)的數(shù)學(xué)家凱萊（A.Cayley）。下面我們就先從特征值與特征向量的定義與性質(zhì)、矩陣的相似對(duì)角化和對(duì)稱矩陣的正交對(duì)角化從“形象的”角度談起。

1 特征值與特征向量的定義與計(jì)算

在《線性代數(shù)》教材中：設(shè)A 為n 階方陣，若存在數(shù)λ 和n 為非零向量α≠0，使Aα=λα，則稱λ 是方陣A的特征值，α 是方陣A 的屬于特征值λ 的特征向量；矩陣λE-A 稱為方陣A 的特征矩陣；|λE-A|是λ 的n 次多項(xiàng)式，稱為方陣A 的特征多項(xiàng)式；|λE-A|=0 稱為方陣A 的特征方程。比如，對(duì)于方陣而言，對(duì)于顯然有Aα=λα，所以5 為A 有一個(gè)特征值，為A 的屬于特征值5 的特征向量。

通過(guò)觀察，可以發(fā)現(xiàn)特征方程|λE-A|=0 的解即為方陣A 的特征值λ0，此處我們還發(fā)現(xiàn)，由于|λE-A|=0是λ 的n 次多項(xiàng)式，從而特征方程|λE-A|=0 有個(gè)n 根（包括重根），也就是說(shuō)n 階方陣A 有n 個(gè)特征根，而相應(yīng)的特征向量α 為方程組（λ0E-A）x=0 的非零解。此處可以這樣理解（以下僅是借助于老舊社會(huì)的一些名詞，沒(méi)有任何崇尚或推廣封建余孽思想的含義于其中，其目的是為了不用專業(yè)術(shù)語(yǔ)來(lái)解釋相關(guān)理論）：

方陣可以理解為封建社會(huì)的富人，他們一般都是肚圓腸肥，身高幾乎等于圓乎乎肚子的直徑，也就是個(gè)好方的富人，我們稱之為方陣； 而富人們一般兒孫很多，n 階富人A 就有了n 個(gè)兒子，也就是n 階方陣A 有n 個(gè)特征根；富人的兒子們總會(huì)娶妻納妾，大兒子λ1的妻就是方程組（λ1E-A）x=0 的基礎(chǔ)解系，妾就是方程組（λ1E-A）x=0 的所有解（基礎(chǔ)解系的線性組合，也就是屬于特征值λ1的所有特征向量）。

總結(jié)，n 階方陣A 有n 個(gè)特征根，也就是n 階富人有n 個(gè)兒子，由于其財(cái)大氣粗，每個(gè)兒子妻妾成群，方陣A 有屬于不同特征根的特征向量就是相應(yīng)方程組（λ0E-A）x=0 的所有解，也就是每個(gè)兒子成群的妻妾們。

2 矩陣的相似對(duì)角化問(wèn)題

設(shè)A 為n 階方陣，若存在n 階可逆陣P，使P-1AP=Λ 和其中Λ 為對(duì)角矩陣，稱Λ 與對(duì)角矩陣相似，也稱方陣可以相似對(duì)角化。此時(shí)，設(shè)且P-1AP=Λ，有AP=PΛ，將矩陣P 分塊，得A（α1，α2，···αn）=（α1，α2，···，αn）Λ，從而有Aαi=λαi（i=1，2，···，n）。不難發(fā)現(xiàn)，如果存在n 階可逆陣P，使得P-1AP=Λ，那么對(duì)角矩陣就是矩陣A 的特征值，而可逆矩陣P，就是每一個(gè)特征值相應(yīng)特征向量按列排所得。

總結(jié)，n 階富人想讓兒媳婦們把自己的家A 打掃、收拾得井井有條、干干凈凈于是他發(fā)動(dòng)兒媳婦們?chǔ)?，α2，···αn把家里里外外都認(rèn)真的打掃了一遍（α1，α2，···αn）TA（α1，α2，···αn），于是，這個(gè)家就井井有條，兒子們也就規(guī)規(guī)矩矩的了，而這恰好是方陣為相似對(duì)角化的過(guò)程與計(jì)算。

此處還有一個(gè)問(wèn)題，是隨隨便便一位富人就可以做到這件事情的嗎？答案當(dāng)然是否定的，所以教材上有這樣的定理或者結(jié)論：

定理1：n 階矩陣A 和對(duì)角陣相似當(dāng)且僅當(dāng)A 有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。

那換個(gè)說(shuō)法，富人的n 個(gè)兒媳婦彼此間互不影響的情況下，才能夠順順利利的把家打掃的一塵不染，干干凈凈。畢竟，萬(wàn)一有兩個(gè)兒媳婦是親戚，串通好偷奸?；?，這家就沒(méi)法打掃了嘛！

定理2：如果A 有n 個(gè)不同的特征值，則A 和對(duì)角陣相似。因?yàn)?，矩陣A 的屬于不同特征值的特征向量是線性無(wú)關(guān)的。（證明略）

此時(shí)，富人家的兒子們性格迥異完全不同，都一心想著把家來(lái)打掃，妻子們必然也會(huì)去把家收拾干凈、利索的。

3 對(duì)稱矩陣的正交對(duì)角化

設(shè)A 為n 階對(duì)稱矩陣，若存在n 階正交矩陣Q，使QTAQ=Λ,其中Λ 為對(duì)角矩陣，稱對(duì)稱矩陣A 可以正交對(duì)角化。此時(shí)正交矩陣的Q 特點(diǎn)是QQT=E，即QT=Q-1，根據(jù)相似對(duì)角化的過(guò)程，設(shè)對(duì)稱矩A 陣的特征值λ1，λ2，···，λn，相應(yīng)的特征向量為α1，α2···，αn，運(yùn)用施密特正交化方法，將向量組α1，α2，···αn 正交化得β1，β2，···，βn，再將其單位化得ε1，ε2，···，εn，令Q=（ε1，ε2，···，εn）顯然有QQT=E，且即。

總結(jié)：n 階對(duì)稱矩陣A，也就是工工整整的富人想讓知書達(dá)理、美麗大方的兒媳婦們把自己的家打掃、收拾的很整潔 但兒媳們的受教育程度參差不齊，于是富人先讓兒媳婦們?chǔ)?，α2，···，αn 參加培訓(xùn)，培訓(xùn)學(xué)習(xí)之后就各個(gè)美麗大方、知書達(dá)理、精通琴棋書畫，ε1，ε2，···，εn，此時(shí)

家就被打掃得很整潔，而這正好又是對(duì)稱矩陣A正交對(duì)角化的過(guò)程的體現(xiàn)。

4 結(jié)語(yǔ)

以上內(nèi)容屬于從生活實(shí)例的角度來(lái)看、解釋嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)知識(shí)，其目的僅是為了學(xué)生更容易接受、理解抽象、晦澀的數(shù)學(xué)知識(shí)，不涉及任何的歧視及封建思想的宣揚(yáng)。

畢竟《線性代數(shù)》的基本理論、基本知識(shí)高度抽象，又具有嚴(yán)密的邏輯性，再由于學(xué)生學(xué)習(xí)、接觸的知識(shí)面，單純地從數(shù)學(xué)或者專業(yè)的知識(shí)角度去完全理解、掌握所有的知識(shí)點(diǎn)是非常困難的，并且在這個(gè)過(guò)程中，會(huì)有一些學(xué)生選擇放棄，這是我們所不愿意看到的，所以嘗試著從非專業(yè)、非科學(xué)的角度來(lái)解釋、講解晦澀的知識(shí)。這僅是一種嘗試，失敗與成功還是要看其效果。