平面體系的自由度計算及分析步驟芻議

周海龍　安珍　李平　李昊

摘? 要：平面體系的幾何組成分析是結(jié)構(gòu)力學(xué)與建筑力學(xué)課程的教學(xué)重點與難點，自由度等基本概念的理解及基本規(guī)則的掌握是學(xué)好本章的基礎(chǔ)，作者根據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗，依據(jù)學(xué)生作業(yè)常出現(xiàn)的問題，對自由度的計算給出合理化的公式，并按照“三步走”的思路給出幾何組成分析習(xí)題規(guī)范的解題步驟，對學(xué)生掌握好本章內(nèi)容，養(yǎng)成嚴謹認真的學(xué)習(xí)態(tài)度具有重要指導(dǎo)意義。

關(guān)鍵詞：平面體系;自由度;幾何組成分析;分析步驟

中圖分類號：Ο342? ? ? ? ?文獻標志碼：A? ? ? ? ?文章編號：2095-2945（2019）31-0032-03

Abstract： The analysis of the geometric composition of the plane system is the teaching focus and difficulty of the course of structural mechanics and architectural mechanics. The understanding of basic concepts such as freedom and the mastery of basic rules are the basis for learning this chapter. Based on years of teaching experience， the author gives a rational formula for calculating freedom based on the problems that often arise in student homework. And in accordance with the "three-step walk" thinking to give the geometric composition of the analysis of the specification of the problem-solving steps， which to master the content of this chapter， to develop a rigorous and serious attitude of learning for students has an important guiding significance.

Keywords： plane system; freedom; geometric composition analysis; analysis steps

平面體系的幾何組成分析就是分析若干桿件所組成的體系是幾何不變體系還是幾何可變體系，有的教材將此過程稱為幾何構(gòu)造分析或機動分析[1]，其主要目的就是確定體系能否作為工程結(jié)構(gòu)，工程結(jié)構(gòu)要求體系必須為幾何不變體系，另外通過分析體系的內(nèi)部組成，可以搞清楚桿件部分之間的組成規(guī)律，以便選擇合理的計算次序，同時也可以給出體系所屬具體結(jié)構(gòu)類型，靜定結(jié)構(gòu)還是超靜定結(jié)構(gòu)，以方便選擇不同的計算方法，提高計算的效率[2]。因此，本章內(nèi)容看似文字偏多，計算內(nèi)容偏少，但重要性不言而喻，它直接影響后續(xù)靜定結(jié)構(gòu)與超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計算，一定程度上也決定著你能否將結(jié)構(gòu)力學(xué)學(xué)通學(xué)透的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。基本概念多是本章內(nèi)容的一個特點，體系分析過程的文字表述也是本章的一個特色，已發(fā)表的相關(guān)文獻[3-6]較多的集中在分析方法與規(guī)則利用技巧等方面進行闡述，對于基本概念與規(guī)范的分析步驟論述比較欠缺，因此，筆者根據(jù)多年的結(jié)構(gòu)力學(xué)教學(xué)經(jīng)驗，對這兩方面的問題，也有些新的體會，在此與學(xué)者們交流，以翔讀者。

1 容易混淆的幾個概念

1.1 剛片與鋼片

幾何組成分析中，涉及到相關(guān)剛片的選擇，在書寫過程時，很多同學(xué)就會把剛片寫為“鋼片”，部分同學(xué)屬于筆誤，部分同學(xué)是由于不理解其本質(zhì)含義所導(dǎo)致。剛片是體系中任意幾何不變部分，它是平面剛體，可以是一根梁，一根鏈桿，甚至是基礎(chǔ)等。通常認為其在力的作用下，內(nèi)部任意兩個質(zhì)點的距離不會發(fā)生改變，剛度無窮大。這是根據(jù)本章研究問題的需要引入的一個新概念，這在先前理論力學(xué)與材料力學(xué)課程中沒有涉及，學(xué)生在本質(zhì)理解上有點困難，需要教師將此概念的本質(zhì)講清楚;而“鋼片”是涉及到材料的具體屬性，用鋼材制作的構(gòu)件，它在力的作用下會發(fā)生變形，因此是不一樣的概念，不能在此處混用。

理解了這兩個概念，后期的幾何組成分析中鉸結(jié)點也不會寫成“絞結(jié)點”，剛結(jié)點也不會寫成“鋼結(jié)點”。

1.2 體系與結(jié)構(gòu)

體系是一個廣義的概念，有平面體系也有空間體系，結(jié)構(gòu)力學(xué)主要研究平面桿件體系，有的體系含有基礎(chǔ)，有的體系只是體系本身;而結(jié)構(gòu)是指能夠承受荷載而且骨架作用的部分，這兩者的關(guān)系見圖1所示。

理解了這兩個概念，在幾何組成分析出題時就不會出現(xiàn)“試分析如下結(jié)構(gòu)的幾何組成”，結(jié)果體系分析的結(jié)論為瞬變體系的矛盾表述，實際上老師是要書寫“試分析如下體系的幾何組成”，概念不清，不夠嚴謹，將會對學(xué)生產(chǎn)生誤導(dǎo)。

1.3 自由度與約束

體系的自由度是指體系運動時，可以獨立改變的幾何參數(shù)數(shù)目，或者是用來確定體系的位置所需獨立坐標的數(shù)目。因此，在平面內(nèi)，動點的自由度為2，剛片的自由度為3。

約束是減少自由度的裝置，也稱為聯(lián)系。主要的約束形式有鏈桿、鉸結(jié)點和剛結(jié)點三種。一根鏈桿相當于1個約束;一個單鉸相當于2個約束，一個單剛結(jié)點相當于3個約束;復(fù)鉸與復(fù)剛結(jié)點要分別轉(zhuǎn)化為單鉸與單剛結(jié)點;連接n個剛片的復(fù)鉸相當于（n-1）個單鉸，連接n個剛片的復(fù)剛結(jié)點相當于（n-1）個單剛結(jié)點。

理解了這兩個概念，為進行自由度的正確計算奠定了基礎(chǔ)。

2 體系自由度的計算

體系的自由度計算通常就是指計算計算自由度（W），計算自由度是從計算角度反映加約束前后體系自由度的變化，它是幾何組成分析的一個輔助手段。

在應(yīng)用公式（1）與（2）進行自由度計算時，要注意把握以下幾點：

（1）要注意區(qū)分一般桿件體系與鉸結(jié)鏈桿體系。當體系完全由鉸結(jié)點連接的桿件組成的體系稱為鉸結(jié)鏈桿體系（例如桁架）;當體系中有剛結(jié)點存在的體系稱為一般桿件體系（例如剛架），廣義一般桿件體系，本文將其定義為具有封閉剛剛架的體系。

（2）公式（1）中未計入剛結(jié)點，是因為當考慮單剛結(jié)點時，相應(yīng)的剛片數(shù)也增加;增加1個單剛結(jié)點，相當于增加3個約束;相應(yīng)地，剛片數(shù)目也增加1個，相當于增加3個自由度，所以對于整個體系的自由度沒有影響。故一般在計算自由度時，不考慮單剛結(jié)點，按單一剛片考慮計算體系的自由度。

（3）公式（1）中對于組合結(jié)點，計算單剛結(jié)點時把鉸結(jié)鏈桿當作不存在的，而當計算鉸結(jié)點數(shù)目時，則把剛接各桿看作一個剛片。

（4）公式（1）適用于廣義一般平面桿件體系，而公式（2）只能適用于鉸結(jié)鏈桿體系，公式（1）的應(yīng)用范圍遠遠大于公式（2）的應(yīng)用范圍，能用公式（2）計算的體系，當然也可以用公式（1）計算，只不過相對公式（1）而言，公式（2）更加簡單一些。

3 平面體系的分析步驟及示例

3.1 分析步驟

（1）計算體系的計算自由度W。若體系中有基礎(chǔ)相連，當W>0時體系為幾何可變體系;

若無基礎(chǔ)相連，當W>3時為幾何可變體系。對于W≤0或W≤3的情況，則根據(jù)第二步進行分析。

（2）利用幾何組成分析的三個規(guī)則進行分析。

（3）給出分析結(jié)論。對于幾何不變體系，應(yīng)指出有無多余聯(lián)系，若有，應(yīng)指出有幾個多余聯(lián)系;若為幾何可變體系，可指明是瞬變體系還是常變體系。

3.2 示例

試分析圖5所示體系的幾何組成。

解：（1）計算體系的自由度

W=2J-（b+r）=2×9-（15+3）=0

（2）進行幾何組成分析

如圖5所示，由于體系本身與基礎(chǔ)通過三根鏈桿相連，故基礎(chǔ)可去掉，只分析體系本身即可。首先將上部二元體B-D-G拆掉，將△ABE作為基本剛片，在此基礎(chǔ)上增加二元體A-C-B，C-F-E，得到擴大的剛片Ⅰ。將△EGI作為基本剛片，在此基礎(chǔ)上增加二元體G-H-I得到擴大的剛片Ⅱ。剛片Ⅰ與Ⅱ通過鉸E與FH鏈桿相連，由兩剛片規(guī)則知，原體系為幾何不變且無多余聯(lián)系。

通過上述示例，可以大致總結(jié)出幾何組成分析過程書寫的基本思路是：

（1）基礎(chǔ)可否去掉;

（2）二元體能否拆掉;

（3）基本剛片（Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ）的選擇或擴大剛片（Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ）的選擇;

（4）剛片之間連接的說明;

（5）規(guī)則的說明，采用的是兩剛片規(guī)則還是三剛片規(guī)則;

（6）分析的結(jié)論。

學(xué)生只要按照以上提綱去書寫，就不會出現(xiàn)只有分析結(jié)論沒有分析過程短短幾個字的表述，也不會出現(xiàn)無從下手的感覺，經(jīng)過一定量習(xí)題的訓(xùn)練，相關(guān)的原理也會逐漸掌握的比較扎實。

4 結(jié)束語

本文選擇抽象而難懂的平面體系幾何組成分析章節(jié)為例進行了闡述，力爭通過筆者多年的教學(xué)經(jīng)驗，對相關(guān)原理及方法進行闡明，首先重點介紹了剛片與鋼片、體系與結(jié)構(gòu)、自由度與約束等幾個最容易混淆的基本概念;接著對于體系的計算自由度，按照廣義一般桿件體系與鉸結(jié)鏈桿體系給出了兩個計算公式，通過三個示例，介紹了該公式的具體應(yīng)用;最后給出了幾何組成分析的“三步走”步驟，對分析過程的書寫也給出了相應(yīng)的書寫提綱，通過示例對分析步驟與分析思路進行了印證，有了方法思路的引導(dǎo)，無從下手的問題將得到根本解決。

參考文獻：

[1]李廉錕.結(jié)構(gòu)力學(xué)[M].6版.北京：高等教育出版社，2017.

[2]周海龍，李曉麗.建筑力學(xué)[M].北京：中國水利水電出版社，2017.

[3]邱秀梅，戴景軍，孫建武.平面體系幾何組成分析的方法技巧[J].力學(xué)與實踐，2009，31（2）：80-81.

[4]張琳楠，徐春暉，秦太驗.平面體系機動分析的一般方法[J].力學(xué)與實踐，2014，36（6）：738-741.

[5]郇筱林，王崇革.平面體系幾何組成規(guī)則的理解和簡化分析技巧[J].力學(xué)與實踐，2018，40（6）：696-699.

[6]孫旭峰.結(jié)構(gòu)力學(xué)中的換鉸法應(yīng)用芻議[J].力學(xué)與實踐，2019，41（1）：91-94.