遵循概念形成路徑 提升問題解決能力

張銀德 李娟

解決行程問題的關(guān)鍵是理解速度模型。這對四年級學生來說有一定的難度。如何通過《速度、時間和路程》一課的教學，讓學生更好地理解速度概念，建構(gòu)速度模型，獲得變式應用能力，而非僅僅學會套用相關(guān)公式呢？

一、教學內(nèi)容的學理分析

《速度、時間和路程》是人教版數(shù)學四年級上冊第四單元《三位數(shù)乘兩位數(shù)》的內(nèi)容。整個單元有5個例題和2個練習，《教師教學用書》建議用6課時教學。從課時分配來看，《速度、時間和路程》原則上只有1課時；從教材編排來看，作為與乘法相關(guān)的常見數(shù)量關(guān)系，“速度、時間和路程”與“單價、數(shù)量和總價”的地位看似相同、實則不同，對于“單價、數(shù)量和總價”，學生在生活中常常見到，有經(jīng)驗、有感受，而對于“速度、時間和路程”，學生是說不清道不明的；從數(shù)量關(guān)系來看，“單價、數(shù)量和總價”與個數(shù)有關(guān)，“速度、時間和路程”與物理量有關(guān)，后者的理解難度更大。

對于本課的教學，《教師教學用書》建議“結(jié)合生活實際理解概念內(nèi)涵”，“結(jié)合概念意義，自主建構(gòu)數(shù)量關(guān)系”；《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》提出，“感悟模型中量綱（即單位）的意義，提升問題解決的能力”。筆者認為，理解速度概念和學會解決問題的方法是學生問題解決能力提升的“一體兩面”，二者相輔相成、缺一不可。要想提升學生的問題解決能力，教師就要遵循概念的形成路徑，引導學生把握速度概念的本質(zhì)，以靈活解決不同變式的實際問題。

二、教學實施的實踐路徑

1.喚醒已有認知，初識概念

學生學習速度概念之前往往存在僅根據(jù)行進終點的遠近判斷速度快慢的認知誤區(qū)。基于此，教師可以結(jié)合學生的生活經(jīng)驗，創(chuàng)設“比快慢”的問題情境，引導學生從“僅根據(jù)行進終點的遠近判斷速度快慢”的初始經(jīng)驗展開學習，并觀測學生的實際認知水平，動態(tài)調(diào)整后續(xù)教學，逐步引導學生糾正、完善、深化對速度概念的認知。

課堂上，筆者出示如下行程圖，引導學生依次思考以下4個問題。

①通過看圖，你能判定小牛和小熊誰跑得快嗎？②如果小牛7分鐘跑了700米，小熊7分鐘跑了900米，你能判定小牛和小熊誰跑得快嗎？③如果小牛跑350米用5分鐘，小熊跑350米用7分鐘，你能判定小牛和小熊誰跑得快嗎？④如果小牛5分鐘跑了300米，小熊10分鐘跑了600米，你能判定小牛和小熊誰跑得快嗎？這4個問題緊扣主題、逐層深入：問題①僅有“路程”一個量，問題②有“時間、路程”兩個量且“時間”相同，問題③有“時間、路程”兩個量且“路程”相同，問題④有“時間、路程”兩個量且均成倍數(shù)關(guān)系。這樣的問題情境符合學生的認知基礎，能喚醒學生的已有經(jīng)驗，使學生通過對比、辨析，初步感知速度概念，認識到比快慢的前提是要“對齊”一個量，即固定時間或固定路程。同時，在筆者的點撥下，學生還意識到這與度量中的零刻度對齊、計算中的數(shù)位對齊道理相通。

解決以上問題的過程中，筆者重點關(guān)注的不是學生獲得問題本身的結(jié)果，而是學生思維素養(yǎng)的提升。想明白比較快慢的道理是學生后續(xù)解決稍復雜行程問題的基礎。

2.復雜問題驅(qū)動，建立標準

維果茨基認為，概念的學習有“遷移、給概念下定義、在新情境中解決問題”三個困難。要深化學生對速度的認知，教師還要創(chuàng)設更復雜的問題情境，將學生的思維引向深入。

課堂上，小牛、小熊的故事還在繼續(xù)。此處，筆者引入了一個新朋友——小象，創(chuàng)設了如下圖所示的稍復雜的問題情境。

怎樣用數(shù)學的方式表達問題情境中的數(shù)學信息是學生首先要解決的問題，也是學生提升問題解決能力的關(guān)鍵。筆者引導學生先根據(jù)路程畫出3條線段，再分別根據(jù)時間把線段平均分段，并標注相關(guān)數(shù)據(jù)（如下圖）。

從線段圖中可以看出，小牛和小熊的路程相同、時間不同，小熊和小象的時間相同、路程不同。筆者引導學生通過“對齊”一個量展開分析，解決“小象和小熊”“小牛和小熊”誰跑得快的問題，以強化學生對速度的認知。隨著“小牛比小熊跑得快”“小象比小熊跑得快”結(jié)論的揭曉，新的問題“小牛和小象誰跑得快”產(chǎn)生了。面對新問題，學生的原有認知既是學習支架又可能成為學習障礙。基于此，筆者幫助學生解構(gòu)舊概念，建立更完善的評判速度快慢的標準。

具體如何做呢？筆者引導學生觀察表示時間的數(shù)字（6和8）特征，想辦法“對齊”時間這個量。學生提出可以比較24分鐘內(nèi)小熊和小象所跑的路程：小象8分鐘跑了544米，24分鐘應跑“544×3=1632”米；小牛6分鐘跑了432米，24分鐘應跑“432×4=1728”米。這說明小牛比小象跑得快。

教學設計從最初只考慮路程這一個量過渡到對比相同時間內(nèi)的路程，學生通過稍復雜問題的解決，加深了對速度、時間和路程之間關(guān)系的理解。

3.提升價值定位，提煉模型

一般地，我們認為這節(jié)課是問題解決的課型，為什么筆者的教學設計更傾向于概念教學呢？因為速度相關(guān)問題的解決過程就是學生形成速度概念的過程。學生需要在解決簡單問題的過程中初步感知概念，然后在解決稍復雜問題的過程中深入理解概念、建立思考模式，再在變式問題的對比分析中提煉基本模型，形成計算公式。這是速度概念形成的基本路徑。

在學生學會分析、解決稍復雜問題后，筆者呈現(xiàn)變式問題：小貓4分鐘跑了20米，小狗7分鐘跑了56米，小貓、小狗誰跑得快？筆者引導學生觀察之前小牛、小熊、小象跑步情況的線段圖，學生發(fā)現(xiàn)“6分鐘”是由6個1分鐘累加起來的，“8分鐘”是由8個1分鐘累加起來的。筆者進一步引導學生嘗試比較單位時間內(nèi)的路程，即比較小貓和小狗1分鐘所跑路程的長短，以此判定速度快慢。小貓4分鐘跑了20米，平均每分鐘跑了“20÷4=5”米；小狗7分鐘跑了56米，平均每分鐘跑了“56÷7=8”米。所以小狗比小貓跑得快。這個問題的解決基于“每分鐘跑5米”與“每分鐘跑8米”的對比。

從最初只考慮路程這一個量到對比相同時間內(nèi)的路程，再到對比單位時間內(nèi)的路程，學生采用歸納的學習方式將速度概念的本質(zhì)提煉出來，理解了“速度是單位時間內(nèi)走過的路程”的真正含義，建構(gòu)了“速度=路程÷時間”的模型，并由此變式得出“路程=速度×時間”“時間=路程÷速度”的模型。

后續(xù)，筆者引導學生通過畫一畫的方式表示“5米/分”。在學生只畫1段線段表示1分鐘走5米的情況下，筆者引導學生畫2段、標注“2分鐘走10米”來表示，畫3段、標注“3分鐘走15米”來表示，使學生深度體會到“速度是單位時間內(nèi)走過的路程”。

（作者單位：張銀德，棗陽市王城鎮(zhèn)中心學校；李娟，棗陽市教學研究室）

責任編輯? 劉佳