一類dKdV方程的行波解分支

張會(huì)洋， 張克磊

(桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣西 桂林 541004)

非線性發(fā)展方程在物理學(xué)、化學(xué)以及光電子學(xué)等很多領(lǐng)域有十分廣泛的應(yīng)用，但是大多數(shù)人對(duì)該類方程的完全求解只能望而卻步。人們很多情況下只能針對(duì)一些形式簡(jiǎn)單的特殊的非線性發(fā)展方程進(jìn)行求解。KdV方程是一類很著名的非線性發(fā)展方程，對(duì)于其中經(jīng)典的KdV方程很多學(xué)者給出了不同的求解方法，但是對(duì)于退化的KdV方程的研究相對(duì)較少。Rosenau和Hyman[1-2]引入退化Korteweg-de Vries(dKdV)型方程，研究其緊孤立波解的存在性。2018年，Zilburg和Rosenau[3]研究了一類dKdV方程：

?tu+?x(u?x(u?xu)+u2)=0

(1)

的孤立子的定性性質(zhì)。最近，文獻(xiàn)[4-7]采用動(dòng)力系統(tǒng)分支理論[8-9]研究了幾類非線性發(fā)展方程的行波解分支。目前，尚未有文獻(xiàn)利用動(dòng)力系統(tǒng)分支理論研究方程(1)的行波解分支。

采用動(dòng)力系統(tǒng)分支理論對(duì)dKdV方程(1)進(jìn)行分析研究。首先，對(duì)方程(1)進(jìn)行行波變換u(x,t)=φ(x-ct)=φ(ξ)，其中常數(shù)c為波速，將行波解代入式(1)可得：

-cφ′+(φ(φφ′)′+φ2)′=0。

(2)

對(duì)式(2)積分，積分常數(shù)記作g，則有

-cφ+φφ′2+φ2φ″+φ2=g。

(3)

方程(3)與下面的平面系統(tǒng)等價(jià)：

(4)

平面系統(tǒng)(4)存在奇異直線φ=0，利用dξ=φ2dτ對(duì)(4)進(jìn)行變換，系統(tǒng)(4)變?yōu)檎齽t系統(tǒng)：

(5)

系統(tǒng)(4)和(5)具有相同的Hamilton量：

(6)

其中h為常數(shù)。

首先利用定性理論中奇點(diǎn)的判別方法對(duì)系統(tǒng)(5)奇點(diǎn)的種類進(jìn)行詳細(xì)分析，并利用Maple繪制出系統(tǒng)(5)在不同參數(shù)(c,g)下對(duì)應(yīng)的相圖；然后求解出系統(tǒng)(1)的光滑孤立波解及周期尖波解的精確表達(dá)式。

1 系統(tǒng)相圖分析

首先對(duì)系統(tǒng)(5)的平衡點(diǎn)性質(zhì)及可能出現(xiàn)的相圖進(jìn)行分析。除了奇異直線φ=0之外，系統(tǒng)(4)的相圖與系統(tǒng)(5)拓?fù)涞葍r(jià)，所以通過分析系統(tǒng)(5)的相圖即可得到系統(tǒng)(4)的相圖。系統(tǒng)(5)的相圖與參數(shù)(c,g)有關(guān)系，下面分析當(dāng)參數(shù)(c,g)發(fā)生變化時(shí)，系統(tǒng)(5)奇點(diǎn)的種類以及個(gè)數(shù)。具體情況如下：

對(duì)系統(tǒng)(5)在不同參數(shù)(c,g)下求解得到的平衡點(diǎn)種類進(jìn)行分析。假設(shè)系統(tǒng)(5)的線性化系統(tǒng)在奇點(diǎn)(φi,yi)處的系數(shù)矩陣記作M(φi,yi)。A=det(M(φi,yi))，det(M(φi,yi))表示矩陣M(φi,yi)的行列式，根據(jù)動(dòng)力系統(tǒng)理論[8-10]可得：

1)當(dāng)A<0，系統(tǒng)的奇點(diǎn)是鞍點(diǎn)；

2)當(dāng)A>0且Trace(M(φi,yi))=0時(shí)，系統(tǒng)的奇點(diǎn)是中心；

3)當(dāng)A=0且Poincaré指標(biāo)為0時(shí)，系統(tǒng)的平衡點(diǎn)是尖點(diǎn)，否則為高階奇點(diǎn)。

根據(jù)以上原理可得，系統(tǒng)(5)的原點(diǎn)為高階奇點(diǎn)且位于奇異直線φ=0上。通過分析可得：Si(i=1,2,3,4)為鞍點(diǎn)；C2為尖點(diǎn)；Cj(j=1,3)為中心。參數(shù)(c,g)的變化決定系統(tǒng)奇點(diǎn)種類和相圖也會(huì)發(fā)生相應(yīng)的變化。

系統(tǒng)(5)在不同參數(shù)(c,g)情況下的拓?fù)湎鄨D如圖1所示。

2 系統(tǒng)行波解求解

系統(tǒng)(5)的向量場(chǎng)在參數(shù)(c,g)下的軌線確定了系統(tǒng)(1)所有的行波解，下面對(duì)系統(tǒng)(1)相應(yīng)的周期尖波解和光滑孤立波解的精確表達(dá)式。

2.1 周期尖波解

(7)

由式(7)和式(4)第一個(gè)方程可得到系統(tǒng)(1)的精確周期尖波解：

(8)

2.2 光滑孤立波解

(9)

由式(9)和式(4)第一個(gè)方程可得到系統(tǒng)(1)的精確光滑孤立波解為

u(x,t)=φ1-(φ1-φs)D。

(10)

圖1 系統(tǒng)(5)在參數(shù)(c,g)上的拓?fù)湎鄨D

通過式(8)和式(10)可得到系統(tǒng)(1)的精確周期尖波解和精確光滑孤立波解的圖像，如圖2所示。

圖2 系統(tǒng)(1)的周期尖波(a)和孤立波(b)

3 結(jié)束語(yǔ)

主要對(duì)一類退化KdV方程的行波解分支進(jìn)行了分析。在分析的過程中，首先對(duì)系統(tǒng)(1)進(jìn)行行波變換，然后根據(jù)定性理論分析這一類退化KdV方程的相圖并求解出精確周期尖波解和精確光滑孤立波解，最后通過數(shù)值模擬給出周期尖波解和孤立尖波解的圖像。