一類dKdV方程的行波解分支

張會洋， 張克磊

(桂林電子科技大學 數學與計算科學學院，廣西 桂林 541004)

非線性發(fā)展方程在物理學、化學以及光電子學等很多領域有十分廣泛的應用，但是大多數人對該類方程的完全求解只能望而卻步。人們很多情況下只能針對一些形式簡單的特殊的非線性發(fā)展方程進行求解。KdV方程是一類很著名的非線性發(fā)展方程，對于其中經典的KdV方程很多學者給出了不同的求解方法，但是對于退化的KdV方程的研究相對較少。Rosenau和Hyman[1-2]引入退化Korteweg-de Vries(dKdV)型方程，研究其緊孤立波解的存在性。2018年，Zilburg和Rosenau[3]研究了一類dKdV方程：

?tu+?x(u?x(u?xu)+u2)=0

(1)

的孤立子的定性性質。最近，文獻[4-7]采用動力系統(tǒng)分支理論[8-9]研究了幾類非線性發(fā)展方程的行波解分支。目前，尚未有文獻利用動力系統(tǒng)分支理論研究方程(1)的行波解分支。

采用動力系統(tǒng)分支理論對dKdV方程(1)進行分析研究。首先，對方程(1)進行行波變換u(x,t)=φ(x-ct)=φ(ξ)，其中常數c為波速，將行波解代入式(1)可得：

-cφ′+(φ(φφ′)′+φ2)′=0。

(2)

對式(2)積分，積分常數記作g，則有

-cφ+φφ′2+φ2φ″+φ2=g。

(3)

方程(3)與下面的平面系統(tǒng)等價：

(4)

平面系統(tǒng)(4)存在奇異直線φ=0，利用dξ=φ2dτ對(4)進行變換，系統(tǒng)(4)變?yōu)檎齽t系統(tǒng)：

(5)

系統(tǒng)(4)和(5)具有相同的Hamilton量：

(6)

其中h為常數。

首先利用定性理論中奇點的判別方法對系統(tǒng)(5)奇點的種類進行詳細分析，并利用Maple繪制出系統(tǒng)(5)在不同參數(c,g)下對應的相圖；然后求解出系統(tǒng)(1)的光滑孤立波解及周期尖波解的精確表達式。

1 系統(tǒng)相圖分析

首先對系統(tǒng)(5)的平衡點性質及可能出現(xiàn)的相圖進行分析。除了奇異直線φ=0之外，系統(tǒng)(4)的相圖與系統(tǒng)(5)拓撲等價，所以通過分析系統(tǒng)(5)的相圖即可得到系統(tǒng)(4)的相圖。系統(tǒng)(5)的相圖與參數(c,g)有關系，下面分析當參數(c,g)發(fā)生變化時，系統(tǒng)(5)奇點的種類以及個數。具體情況如下：

對系統(tǒng)(5)在不同參數(c,g)下求解得到的平衡點種類進行分析。假設系統(tǒng)(5)的線性化系統(tǒng)在奇點(φi,yi)處的系數矩陣記作M(φi,yi)。A=det(M(φi,yi))，det(M(φi,yi))表示矩陣M(φi,yi)的行列式，根據動力系統(tǒng)理論[8-10]可得：

1)當A<0，系統(tǒng)的奇點是鞍點；

2)當A>0且Trace(M(φi,yi))=0時，系統(tǒng)的奇點是中心；

3)當A=0且Poincaré指標為0時，系統(tǒng)的平衡點是尖點，否則為高階奇點。

根據以上原理可得，系統(tǒng)(5)的原點為高階奇點且位于奇異直線φ=0上。通過分析可得：Si(i=1,2,3,4)為鞍點；C2為尖點；Cj(j=1,3)為中心。參數(c,g)的變化決定系統(tǒng)奇點種類和相圖也會發(fā)生相應的變化。

系統(tǒng)(5)在不同參數(c,g)情況下的拓撲相圖如圖1所示。

2 系統(tǒng)行波解求解

系統(tǒng)(5)的向量場在參數(c,g)下的軌線確定了系統(tǒng)(1)所有的行波解，下面對系統(tǒng)(1)相應的周期尖波解和光滑孤立波解的精確表達式。

2.1 周期尖波解

(7)

由式(7)和式(4)第一個方程可得到系統(tǒng)(1)的精確周期尖波解：

(8)

2.2 光滑孤立波解

(9)

由式(9)和式(4)第一個方程可得到系統(tǒng)(1)的精確光滑孤立波解為

u(x,t)=φ1-(φ1-φs)D。

(10)

圖1 系統(tǒng)(5)在參數(c,g)上的拓撲相圖

通過式(8)和式(10)可得到系統(tǒng)(1)的精確周期尖波解和精確光滑孤立波解的圖像，如圖2所示。

圖2 系統(tǒng)(1)的周期尖波(a)和孤立波(b)

3 結束語

主要對一類退化KdV方程的行波解分支進行了分析。在分析的過程中，首先對系統(tǒng)(1)進行行波變換，然后根據定性理論分析這一類退化KdV方程的相圖并求解出精確周期尖波解和精確光滑孤立波解，最后通過數值模擬給出周期尖波解和孤立尖波解的圖像。