基于有限元方法求解帶有年齡結(jié)構(gòu)的種群模型

郝永樂,左 平,朱 青

(1.周口師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,河南 周口 466001;2.空軍航空大學(xué) 基礎(chǔ)部,長(zhǎng)春 130022)

0 引 言

在生物種群中,年齡不同將導(dǎo)致種群內(nèi)部例如生育率、死亡率、捕食能力等方面存在明顯差異.因此,將種群按照年齡結(jié)構(gòu)進(jìn)行劃分的模型能更好地反映個(gè)體的生理特征以及種群擴(kuò)散程度.目前,對(duì)帶有年齡結(jié)構(gòu)種群模型的研究已取得了豐富的成果[1-6].偏微分方程求解數(shù)值解是近年來的研究熱點(diǎn),目前對(duì)具有年齡結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)模型的研究主要集中在解的定性理論上,而對(duì)復(fù)雜偏微分生物模型的數(shù)值求解問題研究報(bào)道較少.本文考慮帶有隨機(jī)擴(kuò)散項(xiàng)的種群模型[7]:

1 模型處理

為了對(duì)上述模型進(jìn)行數(shù)值求解,先要對(duì)模型進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶幚砗秃?jiǎn)化,步驟如下:

2) 對(duì)方程(1)和方程(4)關(guān)于年齡a進(jìn)行積分;

3) 針對(duì)反應(yīng)擴(kuò)散系數(shù)進(jìn)行處理[8-10],得到如下簡(jiǎn)化系統(tǒng):

(8)

其中:

(9)

表示種群在t時(shí)刻的出生率;

(10)

表示種群在t時(shí)刻的死亡率;

(11)

表示種群在t時(shí)刻、位置x處的種群總量;

(12)

2 有限元方法

下面對(duì)所提出的偏微分模型進(jìn)行數(shù)值解求解.首先給出方程(8)的變分形式:

(13)

將空間區(qū)域Ω剖分成有限個(gè)單元的集合Th,形成有限元網(wǎng)格.在一維空間中常用等分剖分,二維空間中常用三角剖分或四邊形剖分.通常情況下,有限元方法要求網(wǎng)格是正規(guī)的.其次,構(gòu)造有限元子空間,其由Th上所有屬于C(Ω)的、多項(xiàng)式次數(shù)不大于p-1的分片多項(xiàng)式組成的子空間Sh形成.本文的數(shù)值實(shí)驗(yàn)使用等分剖分作為有限區(qū)間的網(wǎng)格.

制度貸款是由政府制定的一種長(zhǎng)期低息貸款方式，其主要目的在于鼓勵(lì)農(nóng)業(yè)生產(chǎn)。該貸款方式主要分為三種類型：一是由政府出面進(jìn)行擔(dān)保，將銀行中的一些資金用于農(nóng)業(yè)生產(chǎn)；二是由政府進(jìn)行擔(dān)保和支付相應(yīng)的利息費(fèi)用，調(diào)用農(nóng)協(xié)的資金；三是直接利用國(guó)家金融機(jī)構(gòu)進(jìn)行財(cái)政資金貸款。

ut(t,x): [0,T]→Sh,

使得

(14)

成立,其中u0h∈Sh是函數(shù)u0(x)在有限元空間Sh中的一個(gè)近似.注意到當(dāng)有限元空間基函數(shù)給定時(shí),式(14)為一個(gè)一階常微分方程組,稱其為半離散格式.關(guān)于半離散格式有如下誤差估計(jì):

定理1[11]設(shè)u為問題(8)的精確解,k次有限元空間Sh滿足逼近性質(zhì):

并且初值滿足

‖u0-u0h‖+h‖u0-u0h‖1≤Chk‖u0‖k,

則半離散格式的解uh(t,x)滿足如下誤差估計(jì):

(15)

(16)

(17)

其中:tk-1/2=tk-τk/2;fk-1/2=f(tk-1/2,x).

當(dāng)k(t),μ(t),β(t)均為常數(shù)時(shí),有如下誤差估計(jì):

(19)

(20)

(21)

由式(19)～(21)可知結(jié)論成立.

3 數(shù)值模擬

下面利用上述差分格式對(duì)簡(jiǎn)化后的模型進(jìn)行數(shù)值求解,其中參數(shù)如下：

真解為u=e-tsin πx.

有限元方法求解問題(8)的數(shù)值解、逐點(diǎn)誤差及有限元方法的收斂階情況分別如圖1(A)～(C)所示.其中: 數(shù)值解與真實(shí)解在32×32網(wǎng)格下的誤差在10-5內(nèi);圖1(C)中“‖euh‖1”表示數(shù)值解的H1誤差曲線,“1階”表示標(biāo)準(zhǔn)一階收斂曲線,“‖euh‖”表示數(shù)值解的L2誤差曲線,“2階”表示標(biāo)準(zhǔn)誤差曲線.由圖1(C)可見,有限元方法的L2誤差滿足二階收斂,H1誤差滿足一階收斂,與理論分析結(jié)果相符.

圖1 有限元方法求解問題(8)的數(shù)值解(A)、逐點(diǎn)誤差(B)及有限元方法的收斂階(C)Fig.1 Numerical solution (A),pointwise error (B) and convergence order (C) of finite element for solving problem (8) by finite element method