SVAR-GARCH模型的多元波動率估計

謝鵬飛,冶繼民,王俊元

(西安電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,西安 710126)

金融資產(chǎn)收益率序列的波動性和相關(guān)性通常具有明顯的時變特征,因此,研究其動態(tài)規(guī)律對于期權(quán)定價、風(fēng)險管理等具有重要作用.在實際投資決策中,需要考慮多個資產(chǎn)收益率,因此,建立多維資產(chǎn)收益率的協(xié)方差矩陣或多元波動率的動態(tài)模型尤為重要.

Engle[1]提出的一元自回歸條件異方差(ARCH)模型,雖然可以很好地刻畫單變量波動性,但該方法受維數(shù)的限制,不適用于估計多維資產(chǎn)收益率的波動性;Engle等[2]提出的BEKK模型雖然可以很好地描述多變量的波動性,并能保證協(xié)方差矩陣的正定性,但存在模式識別問題;Dua等[3]通過向量自回歸多元GARCH-BEKK模型研究了印度和美國股市的相關(guān)性;Baillie等[4]提出的常值條件相關(guān)模型,即CCC-GARCH模型,假設(shè)相關(guān)矩陣是常數(shù)矩陣,雖然簡化了模型的計算,且能保證協(xié)方差矩陣的正定性,但在實際應(yīng)用中該假設(shè)顯然不能滿足[5];Engle[6]在考慮條件方差間的相互作用情況下,提出了動態(tài)條件相關(guān)模型,即DCC-GARCH模型,該模型在保證相關(guān)系數(shù)矩陣為正定矩陣的前提下,要求所有條件相關(guān)系數(shù)服從相同分布的動態(tài)規(guī)律,這與實際時間序列波動不吻合;Tsukuda等[7]使用DCC-GARCH模型和動態(tài)條件方差分解方法分析了東亞債券市場與全球債券市場的融合程度;Chen等[8]把主成分分析(PCA)應(yīng)用到多元GARCH模型中,提出了正交GARCH模型,即O-GARCH模型,該模型采用PCA技術(shù)從多個序列的波動特性中提取出主成分,每個主成分的條件方差可用一維GARCH模型表示,構(gòu)建條件協(xié)方差陣,有效降低了多元GARCH模型所需估計的參數(shù),并提高了GARCH模型的實用性,但主成分之間無條件不相關(guān)并不表示條件不相關(guān)[9];Wu等[10]利用獨立成分分析(ICA)將多元時間序列分解為統(tǒng)計獨立的時間序列,然后用ICA-GARCH模型估計多元波動率,該方法對多元收益率波動率估計方面比用PCA方法分解殘差更有效;Broda等[11]采用ICA技術(shù)從多維金融資產(chǎn)收益率中提取出相互獨立的成分,再對獨立成分建立單變量GARCH模型.García-Ferrer等[12]提出了GICA-GARCH模型,通過實證分析馬德里證券市場,說明GICA-GARCH模型的預(yù)測性能比O-GARCH和CUC-GARCH模型對波動率的擬合效果更好;Jin等[13]提出了使用多元隨機模型對多元GARCH模型中的動態(tài)非均勻協(xié)方差分解進行建模;Francq等[14]提出了多元Log-GARCH-X模型;Karanasos等[15]使用向量AR-DCC-FIAPAPARCH模型研究股票市場日收益的長期波動相關(guān)性和非對稱波動響應(yīng)的關(guān)系;Almeida等[16]分析了MGARCH模型的可行性和靈活性;Kadowaki等[17]提出了一種線性非高斯無環(huán)模型,即LiNGAM模型,是結(jié)構(gòu)方程模型和Bayes網(wǎng)絡(luò)的變形,其在不依賴于先驗信息的情況下可識別模型的因果結(jié)構(gòu)；Moneta等[18]將基于ICA的因果推斷用于研究企業(yè)發(fā)展與企業(yè)績效的關(guān)系,分析貨幣政策對宏觀經(jīng)濟的影響,取得了很好的效果.Lütkepohl等[19]通過使用結(jié)構(gòu)向量自回歸(SVAR)模型識別殘差的結(jié)構(gòu)沖擊,其中波動的變化使用多元GARCH模型模擬,該模型假設(shè)隨機沖擊對變量的影響期限不同,從而對結(jié)構(gòu)系數(shù)矩陣施加約束條件;Ahmadi等[20]采用SVAR-GARCH模型描述了原油和股票市場的波動性,為了從簡化形式的殘差中識別模型的結(jié)構(gòu),假設(shè)某一隨機沖擊在短期內(nèi)不會給某些特定的經(jīng)濟變量帶來影響,并對結(jié)構(gòu)系數(shù)矩陣施加了約束條件;Sotoudeh等[21]使用SVAR-GARCH模型研究了商品貿(mào)易對全球石油市場結(jié)構(gòu)性沖擊的動態(tài)響應(yīng),該模型假設(shè)結(jié)構(gòu)系數(shù)矩陣是滿秩的.上述這些方法都是直接估計多變量GARCH的參數(shù),因此隨著時間序列維數(shù)的增加,需要估計大量的參數(shù).

本文提出一種估計SVAR-GARCH模型波動率的新方法,其有以下優(yōu)勢：

1) 僅需假設(shè)瞬時因果矩陣B0是有向無環(huán)圖,通過ICA方法可以識別模型的因果結(jié)構(gòu),并將殘差分解為統(tǒng)計獨立的誤差項;2) 在保持SVAR因果結(jié)構(gòu)的同時,建立了殘差項條件協(xié)方差陣與誤差項條件協(xié)方差陣的關(guān)系,進而可得到基于SVAR殘差項條件協(xié)方差的多變量GARCH波動效應(yīng)的估計方法;3) 利用單變量GARCH的估計結(jié)果和識別的因果結(jié)構(gòu)可估計多變量GARCH條件波動的脈沖響應(yīng).從而有效減少多元GARCH模型所需估計的參數(shù).

1 SVAR-GARCH模型的多元波動率

1.1 SVAR-GARCH模型

文獻[22]提出用結(jié)構(gòu)向量自回歸(SVAR)估計時間序列數(shù)據(jù)的因果結(jié)構(gòu),基于GARCH模型中e(t)可以很好地描述金融數(shù)據(jù)的波動率,因此,取SVAR模型中誤差項e(t)為GARCH過程,即SVAR-GARCH模型.設(shè)x(t)=(x1(t),…,xn(t))T(t=1,2,…,T)表示在一段時間內(nèi)觀察到的向量,不失一般性,假設(shè)每個x(t)均具有零均值向量,則SVAR-GARCH模型為

(1)

式中：Bτ(τ=0,1,…,l)是n×n矩陣,表示變量x(t)與x(t-τ)(τ=0,1,…,l)之間的因果關(guān)系,τ>0表示過去到現(xiàn)在的一般滯后效應(yīng),τ=0表示瞬時效應(yīng);e(t)表示誤差項n×1向量.

SVAR-GARCH模型中e(t)和B0滿足以下兩個條件：

1)ei(t)是e(t)的第i個元素,假設(shè)ei(t)(i=1,2,…,n;t=1,2,…,T)是相互獨立的GARCH過程,即每個ei(t)作為單變量GARCH(p,q)處理：

(2)

2) 模型中的瞬時因果矩陣B0對應(yīng)有向無環(huán)圖,無環(huán)即存在一個置換矩陣P,使得PB0PT是嚴格下三角矩陣,從而I-B0是可逆的.

在模型識別和估計中上述兩個假設(shè)至關(guān)重要,由式(1)可得

(3)

記

A=(I-B0)-1,n(t)=Ae(t),Mi=ABi,

(4)

則式(3)可等價表示為

(5)

式(5)是一個標準的風(fēng)險價值(VaR)模型,從而可以用最小二乘法估計Mτ和n(t).

如果能在式(3)中識別e(t)和矩陣B0,即可推斷模型的因果順序和滯后效應(yīng).根據(jù)Hoyer等[23]的結(jié)論,GARCH模型中e(t)的非高斯性和無環(huán)性假設(shè)保證了e(t)和B0可以被唯一地識別,且(I-B0)是可逆的.下面用B0估計e(t)中的波動結(jié)構(gòu).

設(shè)Ht是n(t)的協(xié)方差矩陣,則有

Ht=cov(n(t)|It-1)=Acov(e(t)|It-1)AT=AVtAT,

(6)

式中Vt=diag(h1t,…,hnt),hit是式(1)給出e(t)的第i個分量的條件方差.設(shè)P是將B0置換為下三角矩陣的矩陣,則有

PAPT=(P(I-B0)PT)-1=(I-PB0PT)-1,

易得PAPT是下三角的,A也是無環(huán)的.因此,式(6)中矩陣A蘊含著Ht中波動的因果順序.由式(2)知e(t)的協(xié)方差陣Vt結(jié)構(gòu)為

式中：Kj和Lk都是n×n維的參數(shù)矩陣;C是n×n的對稱參數(shù)矩陣;p和q是模型的階.因此N(t)的協(xié)方差矩陣Ht結(jié)構(gòu)為

1.2 條件波動的脈沖響應(yīng)

由式(6)可知,可通過分析e(t)中單個沖擊對系統(tǒng)的響應(yīng)推斷Ht的波動率.條件波動的脈沖響應(yīng)可以刻畫單個沖擊對系統(tǒng)的波動響應(yīng),定義為

式中：Rs,i表示在e(t)中第i個元素在1個單位沖擊后的s階滯后波動響應(yīng);Ht+s/t表示在t時刻Ht+s的條件協(xié)方差信息集.由式(7)可知,殘差項N(t)條件協(xié)方差矩陣的條件脈沖響應(yīng)為

(8)

式中1i-th是一個對角線上第i個元素為1其余元素都為0的n×n矩陣.

根據(jù)文獻[24],單變量GARCH(p,q)模型的條件方差可以寫成如下形式:

(9)

式中:m=max{p,q},vi,t是鞅差序列;如果j>q,則αij=0;如果j>p,則βij=0.因此,可以定義條件波動的脈沖響應(yīng)迭代形式為

(10)

對式(10)兩邊取ei(t)2的導(dǎo)數(shù),得到單變量脈沖響應(yīng)函數(shù)如下：

(11)

1.3 GARCH模型參數(shù)估計

用偽極大似然估計法對GARCH模型進行參數(shù)估計.假設(shè)B0是嚴格的下三角矩陣,并且W=I-B0,參數(shù)θl的向量形式為

θl=(θl1,…,θl,p+q+1)T=(ωl,αl1,…,αlq,βl1,…,βlp)T,

對數(shù)似然可由下式給出：

(12)

式中:ei(t)是獨立成分e(t)的第i個元素;wi(t)是矩陣W的第i個行向量.W是下三角矩陣并且對角線元素為1,因此有

式中pi表示獨立成分的密度函數(shù).

利用高斯偽似然極大化對數(shù)似然等式,得對數(shù)似然函數(shù)形式為

θ的偽極大似然估計定義為

2 模型求解與條件波動脈沖響應(yīng)估計

求解SVAR-GARCH模型時,可以先使用信息準則(如Akaike信息準則(AIC)或Bayes信息準則(BIC))優(yōu)化所有可能的子集l,p和q,然后估計其滯后階數(shù)l,p和q.本文假設(shè)SVAR-GARCH模型已給出滯后階數(shù),然后通過一種有效的多階段估計方法對模型其他參數(shù)進行估計.

首先,使用獨立成分分析方法將SVAR的殘差分解為統(tǒng)計獨立的成分;其次,用線性非高斯無環(huán)模型(LiNGAM)估計因果矩陣B0;最后,使用單變量GARCH的估計結(jié)果和識別的因果結(jié)構(gòu)估計多變量時間序列的條件波動脈沖響應(yīng).

2.1 獨立成分分析

獨立成分分析(ICA)[25]是一種統(tǒng)計方法,其假設(shè)觀測數(shù)據(jù)為潛在變量的線性組合,潛在變量相互獨立并且是非高斯的.典型的ICA模型為

xt=Ast,

(13)

式中：s=(s1,…,sn)是統(tǒng)計獨立潛變量的向量,稱為獨立分量;A是未知常數(shù)的混合矩陣.ICA模型中的獨立分量st通過尋找矩陣W得到:

st=Wxt.

(14)

尋找一個單位向量的迭代不動點算法為

(15)

(16)

2.2 無環(huán)因果結(jié)構(gòu)的識別

無環(huán)因果結(jié)構(gòu)的識別是利用ICA技術(shù)通過n(t)=Ae(t)找到適當?shù)木仃嘇.由于SVAR-GARCH模型滿足：1) GARCH(p,q)過程具有尖峰厚尾特征[27];2)e(t)是非高斯并且相互獨立的.因此,可以使用ICA技術(shù)去估計矩陣A=(I-B0)-1.為了避免ICA置換、標識和尺度的不確定性,假設(shè)變量x(t)間存在無環(huán)因果結(jié)構(gòu),即在使用ICA估計A后,用A的每行除以其對角元素并將其縮小到單位對角線,由此得到B0=I-A-1的主對角線元素都為0,并且存在一個置換矩陣P,使得PB0PT是對角線為零的下三角矩陣,從而保證模型無環(huán)因果結(jié)構(gòu)的識別.對B0和e(t)的估計,可以使用ICA-LiNGAM算法[22]實現(xiàn).

ICA-LiNGAM算法步驟如下：

1) 使用FastICA算法得到分解n(t)=Ae(t),其中A和e(t)分別是n×n和n×T矩陣;

5) 瞬時因果B0包含n(n-1)/2個非零元素,其中一些可能非常小;

6) 計算滯后因果矩陣Bτ的估計為Bτ=(I-B0)Mτ(τ>0).

圖1 ICA-LiNGAM算法估計B0的正確率Fig.1 Accuracy of B0 estimated by ICA-LiNGAM algorithm

數(shù)據(jù)集的變量個數(shù)p和樣本容量N分別取p=10,20,30,N=500,1 000,1 500,2 000,人工生成隨機數(shù)據(jù)集,對ICA-LiNGAM算法估計瞬時因果矩陣B0的正確率進行測試,結(jié)果如圖1所示.由圖1可見,隨著樣本容量的增加,ICA-LiNGAM算法估計的瞬時效應(yīng)B0正確率越來越高.

2.3 多階段估計

多階段估計步驟如下：

1) 用最小二乘法估計式(5)的自回歸矩陣Mτ,并從式(5)中計算出殘差n(t);

2) 用ICA-LiNGAM算法估計因果矩陣B0和獨立成分e(t);

3) 用偽極大似然估計單變量GARCH參數(shù);

4) 用式(11)對e(t)中的每個元素估計單變量脈沖響應(yīng)函數(shù);

5) 用單變量脈沖響應(yīng)函數(shù)和矩陣A和式(8)估計多變量條件波動的脈沖響應(yīng).

3 應(yīng) 用

下面用一種估計SVAR-GARCH模型波動率的新方法來估計能源期貨市場的波動率.所選指標分別為西德克薩斯中級原油(WTI)、布倫特原油(SC)、輕低硫原油(CL)和天然氣(NG).所用數(shù)據(jù)為美國紐約商品交易所(NYMEX)市場WTI,SC,CL和NG能源期貨收盤價格的歷史數(shù)據(jù).數(shù)據(jù)集為2014-01-01—2016-12-31期間,由雅虎財經(jīng)數(shù)據(jù)庫(https://finance.yahoo.com/)獲得的753 d每日觀察數(shù)據(jù).每日收益xi(t)由xi(t)=log(Pi(t))-log(Pi(t-1))計算,式中Pi(t)是指標i在交易日t時刻的收盤價格.SVAR(1,1)-GARCH(1,1)模型為

x(t)=B0x(t)+B1x(t-1)+e(t)=M1x(t-1)+n(t),

(17)

M1=(I-B0)-1B1,n(t)=(I-B0)-1e(t),

(18)

hi(t)=ωi+αi1ei(t-1)2+βi1hi(t-1),

(19)

式中ei(t)是e(t)的元素.

將SVAR(1,1)-GARCH(1,1)模型擬合到數(shù)據(jù)中,發(fā)現(xiàn)B0可以置換成一個嚴格的下三角矩陣,即瞬時效應(yīng)遵循線性無環(huán)因果模型.表1列出了估計的波動方向.

表1 無環(huán)矩陣B0

由表1可見: 當考慮瞬時效應(yīng)時,WTI對CL和SL都有很強的正面影響,但對NG有負面影響；CL對SL和NG都有很強的正面影響；SC僅對NG有較弱的負面影響；NG對所有其他變量無影響.結(jié)果與能源期貨市場上的規(guī)律相符.

使用FastICA分離n(t),得到估計矩陣A并提取出e(t)如圖2所示.將GARCH(1,1)擬合到每個ei(t),由表2所列GARCH參數(shù)估計.結(jié)果表明,WTI和NG傾向于集群波動.

圖2 獨立序列e(t)Fig.2 Independent series e(t)

模型e1(t)(WTI)e2(t)(SC)e3(t)(CL)e4(t)(NG)ωi0.000 102 360.108 6450.133 740.000 168 04ARCH(αi1)0.084 559 220.077 8540.307 400.028 385 97GARCH(βi1)0.897 626 520.239 8380.414 460.964 449 66

使用條件波動的脈沖響應(yīng)描述e(t)的波動結(jié)構(gòu),結(jié)果如圖3所示,其中：虛線表示95%的置信區(qū)間;實線表示脈沖響應(yīng).由圖3可見: 在獨立的ei(t)中1個單位沖擊將被放大到WTI,SC,CL,NG,波動確實轉(zhuǎn)移;WTI的波動對其他變量影響最大,同時,WTI的單位沖擊對SC和NG具有較長的持續(xù)效應(yīng),而對CL的影響較弱;SC的單位沖擊對WTI產(chǎn)生正方向的影響,持續(xù)時間較長,而對CL和NG產(chǎn)生負向的影響,持續(xù)時間較短;CL的單位沖擊對WTI產(chǎn)生負方向的影響,且持續(xù)時間較長,對SC產(chǎn)生一個正方向的影響,對NG的沖擊幅度較??；NG的單位沖擊對其他指標影響都較小.

綜上,本文研究了SVAR-GARCH模型的多元波動率,提出了一種估計SVAR-GARCH模型波動率的新方法.結(jié)果表明：該方法可以有效地減少多元GARCH模型所需估計的參數(shù),同時也保持了動態(tài)GARCH模型的可追蹤性；在數(shù)據(jù)驅(qū)動下,該方法具有識別數(shù)據(jù)因果結(jié)構(gòu)的優(yōu)勢,并且在考慮因果效應(yīng)時,可以使用單變量GARCH模型估計多變量GARCH模型的波動結(jié)構(gòu).在實例應(yīng)用中,分析了WTI,SC,CL,NG之間的因果效應(yīng)和波動結(jié)構(gòu),表明WTI對SC,CL,NG有顯著影響,而NG對其他變量幾乎無影響.在條件波動的脈沖響應(yīng)函數(shù)中,發(fā)現(xiàn)波動確實轉(zhuǎn)移,并且WTI的沖擊對其他變量影響最大,且持續(xù)時間較長,這與WTI原油作為其他原油的定價基準以及在國際上有較強的影響力相吻合.實驗結(jié)果表明,本文方法估計的波動率與能源期貨市場的規(guī)律相符.

圖3 條件波動的脈沖響應(yīng)Fig.3 Impulse response of conditional volatility