帶有記憶的Boussinesq方程指數(shù)吸引子的存在性

王美霞,馬巧珍

(西北師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院,蘭州 730070)

0 引 言

考慮如下帶有記憶的Boussinesq方程:

(1)

指數(shù)吸引子的存在性,其中:u=u(x,t)是未知函數(shù),表示流體自由表面的運動;常系數(shù)α依賴于流體深度;Ω是N(N≥3)中具有光滑邊界?Ω的有界域;ν是?Ω的單位外法向量;μ是記憶核;外力項不依賴于時間t.

Boussinesq[1]建立了描述淺水波水面長波傳播的方程:

utt-uxx+αuxxxx=β(u2)xx,

(2)

其中:u表示流體自由表面的運動;常系數(shù)α,β依賴于流體的深度和水波的特征速度.當α>0時,方程(2)被稱為“好”的Boussinesq方程.文獻[2]研究了“好”的Boussinesq方程初值問題局部解的適定性;文獻[3]研究了方程(2)整體解的不存在性.當α<0時,方程(2)被稱為“壞”的Boussinesq方程.文獻[4]將反散射理論應用于“壞”的Boussinesq方程,首次證明了在初始函數(shù)呈負指數(shù)階一致衰減的條件下,Boussinesq方程

utt-uxx-3uxxxx=-12(u2)xx

(3)

的初值問題是可解的.文獻[5]用不同方法討論了更一般的“壞”的Boussinesq方程初邊值問題解的爆破;文獻[6-7]研究了阻尼Boussinesq方程

utt-2butxx=-αuxxxx+uxx+β(u2)xx,

(4)

得到了方程(4)在不同初邊值條件下的整體漸近解;文獻[8]研究了更一般的具阻尼Boussinesq方程

utt-auttxx-2butxx=-cuxxxx+uxx+p2+β(u2)xx

(5)

Canchy問題解的整體適定性,并給出了一個長時間漸近解.上述結果都是對Boussinesq方程初邊值問題整體解的存在性和爆破性的討論,而關于該方程整體吸引子和指數(shù)吸引子及更高正則性的研究報道較少.整體吸引子廣泛應用于具有耗散結構的發(fā)展方程中[9-12],但它有本質缺陷: 吸引相空間中任意有界集的速率可以是任意慢的,而且它的分形維數(shù)可能無限.指數(shù)吸引子克服了這些缺陷,因為它不僅有有限的分形維數(shù),而且吸引速率是指數(shù)型的、可測的.文獻[13]研究了具強阻尼的Boussinesq方程

utt+Δ2u-Δut-Δg(u)=f(x)

(6)

解的長時間行為,在g(u)滿足非超臨界條件下得到了對應解算子半群整體吸引子及指數(shù)吸引子的存在性;文獻[14]研究了具有強阻尼和夾緊邊界條件的Boussinesq方程

utt-Δu+Δ2u-Δut-Δg(u)=f(x)

(7)

指數(shù)吸引子的存在性.本文在方程(7)的基礎上,考慮系統(tǒng)的歷史狀態(tài),得到方程(1).方程(1)中的記憶項給解半群緊性的驗證帶來困難,與文獻[13-14]相比,計算更復雜,而且必須要單獨驗證記憶項的緊性.本文借助文獻[15]的思想和方法,通過構造相對復雜的三元解相空間,再結合算子分解技巧以及緊性平移定理,獲得了方程(1)指數(shù)吸引子的存在性.

1 函數(shù)集及預備知識

不失一般性,定義Hilbert空間族Vs=D(As/4),其內積和范數(shù)分別為

用‖Au‖表示D(A)的范數(shù),其中

顯然,

定義

其為一個Hilbert空間,并且賦予如下內積和范數(shù):

方程(1)的非線性項g(u)是Lipschitz連續(xù)的,且滿足如下條件:

記憶核函數(shù)μ(·)滿足如下條件:

(H3)μ∈C1(+)∩L1(+),μ′(s)≤0≤μ(s),μ′(s)+δμ(s)≤0,?s∈+,某些δ>0;

g(s)s+εs2+K1≥0, ?s∈,

(8)

G(s)+εs2+K2≥0, ?s∈.

(9)

根據(jù)Gronwall引理,顯然由(H3)可知對所有的s≥s0>0,成立指數(shù)衰退不等式:

μ(s)≤μ(s0)e-δ(s-s0).

(10)

根據(jù)條件(H3),(H4),定義如下Hilbert空間:

并且在M上定義線性算子T,定義域為

D(T)={η∈M|?sη∈M,η(0)=0},

其中Tη=-?sη,?η∈D(T),?sη表示η關于內部變量s的分布導數(shù).則D(T)空間上的內積可定義為

(η1,η2)D(T)=(η1,η2)M+(?sη1,?sη2)M.

定義1[15]給定η∈L,η在L中的尾部函數(shù)是Tη: [1,∞)→[0,∞),定義為

根據(jù)生態(tài)重建效果評價指標選取的科學性、可比性、可操作性等原則[13]，在評價體系建立中主要考慮對生態(tài)環(huán)境影響較大的諸多因素，從植被重建效果方面選取能反映礦區(qū)植被生態(tài)重建效果的11項指標。

(11)

引理1[15]若C?L滿足下列條件:

則C在L中相對緊.

定義Hilbert空間:

且賦予范數(shù)

((u1,v1,η1),(u2,v2,η2))V=(u1,u2)V2+(v1,v2)H+(η1,η2)L,

((u1,v1,η1),(u2,v2,η2))VT=((u1,v1,η1),(u2,v2,η2))V+(?sη1,?sη2)M.

為得到本文的主要結果,首先需要將方程(1)轉化為一個確定的自治動力系統(tǒng).為此,借助文獻[15-17]的思想,引入表示歷史位移的變量,即

ηt(s)=u(x,t)-u(x,t-s), (x,s)∈Ω×+,t≥τ.

(12)

于是

(13)

為方便計算,取α=1+μ0,則方程(1)轉化為

(14)

相應的邊界條件為

(15)

初值條件為

u(x,τ)=u0(x),ut(x,τ)=u1(x),ηt(x,0)=0,ητ(x,s)=η0(x,s),

(16)

其中

(17)

問題(14)等價于如下算子方程:

(18)

定義2(指數(shù)吸引子)[18-19]設{S(t)}t≥0為完備度量空間X中的半群,如果集合M?X滿足下列條件,則稱M為半群{S(t)}t≥0的指數(shù)吸引子：

1) 集合M在X中是緊的,且具有有限的分形維數(shù);

2) 集合M為正不變的,即S(t)M?M;

3) 集合M以如下方式指數(shù)吸引X中的任意有界子集,即對每個有界集B?X,有

dist(S(t)B,M)≤Q(‖B‖X)e-lt,

其中正常數(shù)l和單調函數(shù)Q不依賴于B.

定理1[18]設X?H是一不變緊子集,且Q到H是緊嵌入,存在時間t*>0,使得如下條件成立:

2) 映射S(t*): X→X有如下分解形式:

S(t*)=S0+S1,S0: X→H,S1: X→Q,

其中S0滿足

S1滿足

‖S1(z1)-S1(z2)‖Q≤C*‖z1-z2‖H,C*>0.

則映射S(t*): X→X存在指數(shù)吸引子A.

顯然,由指數(shù)吸引子的定義,A有如下性質:

1) A在X中是緊的;

2) A具有有限的分形維數(shù);

3) A為正不變的,有S(t)A?A;

4) A為半群{S(t)}t≥0的指數(shù)吸引集,即對每個有界集B?X,存在常數(shù)k=k(B),l>0,使得

dist(S(t)B,A)≤ke-lt.

1) 若初值(u0,u1,η0)∈H,則問題(14)-(17)有一個弱解

(u,ut,ηt)∈C([τ,T],H ), ?T>τ,

且滿足

‖z1(t)-z2(t)‖H≤ect‖z1(τ)-z2(τ)‖H,t∈[τ,T].

因此,可定義映射S(t): H→H為

S(t)(u0,u1,η0)=(u(t),ut(t),ηt(s)),t≥τ,s≥0,

其中(u(t),ut(t),ηt(s))是問題(14)-(17)的唯一弱解,算子S(t)滿足半群的性質且可定義一個在H上局部Lipschitz連續(xù)的非線性C0-半群.

2 有界吸收集

2.1 H中的有界吸收集

選取與式(8),(9)相同的ε滿足0<ε<1,用v=ut+εu和式(18)中的第一個方程在H中做內積可得

結合(H1)～(H3)以及H?lder,Young和Poincaré不等式,有

將式(20)～(22)代入式(19)可得

此外,有

(24)

(25)

整理式(23)～(25)可得

令

(27)

根據(jù)式(8),(9)和式(27),(28),利用Sobolev嵌入定理可得

(31)

(32)

(33)

由式(31),(32)可知

因此,對?ρ0>M2/C1,存在t0=t0(B),使得

(35)

則B0是半群{S(t)}t≥0在H中的有界吸收集.從而有如下定理:

‖S(t)z0‖H≤R0, ?t≥τ.

2.2 VT中的有界吸收集

引入條件：

g′(s)>-l, ?s∈.

(36)

下面證明解半群S(t)限制在VT上時,VT上有界吸收集B1?VT的存在性.

證明: 用A1/2v=A1/2ut+εA1/2u和式(18)的第一個方程在H中做內積,得

結合(H1),(H2)、定理3中的有界性以及H?lder,Young和Poincaré不等式,有

且

(39)

(40)

根據(jù)式(36)和推論1,利用Sobolev嵌入定理可知

(42)

將式(38)～(42)代入式(37)并整理可得

結合H?lder不等式和推論1中的有界性,可得

則有

再利用Gronwall引理可得

P(t)≤P(0)e-ε1t+c1.

(46)

由范數(shù)的等價性,有

(47)

結合式(46),(47),得

(48)

其中c1,c3是正常數(shù).

由文獻[16-17]可知,ηt可表示為

(49)

因此,

(50)

從而有

根據(jù)式(10),(48),取δ>ε1,有

因此,可得

(53)

同時,由式(48),(49),有

ηt(0)=0, ?t>0.

(54)

綜合式(48),(53),(54)可知結論成立.

顯然,由定理4可得如下推論.

2.3 H中的不變緊集

設x*=x*(μ)≥1,滿足對所有的x≥x*,下列條件成立:

(55)

(56)

利用定理4和推論2,可令

其中z0=(u0,u1,η0).則存在時間tB≥0,使得當t≥tB時,S(t)B?K.

3 指數(shù)吸引子

‖S(t)z1-S(t)z2‖H≤L1‖z1-z2‖H, ?t∈+,

(57)

其中L1是與R0,δ,k0有關的常數(shù).

(58)

(59)

結合式(40)及H?lder,Young和Poincaré不等式,有

(60)

整理式(59)～(61)可得

由定理3的有界性,得

其中L1是與R0,δ,k0有關的常數(shù).再由Gronwall引理可得結論.證畢.

引理3存在常數(shù)M>0,使得

(64)

其中:z0=(u0,u1,η0);z(t)=(u(t),ut(t),ηt(s)).

且

(65)

結合式(40)、H?lder,Young和Poincaré不等式及定理3,有

(67)

且

(68)

將式(67)～(69)代入式(66)并整理可得

顯然

對式(70)利用Gronwall引理并結合式(71),有

(72)

其中M為正常數(shù).從而可得

(73)

證明: 對任意z1,z2∈X及t1,t2∈[0,T],有

‖S(t1)z1-S(t2)z2‖H≤‖S(t1)z1-S(t1)z2‖H+‖S(t1)z2-S(t2)z2‖H,

(74)

對不等式(74)第二項,由引理3可得

‖S(t1)z1-S(t2)z2‖H≤L(|t1-t2|+‖z1-z2‖H).

定義線性空間

定理7設X?H是一不變緊子集,且Z到H是緊嵌入.則存在t*>0和C*>0,使得映射S(t*): X→X 有如下分解:

S(t*)=S0+S1,S0: X→H,S1: X→Z,

其中S0和S1滿足下列條件:

(75)

‖S1(z1)-S1(z2)‖Z≤C*‖z1-z2‖H, ?z1,z2∈X.

(76)

(77)

(78)

類似于前面的估計,并運用Poincaré不等式,有

(80)

(81)

整理式(79)～(81),得

引入泛函

由范數(shù)的等價性,有

(83)

結合式(36)及定理3和定理4,有

(85)

(86)

將式(85),(86)代入式(84)得

從而有

在(0,t*)上積分且結合初值條件,有

下面只需證明下式成立：

(90)

(91)

(92)

結合式(57)有

(93)

對x≥t*≥1,有

由(H4)和式(55),可得

(94)

最后,由式(92)可知

(95)

再結合式(57)知

(96)

由式(94),(95)即可得式(90),再結合式(89)則有式(76)成立.證畢.

于是,由定理6和定理7再結合定理1,即得：

1) A在H中是緊的;

2) A具有有限的分形維數(shù);

3) A為正不變的,有S(t)A?A;

4) A為半群{S(t)}t≥0的指數(shù)吸引集,即對每個有界集B?H,存在常數(shù)k=k(B),l>0,使得dist(S(t)B,A )≤ke-lt.

推論3假設定理8的條件成立,則問題(14)全局吸引子的分形維數(shù)是有限的.