高階強(qiáng)偽單調(diào)映射變分不等式解的性質(zhì)

韓文艷,余國(guó)林

(北方民族大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所,銀川 750021)

0 引 言

令X為一實(shí)Hilbert空間,用〈·,·〉表示X中的內(nèi)積,〈·,·〉誘導(dǎo)出的范數(shù)記為‖·‖.假設(shè)C?X為一非空閉凸子集,Φ:C→X為一映射,考慮如下變分不等式問(wèn)題:

變分不等式問(wèn)題VI(C,Φ)在力學(xué)、控制論、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)、對(duì)策論、微分方程和最優(yōu)化理論中應(yīng)用廣泛,解的存在性是研究變分不等式問(wèn)題VI(C,Φ)的熱點(diǎn)之一.在討論變分不等式解的性質(zhì)時(shí),通常需要映射Φ滿足一定的連續(xù)性和單調(diào)性假設(shè)[1-6].Kien等[2]在映射Φ滿足弱連續(xù)和偽單調(diào)的條件下,得到了問(wèn)題VI(C,Φ)解存在的等價(jià)條件,但僅給出了解的存在性,未討論解的唯一性問(wèn)題.本文通過(guò)對(duì)映射Φ引進(jìn)一類高階單調(diào)性的概念,在這類高階單調(diào)性假設(shè)下,考慮問(wèn)題VI(C,Φ)解的唯一性.

在構(gòu)造數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中,由于用觀察、實(shí)驗(yàn)和測(cè)量等方法所獲得的數(shù)據(jù)不可能完全準(zhǔn)確,因此所得的數(shù)學(xué)模型和實(shí)際問(wèn)題的真實(shí)模型一般存在一定的差異,后者通常稱為精確模型,前者稱為近似模型.近似模型可視為由精確模型中的數(shù)據(jù)做微小變動(dòng)而得到.當(dāng)將一個(gè)具有精確模型變分不等式的數(shù)據(jù)做微小變動(dòng)后,所得到的近似模型變分不等式不僅要有解,而且解也只有微小變化,因?yàn)橹挥羞@樣才能用近似模型代替精確模型,此即為變分不等式解的穩(wěn)定性理論[7-8].本文在映射的高階單調(diào)性假設(shè)下,研究變分不等式問(wèn)題VI(C,Φ)解的穩(wěn)定性.

1 高階強(qiáng)偽單調(diào)性及解的存在定理

定義1令D為Hilbert空間X中一非空子集.

1) 如果存在常數(shù)α>0,使得

〈F(x)-F(y),x-y〉≥α‖x-y‖2, ?x,y∈D,x≠y,

則映射F:D→X在D上稱為強(qiáng)單調(diào)的；

2) 如果存在常數(shù)α>0,使得

?x,y∈D,x≠y, 〈F(x),y-x〉≥0 ? 〈F(y),y-x〉≥α‖x-y‖2,

則映射F在D上稱為強(qiáng)偽單調(diào)的;

3) 如果存在常數(shù)α>0,使得

?x,y∈D,x≠y, 〈F(x),y-x〉≥0 ? 〈F(y),y-x〉≥0,

則映射F在D上稱為偽單調(diào)的.

定義2令D為Hilbert空間X中一非空子集.如果存在常數(shù)α>0,使得

?x,y∈D,x≠y, 〈F(x),y-x〉≥0 ? 〈F(y),y-x〉≥α‖x-y‖m,

則映射F:D→X在D上稱為m-階強(qiáng)偽單調(diào)的.此時(shí),也稱F在D上關(guān)于常數(shù)α是m-階強(qiáng)偽單調(diào)的.

注1顯然,如果F:D→X在D上是m-階強(qiáng)偽單調(diào)的,則F在D上是偽單調(diào)的;在定義2中取m=2,則F是D上強(qiáng)偽單調(diào)映射的.

下面舉例說(shuō)明高階強(qiáng)偽單調(diào)映射的存在性.

例1令X=,D=[0,+∞),函數(shù)F:D→,定義為F(x)=x3.下面驗(yàn)證F在D上關(guān)于常數(shù)α=1是4-階強(qiáng)偽單調(diào)的.事實(shí)上,假設(shè)〈F(y),x-y〉=y3(x-y)≥0,則有

下面考慮變分不等式問(wèn)題VI(C,Φ),用Sol(C,Φ)表示問(wèn)題VI(C,Φ)在C上解的集合.文獻(xiàn)[2]在映射Φ為弱連續(xù)和偽單調(diào)假設(shè)下,給出了問(wèn)題VI(C,Φ)解的存在性定理:

(1)

為一有界集,則問(wèn)題VI(C,Φ)有解.

定理1令X為Hilbert空間,C?X為一閉凸集.假設(shè)Φ:C→X在C上弱連續(xù)并且m-階強(qiáng)偽單調(diào),則問(wèn)題VI(C,Φ)存在唯一解.

由Cauchy-Schwrz不等式,可得

所以有

(2)

式(2)表明

(3)

(4)

2 高階強(qiáng)偽單調(diào)變分不等式解的穩(wěn)定性

引理2[11]令C?n為一閉凸集,Φ:C→n在C上連續(xù).假設(shè)存在向量使得式(1)為一個(gè)有界集.如果U?n為任意開(kāi)集,且滿足Sol(C,Φ)?U,則變分不等式問(wèn)題在U上有解,其中n為一連續(xù)映射,且存在δ>0,使得

定理2令C?n為一閉凸集,Φ:C→n在C上弱連續(xù)并且m-階強(qiáng)偽單調(diào).令為問(wèn)題VI(C,Φ)的唯一解.則對(duì)任意的ε>0,變分不等式問(wèn)題在上有解,其中n為一連續(xù)映射,且存在δ>0,使得

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

由Cauchy-Schwarz不等式并結(jié)合條件(6),可得

(10)

(11)

3 高階強(qiáng)偽單調(diào)變分不等式的全局誤差界

引理3[12]令C是Hilbert空間X中的一非空閉凸子集.對(duì)任意的x∈X,存在唯一的PC(x)∈C(PC(x)稱為x到C的投影),使得

‖x-PC(x)‖≤‖x-y‖, ?y∈C,

并且

〈x-PC(x),y-PC(x)〉≤0.

反之,如果x′∈C,并且

〈x-x′,y-x′〉≤0, ?y∈C,

則有PC(x)=x′.

定義3[1-3]令D為Hilbert空間X中的一非空子集.如果存在常數(shù)L>0,使得

‖F(xiàn)(x)-F(y)‖≤L‖x-y‖, ?x,y∈D,

則映射F:D→X在D上稱為L(zhǎng)-Lipschitz連續(xù)的.

定理4令C是Hilbert空間X中的一非空閉凸子集.假設(shè)映射Φ:C→X在C上是L-Lipschitz連續(xù),并且關(guān)于常數(shù)α>0是m-階強(qiáng)偽單調(diào)的,則有

(12)

(13)

這等價(jià)于

(14)

再結(jié)合式(14),可得

即

再利用Cauchy-Schwarz不等式,可得

因此有

最后,由三角不等式可得

證畢.