高維Euler方程組的強(qiáng)松馳極限

徐志琳,林春進(jìn)

(河海大學(xué) 理學(xué)院,南京 210098)

0 引 言

考慮如下高維帶松弛項的Euler方程組：

(1)

其初始條件為

ρ(x,0)=ρ0(x),u(x,0)=u0(x).

(2)

這里:x∈n為空間變量;t>0為時間變量;ε>0為松弛常數(shù);ρ(x,t)∈和u∈n分別表示流體在t時刻、x處的密度和速度;P=P(ρ)表示流體的壓強(qiáng),對于任意的ρ>0,滿足P′(ρ)>0.

對于Euler方程組整體解的研究目前已有很多成果[1-12]：文獻(xiàn)[1]研究了一維Euler方程組在Lagrange坐標(biāo)下解的大時間行為,并證明了當(dāng)時間t→∞時,方程組(1)的解收斂于非線性擴(kuò)散方程的解;文獻(xiàn)[5]用流函數(shù)的方法證明了等溫Euler方程組的解在有界變差的初值條件下收斂于熱傳導(dǎo)方程的解;文獻(xiàn)[6]利用熵變量研究了在初值充分小時,等溫Euler方程組的光滑解當(dāng)ε→0時收斂于熱傳導(dǎo)方程的解;文獻(xiàn)[7]利用熵變量,將文獻(xiàn)[6]的結(jié)論推廣到包含等熵Euler方程組在內(nèi)的一般Euler方程組上；文獻(xiàn)[8]將這類方法推廣到一般的松弛極限.但該方法對方程對稱子關(guān)于變量的依賴關(guān)系有較高要求.文獻(xiàn)[9]通過引入新的變量,利用Euler方程的等價形式得到了有效的能量估計,從而證明了解的整體存在性；文獻(xiàn)[10]在能量估計中利用密度關(guān)于時間t的偏導(dǎo)數(shù)估計,得到了解的整體存在性；文獻(xiàn)[11-12]利用該方法得到了類似的結(jié)果.但文獻(xiàn)[9-12]中只考慮了帶阻尼項的Euler方程解的整體存在性(即ε=1情形),由于缺少關(guān)于時間的一致先驗估計,因此不能直接用來處理松弛極限.文獻(xiàn)[13]討論了相互作用力下帶阻尼的Euler方程的極限模型；文獻(xiàn)[14-15]討論了帶阻尼的Euler方程強(qiáng)松弛極限在其他物理模型上的推廣.本文借助文獻(xiàn)[6-8]的方法和文獻(xiàn)[9-10]中能量估計的技巧,建立一般的可壓縮Euler方程組的解關(guān)于ε的一致先驗估計,從而獲得光滑解的整體存在性.

這里C和δ與參數(shù)ε和初值(ρ0,u0)均無關(guān).

本文關(guān)于松弛極限的結(jié)論與文獻(xiàn)[6]一致,但獲得解的估計比文獻(xiàn)[6]更精細(xì),且本文對松弛模型的研究方法可推廣至更一般的物理模型中.若無特殊說明,本文中C均表示一個與ε和初值均無關(guān)的正常數(shù),但不同之處可表示不同的值.用α∈n表示多重指標(biāo),即α=(α1,α2,…,αn),其中αi∈,i=1,2,…,n,用|α|表示其階數(shù),即|α|=α1+α2+…+αn.?α表示關(guān)于x的|α|階偏導(dǎo)數(shù),‖·‖L2,‖·‖L∞,‖·‖Hk分別表示n上的L2范數(shù)、L∞范數(shù)和Hk范數(shù).

1 一致先驗估計

(3)

其中

(4)

由式(3)中的質(zhì)量守恒方程可得速度變量的散度為

(5)

對于(V,U)∈C([0,T];Hk(n)),定義能量泛函為

若Nε(T)≤δ,則根據(jù)Nε(T)的定義以及Sobolev嵌入定理,可知

(7)

由式(7)式,易見

(8)

下面進(jìn)行能量估計,首先證明如下的L∞(Hk)估計:

命題1若擾動方程組(3)的解(V,U)∈C([0,T],Hk(n)),且滿足Nε(T)≤δ,則存在常數(shù)C,使得對于?t∈[0,T],有

下面估計式(10)右端的第一個積分,結(jié)合式(5),有

其中[,]表示交換子,即

[A,B]C=A(BC)-B(AC).

對于I1,通過分部積分,有

由式(7)知

則

婦科護(hù)理當(dāng)中安全隱患的出現(xiàn)首相我們應(yīng)該想到的問題就是關(guān)于護(hù)理人員的問題,在大多數(shù)的婦科護(hù)理人員當(dāng)中他們的法律意識相對來說是較為薄弱的,他們對于法律法規(guī)的了解都是十分欠缺的,所以他們對于風(fēng)險的預(yù)知能力是不足的。這樣一來也就導(dǎo)致護(hù)理人員在護(hù)理工作當(dāng)中不能意識到法律的重要性,缺乏護(hù)理的責(zé)任心,認(rèn)為工作疏忽不會給患者帶來多大的影響。

(13)

此外,對式(12)右側(cè)第二項分|α|=0和|α|>0進(jìn)行討論：當(dāng)|α|=0時,有

‖V‖L∞≤C‖V‖Hk-1,

根據(jù)式(7)并結(jié)合H?lder不等式及帶ε的Young不等式,有

當(dāng)|α|>0時,式(12)右側(cè)第二項的估計更簡單,則有

把式(13)～(15)代入式(12),可得

對于I2,利用交換子的Moser類估計,并參考文獻(xiàn)[16],可得

由復(fù)合函數(shù)的Moser類估計,并參考文獻(xiàn)[16],有

(18)

利用式(17),(18)及Sobolev嵌入不等式,有

(19)

(20)

根據(jù)上述估計技巧,I5和I6的估計較容易,有

由估計式(16)～(22),可得

下面估計式(10)右端第二個積分,首先利用表達(dá)式,可寫為

與前面的估計類似,利用分部積分,J1可化為

對于式(25)右側(cè)第一項,根據(jù)式(8)及H?lder不等式易得到估計.對于式(25)右側(cè)第二項,利用式(5),與式(11)中前四項的估計方法類似,有

同理,對J2,J3,J4的估計,有

(27)

由式(26),(27),可得

將式(23),(28)代入式(10),當(dāng)δ充分小時關(guān)于|α|≤k求和,即得命題1.

下面討論Vt的估計.

命題2在命題1的條件下,有

證明: 首先,對式(3)的第一個方程兩邊同時關(guān)于t求導(dǎo),對式(3)第二個方程兩邊同時求散度,再將兩式相加,并消去(·U)t,得

(29)

這里

(30)

然后,對式(29)兩邊同時關(guān)于x求α階導(dǎo),|α|≤k-1,再乘以?α(εV+Vt),并在n×[0,t]上積分,可得

下面估計式(31)右端含有?αR(V,U)的積分項,利用式(30),把ε?αR(V,U)?αV的積分拆成四項：

其中：

與式(24)中的估計類似,I1,I2和I4可估計為

對于I3,利用式(3)的第二個方程,將?tU用U,V和Q(V,U)表示,I3可分解為

與I1,I2和I4的估計同理,利用分部積分與交換子的性質(zhì),I3可進(jìn)一步估計為

(35)

結(jié)合式(32)～(35),可得

式(31)右端積分項中的?αR(V,U)?αVt的積分的估計式(36)類似,于是

將式(36),(37)代入式(31),當(dāng)δ充分小時,關(guān)于|α|≤k-1求和,即得命題2的估計.

根據(jù)一致先驗估計,并由質(zhì)量守恒可知:Vt(0)=-·[(V0+1)U0],從而可得解的一致先驗估計,進(jìn)而獲得解的整體存在性[6,9].