常微分方程課程在培養(yǎng)創(chuàng)新人才方面的實踐與探索*

王金鳳 崔仁浩 劉萍 侍述軍 （哈爾濱師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院）

培養(yǎng)人才是高校最基本的職能，自然培養(yǎng)推動社會發(fā)展的創(chuàng)新人才成為高校教學(xué)改革的主要任務(wù)。創(chuàng)新人才的培養(yǎng)是教育界共同探討的話題，目前，世界各國的高校都在進(jìn)行教學(xué)改革，以求培養(yǎng)具有創(chuàng)新精神，創(chuàng)新能力的高素質(zhì)人才。早在1919年，陶行知先生就把“創(chuàng)造”引入教育領(lǐng)域。他在《第一流教育家》一文中提出，要培養(yǎng)具有“創(chuàng)造精神”和“開辟精神”的人才，認(rèn)識到培養(yǎng)人才對國家強(qiáng)弱和民族興亡具有的重要意義。到20世紀(jì)60，70年代，隨著美國心理學(xué)家吉爾福特(J.P.Guiford)的《創(chuàng)造性才能》和《創(chuàng)造力與創(chuàng)新思維新論》兩本著作的問世，研究創(chuàng)造性人才逐漸成為一個熱門課題。雖然國外學(xué)者沒有“創(chuàng)新人才”的提法，但他們所提的培養(yǎng)目標(biāo)無一不表現(xiàn)出人才要具有“創(chuàng)新”的內(nèi)涵。

而教學(xué)是培養(yǎng)人才的根本途徑。我國數(shù)學(xué)本科生均從中學(xué)的重應(yīng)試的數(shù)學(xué)教育中走來，而大學(xué)數(shù)學(xué)本科教材，包括基礎(chǔ)課程教材，受蘇聯(lián)的影響，普遍追求理論的嚴(yán)密性，一般性，均從最一般到特殊，而且忽略數(shù)學(xué)建模、定性分析及與現(xiàn)代數(shù)學(xué)的聯(lián)系，使學(xué)生難于接受，不會應(yīng)用，影響創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，即使最富有創(chuàng)造力的學(xué)生也難以在學(xué)習(xí)過程中開發(fā)其潛能。本科生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)已成為當(dāng)前高校教育工作者面臨的一項重要任務(wù)，經(jīng)過幾年著眼于哈爾濱師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院對本科生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，筆者將對其在常微分方程課程方面創(chuàng)新能力培養(yǎng)的一些理論探索和教改實踐進(jìn)行了分析總結(jié)，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行比較系統(tǒng)的思考，初步形成了一套本科生創(chuàng)新能力培養(yǎng)所需要的制度體系，以適應(yīng)培養(yǎng)高層次創(chuàng)新型人才這一緊迫任務(wù)的需要。

一 重課程教學(xué)

我們在哈爾濱師范大學(xué)本科常微分方程基礎(chǔ)課教學(xué)中，普遍實施“講授啟發(fā)式”教學(xué)模式，在教學(xué)課堂上實現(xiàn)師生互動的教學(xué)方式。特別，結(jié)合課堂教學(xué)，組織本科生參加“研討班”，實行探究式的研究性學(xué)習(xí)，實行導(dǎo)師制。采用最大似然估計與貝葉斯估計統(tǒng)計推斷方式進(jìn)行效果評價，使教學(xué)內(nèi)容的改革在提高綜合素質(zhì)與創(chuàng)造能力方面優(yōu)于傳統(tǒng)內(nèi)容。專門為基地班學(xué)生開設(shè)學(xué)科交叉課程、研究性課程。近十年來，我們對數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的本科生采用中英文教材相結(jié)合的方式進(jìn)行教學(xué)，特別是對于基地班的教學(xué)過程中強(qiáng)調(diào)英文教材的參考使用，使我們的學(xué)生學(xué)會用符合英語習(xí)慣的科學(xué)語言表達(dá)自己的觀點(diǎn)，從而使他們將來在國際學(xué)術(shù)舞臺上贏得一席之地，能順利進(jìn)行學(xué)術(shù)訪問和學(xué)術(shù)交流，并響應(yīng)教育部所提出的實行雙語教學(xué)的倡議，嘗試在數(shù)學(xué)課堂上實行雙語教學(xué)是一項有益的工作；其次在常微分方程基礎(chǔ)上，我們開設(shè)了數(shù)學(xué)物理方程選修課，并在其基礎(chǔ)上開設(shè)了反應(yīng)擴(kuò)散方程，應(yīng)用偏微分方程等研究性課程，這些課程激發(fā)了即將選擇分析或微分方程方向的本科生的濃厚興趣，為他們在未來的研究生學(xué)習(xí)奠定了堅實的基礎(chǔ)。

二 重實踐指導(dǎo)

老師與學(xué)生的緊密聯(lián)系不僅是給學(xué)生講授知識，吸收學(xué)生參加科研項目，而是體現(xiàn)在專業(yè)方向的確定、課程選擇和課程學(xué)習(xí)結(jié)果的審查、個性化教學(xué)計劃的制定和學(xué)術(shù)研究的指導(dǎo)等方面。因此我們采用教學(xué)實驗與觀察研究相結(jié)合的研究方法，進(jìn)行中英雙語教學(xué)，計算機(jī)輔助教學(xué)及探究式研究性學(xué)習(xí)，培養(yǎng)本科生創(chuàng)新科研能力。運(yùn)用探索式的啟發(fā)式講授，通過建模培養(yǎng)創(chuàng)新能力。根據(jù)學(xué)生的具體情況結(jié)合國外的教學(xué)實踐，我們將MATLAB，MAPLE 等數(shù)學(xué)軟件引入課堂，使整個課堂寓教于樂，圖文并茂，給同學(xué)們留下了深刻的印象，取得了良好的教學(xué)效果。此外，我們在課程講授之后增加學(xué)生討論的環(huán)節(jié)，以兩至三人為一個單元，結(jié)合課堂內(nèi)容對實際問題進(jìn)行討論，這個過程為學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模競賽等科技活動積累了堅實的經(jīng)驗和方法。

三 重導(dǎo)向型教學(xué)

導(dǎo)向型教學(xué)是國外流行的一種教學(xué)方式，它強(qiáng)調(diào)在課堂教學(xué)中學(xué)生是學(xué)習(xí)過程的中心，教師在教學(xué)過程中起到引導(dǎo)作用，是學(xué)習(xí)過程中的組織者和協(xié)調(diào)人。對具有一定自主學(xué)習(xí)能力的本科生來說，采用以學(xué)生為中心的啟發(fā)式教學(xué)，符合當(dāng)前的教學(xué)改革潮流。圍繞這一目標(biāo)，國內(nèi)高校通常使用的方法有慕課、翻轉(zhuǎn)課堂等，對學(xué)生自我學(xué)習(xí)的潛能開發(fā)有一定的指導(dǎo)作用。常微分方程課程教學(xué)的主要目的是求解各種形式的常微分方程模型，運(yùn)用導(dǎo)向型教學(xué)方式進(jìn)行教學(xué)有利于使學(xué)生學(xué)會在事物的量與量之間建立起常微分方程模型。根據(jù)作者多年的教學(xué)研究和實踐，我們在講授常微分方程過程中，通過小組討論，引導(dǎo)學(xué)生在不同的假設(shè)條件下建立常微分方程的簡單模型；引導(dǎo)學(xué)生在求解微分方程中以定性分析方法為主。例如，對于一階二維非線性微分方程組，引導(dǎo)學(xué)生回憶線性化思想，教師自然地引入微分方程在平衡解處的線性化形式，進(jìn)而利用定性分析方法分析在平衡解附近微分方程解的漸近行為，并分析解隨參數(shù)變化時發(fā)生分歧現(xiàn)象的規(guī)律，同時引導(dǎo)學(xué)生考慮將數(shù)學(xué)上分析的結(jié)果應(yīng)用于各種具體的問題中。教師從提出具體問題到引導(dǎo)學(xué)生解決問題的準(zhǔn)備、實施、總結(jié)三個階段過程中，始終起到的是輔助作用，需要充分強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主動性。在此過程中，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的中心地位，弱化教師的主導(dǎo)地位。

四 重課程建設(shè)

課程建設(shè)是本科教學(xué)的一項重要的基礎(chǔ)性建設(shè)工作，要培養(yǎng)高素質(zhì)創(chuàng)新人才，必須要有一批特色課程。在中英文教材相結(jié)合的教學(xué)過程中，最初我們使用的是英文教材Paul Blanchard，Robert L Devaney，Glen R Hall 編著的《Differential Equations》，把以往采用的由中山大學(xué)王高雄等編寫的《常微分方程》（第三版）作為輔助教材。經(jīng)過了幾年的教學(xué)實踐與探索，我們設(shè)計并編寫出與國內(nèi)傳統(tǒng)常微分方程教材完全不同的，適用于進(jìn)行探索式教學(xué)的常微分方程課程本科教學(xué)的教材《常微分方程簡明教程》，在國家級出版社“科學(xué)出版社”出版，并入選“大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)叢書”。同時，我們設(shè)計、編寫出與此教材配套適合學(xué)生進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)指導(dǎo)書《常微分方程導(dǎo)學(xué)》，在“哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社”出版。在教學(xué)中我們不僅使用《常微分方程簡明教程》與《常微分方程導(dǎo)學(xué)》，我們還針對我院學(xué)生知識基礎(chǔ)和外語水平參差不齊的實際情況采用分層次的教學(xué)方式，對于專業(yè)基礎(chǔ)扎實，外語水平普遍較好的本科生，采用雙語教學(xué)的教學(xué)方式，由具有豐富教學(xué)經(jīng)驗，具有國外訪學(xué)或留學(xué)經(jīng)歷的教授承擔(dān)，教學(xué)過程中采用英語板書，英文講解，漢語補(bǔ)充的教學(xué)方式。對普通班則進(jìn)行低層次的雙語教學(xué)，即部分英文板書，漢語講解，適當(dāng)穿插英文。針對具體內(nèi)容，我們還做了一些小課件供學(xué)生使用，主要是一些具體的實際應(yīng)用模型，讓學(xué)生感到數(shù)學(xué)的存在不再遙不可及，學(xué)習(xí)的意義更不只限于它的抽象美。例如，教材中有這樣一個實驗讓學(xué)生來做，驗證菌群的指數(shù)增長模型：買一片面包，放在寢室的窗臺上，觀察其霉變的過程，通過霉變面積的大小來判斷霉菌的增長，直到面包全部變黑。我們在課件課上演示上述霉變過程不同階段的圖片，通過數(shù)據(jù)建立模型。課后不少學(xué)生嘗試這一實驗，反饋效果良好。

經(jīng)過近幾年的實踐和探索，我們微分方程團(tuán)隊在培養(yǎng)本科生創(chuàng)新人才方面取得了卓著的成果。筆者之一作為指導(dǎo)教師所指導(dǎo)的2011 級本科生方麗婷的本科畢業(yè)論文發(fā)表在被SCI 收錄的國際著名數(shù)學(xué)雜志《Applied?Mathematics?Letters》上。指導(dǎo)教師在教授《常微分方程》時，將非線性二維方程組的講解與研究型論文結(jié)合，通過定性分析及數(shù)值模擬的方式把教材的概念與方法在具體的生物數(shù)學(xué)模型中表示出來。方麗婷同學(xué)正是在這個啟發(fā)下，研究了帶有消耗資源型的捕食食餌模型，同時結(jié)合反應(yīng)擴(kuò)散方程的基本知識，對該模型進(jìn)行了詳細(xì)的動力學(xué)分析。這種把教學(xué)與科研有效結(jié)合的方式在本科生的學(xué)習(xí)過程中很具有推廣性，僅在近三屆畢業(yè)的本科生中，就有十幾名學(xué)生完成有關(guān)微分方程模型和定性分析等方面的學(xué)術(shù)論文。其中，有4 名同學(xué)的論文發(fā)表在省級以上的刊物上，有4 名同學(xué)的本科畢業(yè)論文被評為哈爾濱師范大學(xué)校優(yōu)秀畢業(yè)論文。在全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽上，多名本科生多次獲得獎項，一大批畢業(yè)生已在其研究或工作領(lǐng)域嶄露頭角。

培養(yǎng)學(xué)生靠教師，但教師不是決定學(xué)生是否具有創(chuàng)新性的唯一因素。培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新素質(zhì)的任務(wù)要靠整個教育系統(tǒng)中的各部門共同承擔(dān)，因此，創(chuàng)新人才培養(yǎng)需要教學(xué)管理體制，以致全社會的創(chuàng)新。以本文作者為主要成員的常微分方程教學(xué)團(tuán)隊是省級優(yōu)秀教學(xué)團(tuán)隊，在充分發(fā)揮自身強(qiáng)有力的科研優(yōu)勢基礎(chǔ)上，我們致力打造具有師范特色的精品教學(xué)。以方程教研室為依托，研究常微分方程與后繼課程反應(yīng)擴(kuò)散方程及應(yīng)用偏微分方程的內(nèi)在聯(lián)系，既讓師范生掌握基本的教學(xué)技能，又能給對科研有興趣的學(xué)生傳輸有效的學(xué)術(shù)思想，全方位培養(yǎng)能完成素質(zhì)教育任務(wù)的新型教師及科研工作者。