非線性能量阱在懸臂薄板振動抑制中的應用研究

劉艮 張偉

摘要： 懸臂結構在航空航天領域應用廣泛，由于結構受到激勵作用而產(chǎn)生共振行為，因此結構的振動抑制問題顯得尤為重要。非線性能量阱（Nonlinear Energy Sink，NES）以質輕、能量單向傳遞以及減振效率高等特點，為其引入到航空航天結構的減振設計中提供了條件。利用NES對懸臂矩形板進行減振研究。考慮Kirchhoff經(jīng)典薄板模型，建立了薄板與NES耦合的動力學方程，通過模態(tài)截斷研究了薄板一階橫向彎曲時結構的響應問題，分析了不同參數(shù)下NES的減振效果，發(fā)現(xiàn)NES對結構響應位置較為敏感，并且在位移響應最大位置處減振效果最大。以期為懸臂結構在工程應用中提供一些理論上的支持。

關鍵詞： 非線性能量阱; 振動抑制; 懸臂薄板; 瞬態(tài)響應

中圖分類號： O322; TB535 ?文獻標志碼： A ?文章編號： 1004-4523（2019）05-0786-07

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2019.05.006

引 言

懸臂結構在航空航天工程領域的研究中應用廣泛，新型飛行器的翼面，壓氣機的葉片及航天工程中的機械臂、人造衛(wèi)星的太陽翼等都是典型的懸臂構件。由于這些結構的工作環(huán)境復雜，在各種載荷作用下容易引起結構的振動，從而影響到整體系統(tǒng)的性能[1-3]，必要的減振手段是值得考慮的。

隨著結構工作環(huán)境的復雜化，傳統(tǒng)的減振手段已經(jīng)不能較好地滿足工程需要。非線性能量阱與傳統(tǒng)減振器相比以其附加質量小、抑制頻帶寬、能量靶向傳遞等特點，逐漸成為結構減振研究中所關注的熱點。對離散系統(tǒng)及線性連續(xù)系統(tǒng)附加非線性能量阱進行靶向能量傳遞的研究始于2000年初。Gendelman[4]在研究兩自由度線性振子耦合一個含有三次非線性剛度及阻尼元件附件的瞬態(tài)動力學問題中首次實現(xiàn)了能量的靶向傳遞。在早期的研究中，學者們將含有三次非線性剛度的元件附加于不同的離散結構中，形成耦合系統(tǒng)，利用非線性能量阱實現(xiàn)結構的寬頻被動減振。

隨后，文獻[5-10]將NES對結構的減振研究從離散系統(tǒng)拓寬到連續(xù)系統(tǒng)，從簡單的有限自由度的線性彈簧質量系統(tǒng)推廣到了連續(xù)介質的梁板結構中，不僅從理論分析了非線性能量阱的減振效果，而且從實驗方面得到了有力的驗證，為NES在結構減振方面的應用奠定了基礎。

近年來，應用NES對結構進行振動抑制的研究方興未艾，Zhang等[11-12]將NES的被動振動抑制應用到了軸向運動梁的減振研究中，考慮軸向運動梁在瞬態(tài)激勵作用下，附加單個NES以及附加一對平行布置的NES的減振效果。Kani等[13]將NES的減振問題應用到了非線性簡支梁的振動抑制中，將傳統(tǒng)的線性結構的減振向非線性結構減振邁進。懸臂結構在旋轉部件中應用廣泛，Bab等[14]利用NES對旋轉梁結構進行了減振研究。

在實驗分析方面，Kremer等[15]通過實驗與理論相結合的研究方法，分析了非線性能量阱作為吸振器的能量傳遞方式。同時，中國的學者也在應用NES進行結構減振的研究中做出了貢獻。Chen等[16-17]研究了以桁架為核心的梁結構的振動抑制問題，并對成對布置的NES附件簡支梁的高分支響應問題進行了分析。文獻[18-19]對含有一類立方非線性剛度的吸振器的能量傳遞及參數(shù)設計進行了研究。陳等[20]對串聯(lián)和并聯(lián)NES的吸振效能進行了對比研究，分析了不同參數(shù)對吸振效能的影響。

本文以懸臂矩形薄板為研究對象，針對NES對懸臂板結構的瞬態(tài)激勵下的振動抑制問題進行研究。通過模態(tài)截斷的方法考慮懸臂板振動的低階模態(tài)振型的情況，分析NES在不同放置位置及不同系統(tǒng)參數(shù)時對減振效果的影響，以期為懸臂薄板結構的減振設計提供理論上的支持。

1 理論模型

懸臂薄板由于結構尺寸上的特殊性，在結構受到橫向擾動時，容易發(fā)生橫向彎曲振動，所以本文對薄板在橫向振動時的動力學方程進行建模。

將含有三次非線性剛度的NES附件附加到矩形薄板的結構中，考慮懸臂邊界形式，矩形薄板一邊固定，其他三邊自由，如圖1所示。

4 TMD和NES減振效果對比

相比于線性剛度阻尼減振器（TMD），NES被動減振效果優(yōu)勢明顯。圖18和19選取了激勵位于自由端，激勵幅值f=2，線性阻尼減振器及NES附件布置于d=9時，結構的響應衰減情況。由于非線性系統(tǒng)的耦合作用，附加NES的懸臂結構的初始響應較線性減振器耦合結構大，但是附加NES結構的衰減效果明顯，比較圖18中a，b附加線性剛度阻尼減振結構的初始及一段時間后的衰減幅值以及圖19中c，d附加NES結構的衰減幅值，明顯地，在附加NES的結構中，在激勵發(fā)生后的5 s左右時，結構振幅的衰減就達到了可觀的程度，振幅下降的趨勢更為陡峭，體現(xiàn)了NES的良好的減振效果。

5 結 論

本文研究了懸臂薄板結構附加NES附件的瞬態(tài)振幅抑制問題?；贙irchhoff假設建立了薄板與NES耦合的動力學方程，通過模態(tài)截斷研究了薄板一階橫向彎曲時，結構的響應問題，分析了不同參數(shù)下NES的減振效果。通過選取NES不同布置位置，研究了NES掛載位置對振動衰減的影響。對比了NES在不同位置時，懸臂薄板在一定時間內振幅衰減效果。與線性剛度質量阻尼減振附件的振幅抑制效果進了對比，可以看到NES在瞬態(tài)激勵下有著較高的振幅抑制效率，優(yōu)勢明顯。通過以上研究，以期為NES投入到工程結構的減振應用中提供理論上的支持。

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Abstract： Cantilever structures are widely used in the field of aerospace engineering. It is very important to restrain the vibration of these structures because of their resonance behavior under external excitation. The Nonlinear Energy Sink （NES）， which is characterized by light weight， targeted energy transfer and high damping efficiency， can be used in the design of vibration suppression of aerospace structures. In this paper， the vibration reduction of cantilever rectangular plates using the NES is studied. Considering the classic Kirchhoff plate model， the dynamic equation of the thin plate coupled with the NES is established， and the response of the structure in the first order transverse bending is studied by modal truncation. The damping effect of the NES under different parameters is analyzed. It is found that the NES is sensitive to the response position of the structure and has the maximum effect of vibration reduction at the position with the maximum displacement response， which can provide some theoretical support for the cantilever structure in engineering application.?

Key words： nonlinear energy sink; vibration suppression; cantilever thin plate; transient response

作者簡介： 劉 艮（1991-），女，博士研究生。電話：18810946395;E-mail： liugen1991@hotmail.com

通訊作者： 張 偉（1960-），男，教授。電話：（010）67392867;E-mail： sandyzhang0@yahoo.com