投資過程中的非Markowitz風(fēng)險(xiǎn)偏好分析及最優(yōu)選擇

張琳琳 尹亦聞 張宗新

(復(fù)旦大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院，上海 200433)

從全球來(lái)看，量化投資已有三十多年的發(fā)展歷史。由于業(yè)績(jī)穩(wěn)定，近幾年的量化投資市場(chǎng)規(guī)模呈爆發(fā)式增長(zhǎng)。對(duì)沖基金研究公司(HFR)的數(shù)據(jù)顯示，截至2017年10月，全球量化對(duì)沖基金管理的資金超過了9400億美元，是2010年的近兩倍。在中國(guó)，盡管量化投資僅有十幾年歷史，但發(fā)展異常迅猛。以我國(guó)公募量化基金為例，發(fā)行規(guī)模有兩個(gè)高峰，分別是2009年和2014年，2014年的總規(guī)模高達(dá)6057億元。而且我國(guó)公募量化基金的發(fā)行數(shù)量也一直處于上升態(tài)勢(shì)，尤其自2014年以后更是高速增長(zhǎng)，2017年發(fā)行總數(shù)量已達(dá)761只(1)以上數(shù)據(jù)均來(lái)自于富國(guó)基金數(shù)據(jù)庫(kù)。。

那么量化投資蓬勃發(fā)展的支撐是什么？是否還有更進(jìn)一步的發(fā)展空間？事實(shí)上，量化投資的本質(zhì)是基于Markowitz的投資組合選擇理論及其改進(jìn)，例如目前被華爾街廣泛使用的Black-Litterman模型等，并隨著計(jì)算機(jī)、大數(shù)據(jù)技術(shù)、人工智能等的進(jìn)步而獲得不斷發(fā)展?？梢?，支持量化投資發(fā)展的基礎(chǔ)與核心是Markowitz的投資組合選擇理論。該組合的基本應(yīng)用思路為：先計(jì)算并得到投資組合有效前沿，再找到用以描述某投資者風(fēng)險(xiǎn)偏好的均值—方差效用函數(shù)，該函數(shù)與有效前沿的切點(diǎn)即為最優(yōu)投資組合，見Markowitz (1952)(2)Markowitz Harry, “Portfolio Selection,” The Journal of Finance 7.1 (1952): 77-91.。因此，量化投資的進(jìn)一步發(fā)展也主要體現(xiàn)在對(duì)Markowitz投資組合理論及方法改進(jìn)上。具體而言，主要體現(xiàn)在投資組合有效前沿和均值-方差效用函數(shù)的確定兩個(gè)方面。

本文的價(jià)值和特色主要體現(xiàn)在：第一，與已有風(fēng)險(xiǎn)偏好的度量文獻(xiàn)相比，給出了非Markowitz風(fēng)險(xiǎn)偏好假設(shè)下滿足風(fēng)險(xiǎn)偏好一致性的投資者風(fēng)險(xiǎn)偏好度量方法；第二，首次借鑒信用評(píng)級(jí)思想，對(duì)風(fēng)險(xiǎn)偏好水平進(jìn)行了等級(jí)劃分，比較分析了各風(fēng)險(xiǎn)偏好等級(jí)下的最優(yōu)投資選擇問題；第三，與已有最優(yōu)投資組合研究相比，對(duì)不同風(fēng)險(xiǎn)偏好下的有效投資組合的確定方式進(jìn)行了充分的分析和比較。

一、 文獻(xiàn)綜述

目前已有文獻(xiàn)的研究重點(diǎn)主要在于對(duì)投資組合有效前沿的改進(jìn)。其中，最重要的、也是應(yīng)用最廣泛的代表性成果為基于Markowitz理論的Black-Litterman模型，見Black和Litterman (1992)(3)Black Fischer and Robert Litterman, “Global Portfolio Optimization,” Financial Analysts Journal 48. 2 (1992): 28-43.。該模型針對(duì)Markowitz均值-方差模型對(duì)期望收益過于敏感這一問題，通過將投資者的個(gè)人預(yù)期與市場(chǎng)先驗(yàn)收益率相結(jié)合，對(duì)預(yù)期收益率進(jìn)行了有效修正。此外，隨著風(fēng)險(xiǎn)度量方法——VaR的提出和廣泛應(yīng)用，一些學(xué)者對(duì)Markowitz均值-方差模型組合方差的計(jì)算方法也進(jìn)行了修正：Campbell et al(2001)(4)Campbell Rachel, Ronald Huisman and Kees Koedijk, “Optimal Portfolio Selection in A Value-at-Risk Framework,” Journal of Banking & Finance 25.9 (2001): 1789-1804.、Alexander et al(2002)(5)Alexander Gordon J. and Alexandre M. Baptista, “Economic Implications of Using A Mean-VaR Model for Portfolio Selection: A Comparison with Mean-variance Analysis,” Journal of Economic Dynamics and Control 26. 7-8 (2002): 1159-1193.、姚京和李忠飛(2004)(6)姚京、李仲飛：《基于VaR的金融資產(chǎn)配置模型》，《中國(guó)管理科學(xué)》2004年第1期?；贛arkowitz模型構(gòu)建了均值-VaR投資組合選擇模型。同時(shí)，也有學(xué)者構(gòu)建了基于VaR的Black-Litterman模型，見Martellini和Ziemann(2007)(7)Martellini Lionel and Volker Ziemann, “Extending Black-Litterman Analysis Beyond the Mean-Variance Framework,” Journal of Portfolio Management 33.4 (2007): 33-44.、 Lejeune(2011)(8)Lejeune Miguel A., “A VaR Black-Litterman Model for the Construction of Absolute Return Fund-of-funds,” Quantitative Finance 11.10 (2011): 1489-1501.；在此基礎(chǔ)上，Cui Xueting et al(2013)(9)Cui Xueting, Zhu Shushang, Sun Xiaoling and Li Duan, “Nonlinear Portfolio Selection Using Approximate Parametric Value-at-Risk,” Journal of Banking & Finance 37.6 (2013): 2124-2139.、黃金波等(2017)(10)黃金波、李仲飛、丁杰：《基于非參數(shù)核估計(jì)方法的均值-VaR模型》，《中國(guó)管理科學(xué)》2017年第5期。采用非參數(shù)方法，對(duì)VaR的估計(jì)方法做了進(jìn)一步考察。在Rockafeller和Uryasev(2000)(11)Rockafellar R. Tyrrell and Stanislav Uryasev, “Optimization of Conditional Value-at-risk,” Journal of Risk 2 (2000): 21 - 42.提出了一致性風(fēng)險(xiǎn)度量CVaR模型之后，不少學(xué)者也將該法應(yīng)用于投資組合優(yōu)化問題，見Yao等(2013)(12)Yao Haixiang, Zhongfei Li and Yongzeng Lai “Mean-CVaR Portfolio Selection: A Nonparametric Estimation Framework,” Computers & Operations Research 40.4 (2013): 1014-1022.、黃金波等(2016)(13)黃金波、李仲飛、姚海祥：《基于CVaR兩步核估計(jì)量的投資組合管理》，《管理科學(xué)學(xué)報(bào)》2016年第5期。、張冀等(2016)(14)張冀、謝遠(yuǎn)濤、楊娟：《風(fēng)險(xiǎn)依賴、一致性風(fēng)險(xiǎn)度量與投資組合——基于Mean-Copula-CVaR的投資組合研究》，《金融研究》2016年第10期。。

其次，是對(duì)均值-方差效用函數(shù)的改進(jìn)?？傮w而言，這方面的進(jìn)展并不理想。眾所周知，Markowitz模型的均值-方差效用函數(shù)，均需要假設(shè)投資者是傳統(tǒng)理性的，即投資者具有完全性、傳遞性、對(duì)稱性偏好以及風(fēng)險(xiǎn)厭惡特征，并且始終遵循效用最大化原則，本文稱之為Markowitz風(fēng)險(xiǎn)偏好假設(shè)。Mas-Colell et al(1995)(15)Mas-Colell Andreu, Michael Dennis Whinston and Jerry R. Green, Microeconomic Theory (New York: Oxford University Press, 1995) 380.早就指出，偏好的完全性和傳遞性是均值-方差效用函數(shù)存在的必要條件。另外，有學(xué)者還給出了一些均值-方差效用函數(shù)的具體形式，例如資產(chǎn)定價(jià)中最常用的二次效用函數(shù)(Walters，2014)(16)Walters, “The Black-Litterman Model in Detail,” CFA, SSRN 1314585, 2014.等等。不過，建立在Markowitz風(fēng)險(xiǎn)偏好假設(shè)上的均值-方差模型存在諸多問題：第一，在現(xiàn)實(shí)世界中，基本上不具備實(shí)現(xiàn)偏好完全性假設(shè)的環(huán)境和條件，而且也很難通過改變現(xiàn)實(shí)環(huán)境和條件實(shí)現(xiàn)該假設(shè)，見張金清(2003)(17)張金清：《序方法與均衡分析》，上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2003年，第24頁(yè)。；第二，在不確定情形下，風(fēng)險(xiǎn)偏好水平對(duì)人們的決策行為有非常重要的影響(謝識(shí)予等，2007)(18)謝識(shí)予、孫碧波、朱弘鑫、筒井義郎、秦劼、萬(wàn)軍民：《兩次風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度實(shí)驗(yàn)研究及其比較分析》，《金融研究》2007年第11期。，但在現(xiàn)實(shí)中不是所有的偏好關(guān)系都能用效用函數(shù)表述，例如Allais悖論(李心丹，2005)(19)李心丹：《行為金融理論：研究體系及展望》，《金融研究》2005年第1期。；第三，Markowitz風(fēng)險(xiǎn)偏好假設(shè)是建立在投資者風(fēng)險(xiǎn)厭惡基礎(chǔ)之上的，采用的效用函數(shù)均為凹函數(shù)，而在現(xiàn)實(shí)世界中，投資者的偏好并不確定，見Kahnneman和Tversky(1979)(20)Kahneman Daniel and Amos Tversky, “Prospect Theory: An Analysis of Decision Under Risk,” Econometrica 47 (1979): 263-291.。鑒于此，張金清(2004)利用VaR模型提出了不滿足Markowitz風(fēng)險(xiǎn)偏好假設(shè)(下文稱之為非Markowitz風(fēng)險(xiǎn)偏好假設(shè))的度量方法，并在此基礎(chǔ)上研究了風(fēng)險(xiǎn)偏好和投資選擇問題。該文成果為本文提出了很好的借鑒，但也存在如下不足：第一，VaR模型不滿足風(fēng)險(xiǎn)偏好一致性；第二，文中僅計(jì)算了幾種風(fēng)險(xiǎn)偏好水平下的投資選擇情況，并沒有進(jìn)行系統(tǒng)的風(fēng)險(xiǎn)偏好等級(jí)劃分和等級(jí)偏好討論。

針對(duì)上述分析，本文試圖對(duì)最優(yōu)投資組合確定過程中的Markowitz均值-方差效用函數(shù)做出新的改進(jìn)性探索。由于本文討論的重點(diǎn)不在最優(yōu)投資組合有效前沿的確定上，所以本文將直接應(yīng)用Markowitz和Black-Litterman模型確定相應(yīng)的有效投資組合前沿，但不再使用基于Markowitz風(fēng)險(xiǎn)偏好假設(shè)描述投資者風(fēng)險(xiǎn)偏好的均值-方差效用函數(shù)，而是采用CVaR模型構(gòu)建非Markowitz風(fēng)險(xiǎn)偏好假設(shè)下的投資者風(fēng)險(xiǎn)偏好度量方法。借此，本文將進(jìn)一步利用無(wú)差異曲線和信用評(píng)級(jí)的思想，對(duì)投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好水平進(jìn)行等級(jí)劃分，進(jìn)而討論投資者在不同風(fēng)險(xiǎn)偏好等級(jí)下、以及不同金融市場(chǎng)間的最優(yōu)投資選擇情況。作為應(yīng)用，本文選取了我國(guó)的債券、股票、基金和商品期貨的指數(shù)數(shù)據(jù)，對(duì)我國(guó)四大金融投資領(lǐng)域的投資選擇問題進(jìn)行了實(shí)證研究，給出了基于非Markowitz風(fēng)險(xiǎn)偏好假設(shè)的不同風(fēng)險(xiǎn)偏好等級(jí)下最優(yōu)投資組合的確定方式。

二、 非Markowitz風(fēng)險(xiǎn)偏好的度量與分析

為了度量現(xiàn)實(shí)中非Markowitz風(fēng)險(xiǎn)偏好假設(shè)下個(gè)體投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好情況，張金清(2004)(21)張金清：《非風(fēng)險(xiǎn)偏好假設(shè)條件下的風(fēng)險(xiǎn)偏好與投資選擇研究》，《管理評(píng)論》2004年第12期。運(yùn)用了VaR方法考察。但根據(jù)Artzner et al.(1997,1999)(22)Artzner Philippe, “Thinking Coherently,” Risk 10 (1997): 68-71. Artzner Philippe, Delbaen Freddy, Eber Jean-Marc and Heath David, “Coherent Measures of Risk,” Mathematical Finance 9.3 (1999): 203-228.提出的風(fēng)險(xiǎn)度量方法評(píng)價(jià)理論，VaR方法存在著不滿足風(fēng)險(xiǎn)偏好一致性等缺陷。因此，本文將借鑒更完善的CVaR理論來(lái)度量非Markowitz風(fēng)險(xiǎn)偏好。

Jorion(1997)(23)Jorion Philippe, Value at Risk: The New Benchmark for Controlling Market Risk (Chicago: Irwin, 1997) 34.將VaR表示為：

P(Rp<-VaRα)1-α

(1)

其中，P代表概率測(cè)度，Rp代表資產(chǎn)或者投資組合在未來(lái)一定持有期內(nèi)的收益率，α為置信水平。當(dāng)Rp服從正態(tài)分布時(shí)，根據(jù)公式(1)可以得到：

VaRα=Φ-1(α)δp-E(Rp)

(2)

其中Φ(.)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)，δp是資產(chǎn)或組合的標(biāo)準(zhǔn)差，E(Rp)是資產(chǎn)或組合的期望收益率。

但是，根據(jù)Artzner et al.(1997,1999)，VaR并不滿足風(fēng)險(xiǎn)偏好的一致性，即不滿足投資組合風(fēng)險(xiǎn)可分散理論。因此，組合的VaR可能超過組合中各資產(chǎn)的VaR之和。此外，VaR也不滿足凸性。為了解決該問題，Rockafeller和Uryasev(2000)提出了CVaR(Conditional VaR，條件VaR)，也稱為平均超額損失，或尾部VaR。CVaR衡量了在一定置信水平α下的條件期望損失，具體可以表示為：

CVaRα=-E(Rp|Rp-VaRα)

(3)

由公式(3)可見，CVaR反映的是超額損失的平均水平，該指標(biāo)具有轉(zhuǎn)移不變性、正齊次、次可加性、單調(diào)性和凸性，是一致風(fēng)險(xiǎn)度量，見Pflug (2000)(24)Pflug Georg Ch, “Some Remarks on the Value-at-risk and the Conditional Value-at-risk,” Probabilistic Constrained Optimization, MA, 2000, 272 - 281.。而且，CVaR的定義保證了在相同置信度α下，CVaR總大于VaR；換句話說(shuō)，如果一個(gè)投資組合具有低CVaR，那么它的VaR也一定很低。因此，相對(duì)于VaR，CVaR更能對(duì)尾部風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行充分度量。

張金清(2004)指出，可以用VaR值的大小反映投資者在一定置信度α下對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的偏好或容忍。借此，本文也將CVaR視為風(fēng)險(xiǎn)容忍值，即在置信度α下投資者在未來(lái)特定的一段時(shí)間內(nèi)的平均超額損失，在下文中簡(jiǎn)記為v。風(fēng)險(xiǎn)容忍值越大，表明投資者愿意承擔(dān)更多的風(fēng)險(xiǎn)，對(duì)應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度也更低。另外，置信度1-α代表投資者所能容忍發(fā)生損失的最大可能性。在相同的v下，置信度α越大，投資者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡水平就越高。因此，本文用(α，v)共同刻畫投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好水平，應(yīng)該比單個(gè)指標(biāo)更能全面捕捉投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好信息。

三、 非Markowitz風(fēng)險(xiǎn)偏好水平的等級(jí)劃分及其最優(yōu)選擇

基于上一節(jié)給出的非Markowitz風(fēng)險(xiǎn)偏好水平的度量方法，本節(jié)將探討非Markowitz風(fēng)險(xiǎn)偏好水平的等級(jí)劃分問題。下文將風(fēng)險(xiǎn)偏好水平劃分為五個(gè)等級(jí)，并給出不同風(fēng)險(xiǎn)偏好等級(jí)下最優(yōu)投資組合的確定方式。

(一) 風(fēng)險(xiǎn)偏好水平(α, v)下的有效前沿組合

1. Markowitz偏好假設(shè)下的有效前沿組合

假設(shè)市場(chǎng)上有n種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，其收益率向量記為X=(X1,X2,…,Xn)T，投資組合向量為w=(w1,w2,…wn)T，兩資產(chǎn)收益率的協(xié)方差記為δij=cov(Xj,Xj)，i,j=1,…,n,其對(duì)應(yīng)的協(xié)方差矩陣為∑=(δij)n×n，期望收益率為E(Rp)，向量1=(1,…,1)T。由于本文并不對(duì)有效前沿部分進(jìn)行修改，所以根據(jù)Bodie等(1999)(25)Bodie Zvi, Alex Kane and Alan J. Marcus, Essentials of Investments (Boston: The McGrawHill Companies, 1999) 56.可以得到Markowitz模型的前沿投資組合

根據(jù)公式(4)可以得到風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的有效均值-方差曲線方程

由公式(6)可知，雙曲線的位置由最小方差組合決定，開口大小由Δ和b的比值決定。比值越大，開口幅度越大。進(jìn)一步，所有位于最小方差邊界且在最小方差組合上方的點(diǎn)即為有效前沿，它可以提供最優(yōu)的風(fēng)險(xiǎn)和收益組合，見Bodie等 (1999)。

2. Black-Litterman框架下的有效前沿組合

Black-Litterman模型是Markowitz模型的改進(jìn)版，基本思想是結(jié)合市場(chǎng)客觀收益與投資者的主觀觀點(diǎn)對(duì)原有的預(yù)期收益進(jìn)行修正。不過，Black-Litterman模型有效前沿的基本形式及圖形與Markowitz模型類似。但是在Black-Litterman框架下，公式(4)-(6)期望收益率E(Rp)和協(xié)方差∑分別修正為E(RBL)和∑BL，具體表達(dá)式為

E(RBL)=[(τ∑)-1+PTΨ-1P]-1×[(τ∑)-1Π+PTΨ-1Q](7)

∑BL=∑+[(τ∑)-1+PTΩ-1P]-1

(8)

其中，τ為估計(jì)偏差的程度，P為觀點(diǎn)權(quán)重矩陣，Ψ為觀點(diǎn)收益矩陣，Π為市場(chǎng)隱含收益率，Q為觀點(diǎn)向量，見Idzorek (2007)(26)Idzorek Thoma, “A Step-by-step Guide to the Black-Litterman Model: Incorporating User-specified Confidence Levels,” Forecasting Expected Returns in the Financial Markets (Academic Press, 2007) 17-38.。

同理，在后文中只需將E(Rp)、∑分別修正為E(RBL)、∑BL，即可得到Black-Litterman框架下的投資組合情況。為簡(jiǎn)便起見，這里不再贅述。

3. 上述兩種有效前沿組合的比較與分析

為了探究Black-Litterman方法和Markowitz方法有效前沿的區(qū)別，不失一般性，本文做出以下假定和說(shuō)明：第一，根據(jù)Black和Litterman(1992)最原始的闡述，該方法的重點(diǎn)是對(duì)預(yù)期收益進(jìn)行修正，并不涉及協(xié)方差。為此，下文在進(jìn)行有效前沿討論時(shí)將忽略協(xié)方差的估計(jì)誤差[(τ∑)-1+PTΩ-1P]。第二，根據(jù)Bessler和Wolff (2013)以及本文的實(shí)證結(jié)果，Black-Litterman方法下的資產(chǎn)收益會(huì)大于Markowitz方法下的資產(chǎn)收益。因此，本文假定E(RBL)大于E(Rp)。根據(jù)以上討論，相比于Markowitz方法，Black-Litterman方法下的a不變，d會(huì)變大，b和Δ的變動(dòng)不明。所以，相比于Markowitz的有效前沿，Black-Litterman方法的有效前沿會(huì)上移，但開口大小不確定。此外，當(dāng)協(xié)方差變大或預(yù)算約束變大時(shí)，Black-Litterman方法的有效前沿將會(huì)右移，這說(shuō)明不確定性會(huì)使雙曲線右移，見Walter (2007)。

4. 風(fēng)險(xiǎn)偏好水平(α, v)下有效投資組合和最優(yōu)選擇

在確定Markowitz方法和Black-Litterman方法的有效前沿后，下面將進(jìn)一步探討個(gè)人投資者風(fēng)險(xiǎn)偏好水平(α, v)的刻畫以及最優(yōu)投資選擇。本文借鑒了張金清(2004)中的方法：

假設(shè)投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好水平為(α, v)，根據(jù)Rockafeller和Uryasev(2000)，當(dāng)收益率服從正態(tài)分布時(shí)，公式(3)可以轉(zhuǎn)化為：

其中Φ(.)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)，f是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)。顯然，在風(fēng)險(xiǎn)偏好水平(α, v)下，投資者會(huì)選擇同時(shí)滿足有效前沿和公式(9)的投資組合。本文稱之為(α, v)下有效投資組合。在圖1中，點(diǎn)A和點(diǎn)C之間的弧線所對(duì)應(yīng)的是有效投資組合。而點(diǎn)B和點(diǎn)A之間的弧線滿足公式(9)，但卻不在有效前沿上，所以不是有效投資組合。另外，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)A重合或點(diǎn)B位于點(diǎn)A上方時(shí)，有效投資組合是點(diǎn)B和點(diǎn)C之間的弧線。同理，圖1中Black-Litterman模型的有效投資組合是弧線。顯然，所有有效投資組合中點(diǎn)C的投資組合的期望收益率最大，當(dāng)然對(duì)應(yīng)的方差也最大。在本文中，我們將期望收益率最大的有效投資組合稱為風(fēng)險(xiǎn)偏好水平(α, v)下的最優(yōu)投資組合。

圖1 非Markowitz風(fēng)險(xiǎn)偏好假設(shè)下最優(yōu)投資組合的確定

(二) 最優(yōu)投資組合的計(jì)算

在E(Rp)-δp中，置信度α下的風(fēng)險(xiǎn)容忍值為：

本文的重要特色就是利用CVaR模型替代傳統(tǒng)的效用函數(shù)，從而對(duì)個(gè)人投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好進(jìn)行刻畫，因此將公式(4)和(8)聯(lián)立就可以得到

根據(jù)一元二次方程的公式求解法，解的判定公式為

從公式(10)可知判定公式的成立取決于v和α的大小，具體地有以下三種情況：

第一，當(dāng)Ψ>0時(shí)，方程(11)有兩個(gè)解，反映在圖1中即直線L1與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)B和C，它們的期望收益率與方差方程為：

第三，當(dāng)Ψ<0時(shí)，方程(11)無(wú)解，此時(shí)直線與雙曲線不相交。這是由投資者風(fēng)險(xiǎn)厭惡水平過高，即風(fēng)險(xiǎn)容忍值v過小或者置信度α過大所導(dǎo)致的。

(三) 風(fēng)險(xiǎn)偏好水平(α, v)的等級(jí)劃分及不同風(fēng)險(xiǎn)偏好等級(jí)下的最優(yōu)投資組合

根據(jù)上文，此處同時(shí)用置信度α和風(fēng)險(xiǎn)容忍值v度量個(gè)人投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好水平，個(gè)人風(fēng)險(xiǎn)偏好水平(α, v)和組合標(biāo)準(zhǔn)差的關(guān)系由公式(14)所示。由于風(fēng)險(xiǎn)偏好水平由兩個(gè)變量同時(shí)確定，所以當(dāng)α和v取不同值時(shí)，我們無(wú)法直觀地判斷其風(fēng)險(xiǎn)偏好水平大小。例如，當(dāng)(α, v)分別取(0.99, 0.05)和(0.95, 0.01)時(shí)，無(wú)法直觀地判斷哪一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)偏好水平更高。為解決這個(gè)問題，本文采用無(wú)差異曲線進(jìn)行定量計(jì)算和等級(jí)劃分。無(wú)差異曲線的具體討論如下：

將公式(14)進(jìn)行變形，得到一個(gè)關(guān)于v的一元二次方程，進(jìn)而得到判別式：

上式含義為：在同一風(fēng)險(xiǎn)偏好水平下，風(fēng)險(xiǎn)容忍值和置信度的關(guān)系在v-α坐標(biāo)系里可以表示成兩條曲線。之所以存在兩條曲線或兩個(gè)解的原因是公式(11)存在兩個(gè)解，即直線(10)與最小方差邊界有兩個(gè)交點(diǎn)。但是如前文所述，我們只取位于有效前沿上的那個(gè)交點(diǎn)，即E(Rp)和δp較大的那個(gè)交點(diǎn)。因此，在這里我們也選取風(fēng)險(xiǎn)容忍值v較大的解。同理可得到只存在一個(gè)解時(shí)的無(wú)差異曲線。

公式(16)給出了不同v、α取值，但風(fēng)險(xiǎn)偏好水平(α, v)相同的度量方式。進(jìn)一步，我們將考慮如何對(duì)風(fēng)險(xiǎn)偏好水平(α, v)進(jìn)行等級(jí)劃分。本文參考了標(biāo)準(zhǔn)普爾和穆迪信用評(píng)級(jí)的思想，將風(fēng)險(xiǎn)偏好程度劃分為“極度風(fēng)險(xiǎn)厭惡”、“風(fēng)險(xiǎn)厭惡”、“風(fēng)險(xiǎn)中性”、“風(fēng)險(xiǎn)偏好”和“極度風(fēng)險(xiǎn)偏好”五個(gè)等級(jí)，并采用百分位數(shù)對(duì)風(fēng)險(xiǎn)偏好等級(jí)的閾值進(jìn)行劃分。上述五種風(fēng)險(xiǎn)偏好等級(jí)所對(duì)應(yīng)的值域依次為[0.00,0.05)、[0.05,0.35)、[0.35,0.65)、[0.65,0.95)和[0.95,1.00]。

概括起來(lái)，本文劃分風(fēng)險(xiǎn)偏好水平的步驟為：第一，求出所有風(fēng)險(xiǎn)偏好水平(α, v)下的組合標(biāo)準(zhǔn)差；第二，將風(fēng)險(xiǎn)偏好水平從小到大進(jìn)行排序，形成一個(gè)遞增序列；第三，根據(jù)不同風(fēng)險(xiǎn)偏好等級(jí)的百分位數(shù)對(duì)序列進(jìn)行劃分，確定每種風(fēng)險(xiǎn)偏好等級(jí)的閾值。

進(jìn)一步，我們要確定不同風(fēng)險(xiǎn)偏好等級(jí)下的最優(yōu)投資組合。由于每個(gè)等級(jí)下有無(wú)窮多個(gè)組合，而且收益和方差各不相同，僅進(jìn)行收益和方差的對(duì)比無(wú)法全面描述投資組合的優(yōu)劣。為此，本文采用夏普比率進(jìn)行比較，將在某一風(fēng)險(xiǎn)偏好等級(jí)下夏普比率最高的有效投資組合，作為投資者在該風(fēng)險(xiǎn)偏好等級(jí)下的最優(yōu)投資組合。

四、 基于上述方法對(duì)中國(guó)金融資產(chǎn)的投資決策分析

本節(jié)利用上文給出的非Markowitz風(fēng)險(xiǎn)偏好假設(shè)下的風(fēng)險(xiǎn)偏好度量、風(fēng)險(xiǎn)偏好等級(jí)劃分以及最優(yōu)投資組合的確定方法，對(duì)中國(guó)的股票、債券、基金和商品期貨市場(chǎng)進(jìn)行實(shí)證考察，討論不同風(fēng)險(xiǎn)偏好等級(jí)、不同模型下的投資組合特性。

(一) 數(shù)據(jù)的選擇和處理

本文選取了中國(guó)股票、債券、基金和商品期貨市場(chǎng)在2016年1月4日到2017年12月29日的指數(shù)數(shù)據(jù)作為研究對(duì)象，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率由中國(guó)三年期貸款利率數(shù)據(jù)計(jì)算而得。具體而言，我們選擇了滬深300指數(shù)、中證綜合債指數(shù)、上證基金指數(shù)和監(jiān)控中心商品期貨指數(shù)，分別代表中國(guó)的股票、債券、基金和商品期貨市場(chǎng)，資產(chǎn)收益率的平均值、標(biāo)準(zhǔn)差以及資產(chǎn)間的相關(guān)性情況如表1所示。從平均日收益率來(lái)看，商品期貨的收益率最高，為0.034%，債券和基金的收益率較低，分別為0.002%和0.007%。從標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)看，股票和商品期貨的波動(dòng)幅度最大。從相關(guān)性來(lái)看，基金和股票的相關(guān)性最高，為0.917，這是由于不少基金的主要投資對(duì)象是以股票為主，從而導(dǎo)致基金與股票之間存在著密切的聯(lián)系(胡倩，2006)(27)胡倩：《轉(zhuǎn)型經(jīng)濟(jì)中的證券投資基金績(jī)效研究》，《復(fù)旦學(xué)報(bào)》(社會(huì)科學(xué)版)2006年第3期。；而商品期貨和債券的相關(guān)性最低，為0.038；股票和債券的相關(guān)性也較低，為0.101。

表1 2016-2017年四類資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)-收益率以及相關(guān)性數(shù)據(jù)

數(shù)據(jù)來(lái)源：Wind數(shù)據(jù)庫(kù)

(二) 中國(guó)金融市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)偏好水平分析

根據(jù)第三節(jié)的方法，本文計(jì)算了Markowitz模型和Black-Litterman模型下五種風(fēng)險(xiǎn)偏好等級(jí)的閾值。在投資組合構(gòu)建方面，本文將僅包含股票和債券的組合作為傳統(tǒng)的投資組合，在此基礎(chǔ)上依次加入了基金、商品期貨和基金-商品期貨，以構(gòu)建三種新投資組合，并考察了新投資組合相對(duì)于傳統(tǒng)投資組合的變動(dòng)情況。經(jīng)過計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)：

第一，百分位數(shù)越高，對(duì)應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)偏好水平越高，組合標(biāo)準(zhǔn)差越大，且風(fēng)險(xiǎn)偏好等級(jí)閾值會(huì)呈大幅增長(zhǎng)。第二，除了極度風(fēng)險(xiǎn)厭惡態(tài)度以外，Black-Litterman模型在其他四種風(fēng)險(xiǎn)偏好等級(jí)下的風(fēng)險(xiǎn)偏好閾值均小于Markowitz模型下對(duì)應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)偏好閾值，這說(shuō)明在相同的風(fēng)險(xiǎn)偏好水平下，Black-Litterman模型的風(fēng)險(xiǎn)分散能力更強(qiáng)。第三，在Markowitz模型下，向傳統(tǒng)投資組合加入其他金融資產(chǎn)可以大幅降低組合的標(biāo)準(zhǔn)差，尤其是在風(fēng)險(xiǎn)極度厭惡時(shí)，分散效果最為顯著；但在Black-Litterman模型下，標(biāo)準(zhǔn)差的變動(dòng)幅度并不明顯。

上述結(jié)論表明，在進(jìn)行資產(chǎn)配置時(shí)，Black-Litterman模型的風(fēng)險(xiǎn)分散效果總體優(yōu)于Markowitz模型，尤其是在進(jìn)行高風(fēng)險(xiǎn)、高收益的資產(chǎn)配置，且投資者風(fēng)險(xiǎn)偏好程度較高的時(shí)候。此外，Markowitz模型對(duì)組合中的資產(chǎn)類型更為敏感，在組合中加入或減少某種資產(chǎn)，會(huì)導(dǎo)致組合標(biāo)準(zhǔn)差發(fā)生較大變化。

為了能全面、完整地展現(xiàn)不同風(fēng)險(xiǎn)偏好(α, v)下組合標(biāo)準(zhǔn)差的變動(dòng)情況，我們計(jì)算了所有α和v組合下基金-期貨組合的標(biāo)準(zhǔn)差，從中可以發(fā)現(xiàn)：

第一，置信度α越大，風(fēng)險(xiǎn)容忍值v越小，組合標(biāo)準(zhǔn)差越小，對(duì)應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)偏好水平就越低；反之，對(duì)應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)偏好水平越高。另外，在相同置信度下，隨著風(fēng)險(xiǎn)容忍值的增加，投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好等級(jí)會(huì)由極度風(fēng)險(xiǎn)厭惡變?yōu)闃O度風(fēng)險(xiǎn)偏好；而在相同風(fēng)險(xiǎn)容忍值下，置信度的改變不會(huì)對(duì)投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好等級(jí)產(chǎn)生顯著影響。這說(shuō)明置信度和風(fēng)險(xiǎn)容忍值對(duì)風(fēng)險(xiǎn)偏好水平都存在影響，但是影響程度不同，其中風(fēng)險(xiǎn)容忍值的影響更大。換句話說(shuō)，投資者更在乎實(shí)際損失率而非發(fā)生損失的最大可能性。對(duì)損失的容忍程度是判別投資者風(fēng)險(xiǎn)偏好等級(jí)的最重要因素。

第二，在Markowitz和Black-Litterman模型下，風(fēng)險(xiǎn)容忍值v分別在[0, 0.78]和[0, 0.86]區(qū)間內(nèi)，組合標(biāo)準(zhǔn)差的變動(dòng)較為穩(wěn)定，之后則呈加速、大幅增長(zhǎng)。這說(shuō)明當(dāng)投資者是風(fēng)險(xiǎn)厭惡或風(fēng)險(xiǎn)中性時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)偏好等級(jí)較為平穩(wěn)；而當(dāng)投資者是風(fēng)險(xiǎn)偏好時(shí)，投資行為會(huì)格外激進(jìn)，細(xì)微的損失變化會(huì)導(dǎo)致風(fēng)險(xiǎn)偏好等級(jí)產(chǎn)生劇變。因此，在進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)偏好等級(jí)劃分時(shí)，應(yīng)該對(duì)風(fēng)險(xiǎn)偏好進(jìn)行更為細(xì)致的分割。

第三，總體來(lái)說(shuō)，Black-Litterman模型下組合標(biāo)準(zhǔn)差的變動(dòng)更加平緩，尤其是在風(fēng)險(xiǎn)偏好程度較高的情況下，對(duì)組合風(fēng)險(xiǎn)分散的能力更強(qiáng)。這是由于在Black-Litterman模型中引入了投資者的主觀預(yù)期，并且利用逆優(yōu)化確定資產(chǎn)的隱含收益率，見Black和Litterman (1992)。正因如此，相比Markowitz模型不考慮投資者觀點(diǎn)、利用歷史數(shù)據(jù)簡(jiǎn)單平均計(jì)算預(yù)期收益率等特點(diǎn)，Black-Litterman模型對(duì)信息的利用更為充分，得到的結(jié)果也更為穩(wěn)健?？梢姡m然風(fēng)險(xiǎn)偏好投資者會(huì)在實(shí)際的金融活動(dòng)中面臨更多風(fēng)險(xiǎn)，但是只要他們對(duì)市場(chǎng)信息進(jìn)行有效、全面地把握，也可以得到較為穩(wěn)健的投資結(jié)果。

(三) 不同風(fēng)險(xiǎn)偏好等級(jí)下的無(wú)差異曲線對(duì)比

根據(jù)計(jì)算得到的風(fēng)險(xiǎn)偏好閾值，本文繪制了Markowitz模型下不同投資組合的無(wú)差異曲線，其中期貨組合和基金-期貨組合的無(wú)差異曲線幾乎一致，因此略去后者，具體見圖2。同時(shí)，本文還計(jì)算并繪制了基金-期貨組合下，Markowitz模型和Black-Litterman模型的無(wú)差異曲線對(duì)比，具體見圖3。由圖2和圖3可以清晰地發(fā)現(xiàn)：

數(shù)據(jù)來(lái)源：Wind數(shù)據(jù)庫(kù)，由作者整理計(jì)算。
圖2 Markowitz模型的風(fēng)險(xiǎn)偏好無(wú)差異曲線

數(shù)據(jù)來(lái)源：同圖2
圖3 基金-期貨組合的無(wú)差異曲線

第一，從曲線位置來(lái)看，圖中有四個(gè)曲線簇，由左至右分別代表閾值0.05、0.35、0.65和0.95下的無(wú)差異曲線簇。四個(gè)曲線簇將風(fēng)險(xiǎn)偏好(α, v)劃分為五個(gè)區(qū)間，對(duì)應(yīng)著五種風(fēng)險(xiǎn)偏好等級(jí)。在相同百分位數(shù)下，風(fēng)險(xiǎn)容忍值和置信度呈同向變化。換言之，具有某種風(fēng)險(xiǎn)偏好等級(jí)的投資者會(huì)在要求更低損失率的同時(shí)，承擔(dān)更大的風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生的可能性。此外，0.05和0.35兩處的無(wú)差異曲線呈現(xiàn)明顯的上凸，即當(dāng)置信度增加時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度會(huì)加速增長(zhǎng)；而0.65和0.95兩處的無(wú)差異曲線的曲率很小，甚至呈微小的下凸。這說(shuō)明對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)偏好型投資者而言，當(dāng)損失的發(fā)生可能性增加時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)偏好投資者會(huì)對(duì)損失率的變化更加敏感。

第二，從組合的資產(chǎn)配置角度來(lái)看，基金組合的無(wú)差異曲線總在傳統(tǒng)組合的上方，總體差別不大；而商品期貨組合只有在風(fēng)險(xiǎn)極度厭惡時(shí)，才在傳統(tǒng)組合的上方，其他風(fēng)險(xiǎn)偏好等級(jí)下都在傳統(tǒng)組合的下方，見圖2。這說(shuō)明對(duì)于高風(fēng)險(xiǎn)、高收益金融資產(chǎn)的投資者來(lái)說(shuō)，如果他是極度風(fēng)險(xiǎn)厭惡者，在相同情況下會(huì)要求更低的損失率和風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生的可能性；如果他是風(fēng)險(xiǎn)偏好或極度風(fēng)險(xiǎn)偏好者，會(huì)對(duì)損失率和發(fā)生損失的最大可能性抱有更開放的態(tài)度。這可能是因?yàn)轱L(fēng)險(xiǎn)厭惡投資者之所以會(huì)投資高風(fēng)險(xiǎn)收益的商品期貨，是因?yàn)樗c其他資產(chǎn)的相關(guān)性較小，可以起到更好的風(fēng)險(xiǎn)分散效果。而對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)偏好者來(lái)說(shuō)，他們更看重的是商品期貨的高收益。我們也利用Black-Litterman模型做了同樣的計(jì)算，但發(fā)現(xiàn)相同閾值下不同投資組合的無(wú)差異曲線幾乎重合，這也符合前文提出的Black-Litterman模型對(duì)不同組合的風(fēng)險(xiǎn)分散效果差別不大的結(jié)論。

第三，從模型的比較來(lái)看，只有當(dāng)百分?jǐn)?shù)為0.05時(shí)，Black-Litterman模型的無(wú)差異曲線位于Markowitz模型的下方，其余都位于Markowitz模型的上方，見圖3。通過圖3容易發(fā)現(xiàn)，極度風(fēng)險(xiǎn)厭惡和風(fēng)險(xiǎn)偏好的投資者選擇Black-Litterman模型，可以具有更多的選擇余地。由此可見，相比Markowitz模型來(lái)說(shuō)，融合更多市場(chǎng)信息的Black-Litterman模型在處理具有極端、激進(jìn)風(fēng)險(xiǎn)偏好等級(jí)的投資者時(shí)，具有較大優(yōu)勢(shì)。因此，風(fēng)險(xiǎn)偏好等級(jí)和信息的掌握程度都是影響資產(chǎn)配置效果的重要因素。

(四) 中國(guó)金融市場(chǎng)不同風(fēng)險(xiǎn)偏好等級(jí)下的最優(yōu)投資選擇

表2給出了不同風(fēng)險(xiǎn)偏好等級(jí)下夏普比率最高的投資組合，即最優(yōu)投資組合的情況。可以發(fā)現(xiàn)：第一，隨著風(fēng)險(xiǎn)偏好等級(jí)由極度風(fēng)險(xiǎn)厭惡轉(zhuǎn)變到極度風(fēng)險(xiǎn)偏好，最優(yōu)投資組合的夏普比率逐漸提高，風(fēng)險(xiǎn)偏好(α, v)中的置信度α逐漸降低，風(fēng)險(xiǎn)容忍值v總體呈增大趨勢(shì)。第二，當(dāng)投資者是極度風(fēng)險(xiǎn)偏好時(shí)，面臨的是幾乎100%的損失率和損失發(fā)生概率。與此同時(shí)，績(jī)效雖然會(huì)隨著風(fēng)險(xiǎn)偏好水平的提高而增加，但是增加速度卻在降低。不管增加的是絕對(duì)值還是相對(duì)值，當(dāng)投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好等級(jí)由風(fēng)險(xiǎn)厭惡變?yōu)轱L(fēng)險(xiǎn)中性時(shí)，獲得的績(jī)效增加是最大的，且這一特質(zhì)在Black-Litterman模型中更為明顯。第三，從不同策略對(duì)比上來(lái)看，在傳統(tǒng)投資組合和基金組合中，Black-Litterman模型的績(jī)效較好；而在期貨組合和基金-期貨組合中，Markowitz模型的績(jī)效較好。

表2 不同風(fēng)險(xiǎn)偏好等級(jí)下的最優(yōu)投資選擇

數(shù)據(jù)來(lái)源：Wind數(shù)據(jù)庫(kù)；

注：MV模型表示Markowitz模型，BL模型表示Black-Litterman模型，SR表示Sharp Ratio。

進(jìn)一步，本文計(jì)算了基金-期貨組合的最優(yōu)投資組合的權(quán)重，發(fā)現(xiàn)在Markowitz模型和Black-Litterman模型下的投資選擇差別很大：在Markowitz模型下，隨著風(fēng)險(xiǎn)偏好程度的增加，投資者傾向于做空收益較低的債券和單位風(fēng)險(xiǎn)所得超額收益較小的股票，同時(shí)大量買進(jìn)高風(fēng)險(xiǎn)-收益的商品期貨和單位風(fēng)險(xiǎn)所得超額收益較大的基金；而在Black-Litterman模型下，隨著風(fēng)險(xiǎn)偏好程度的增加，投資者傾向于賣空債券和基金，同時(shí)買進(jìn)股票和極為少量的商品期貨。

Markowitz模型和Black-Litterman模型的結(jié)果存在巨大差別的主要原因在于，兩個(gè)模型確定資產(chǎn)預(yù)期收益率的方法不同。Black-Litterman模型包含了更多的市場(chǎng)信息，相對(duì)于利用歷史數(shù)據(jù)的簡(jiǎn)單平均計(jì)算資產(chǎn)預(yù)期收益率的方法，Black-Litterman模型估計(jì)出的收益率更加穩(wěn)健。此外，Black-Litterman模型給出的結(jié)果，很大程度取決于主觀觀點(diǎn)的準(zhǔn)確性。因此，在實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)該根據(jù)預(yù)期目標(biāo)進(jìn)行模型選擇。

(五) 與Markowitz風(fēng)險(xiǎn)偏好假設(shè)下最優(yōu)投資組合的比較

本小節(jié)計(jì)算了Markowitz風(fēng)險(xiǎn)偏好假設(shè)下的最優(yōu)投資組合的收益率、標(biāo)準(zhǔn)差、夏普比率和組合權(quán)重。由表3可知，在Markowitz風(fēng)險(xiǎn)偏好假設(shè)下，Black-Litterman模型的組合績(jī)效總體好于Markowitz模型；從組合的標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)看，Markowitz模型和Black-Litterman模型下的最優(yōu)投資組合，分別處于本文劃分的極度風(fēng)險(xiǎn)厭惡和風(fēng)險(xiǎn)中性區(qū)域中。此外，本文還計(jì)算了組合權(quán)重，發(fā)現(xiàn)Markowitz模型下的投資者較為謹(jǐn)慎，幾乎全部投資于低風(fēng)險(xiǎn)-收益的債券，而Black-Litterman模型下投資者則主要投資于股票資產(chǎn)。

由前文所述，投資者效用函數(shù)的存在是有條件的，而且該條件在現(xiàn)實(shí)世界中很難實(shí)現(xiàn)。在不確定情況下，投資者的偏好關(guān)系也很難用效用函數(shù)表示。本節(jié)也給出并分析了Markowitz風(fēng)險(xiǎn)偏好假設(shè)下最優(yōu)投資組合的情況?？梢园l(fā)現(xiàn)，Markowitz風(fēng)險(xiǎn)偏好假設(shè)下的最優(yōu)投資組合按照本文判別方法來(lái)看也并不是最優(yōu)的。舉例來(lái)說(shuō)，Markowitz模型下債券-股票組合的標(biāo)準(zhǔn)差為0.0289，對(duì)應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)偏好等級(jí)為極度風(fēng)險(xiǎn)厭惡，而根據(jù)上節(jié)的計(jì)算，極度風(fēng)險(xiǎn)厭惡下的最優(yōu)投資組合績(jī)效為-0.0911，高于-0.2494。此外，在實(shí)際經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，有很多投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好等級(jí)是風(fēng)險(xiǎn)偏好的，那么在這種情況下采用Markowitz風(fēng)險(xiǎn)偏好假設(shè)下的投資組合策略顯然不合適，而且所得的組合績(jī)效也遠(yuǎn)小于非Markowitz風(fēng)險(xiǎn)偏好假設(shè)下的結(jié)果。

表3 Markowitz風(fēng)險(xiǎn)偏好假設(shè)下的最優(yōu)投資組合情況

數(shù)據(jù)來(lái)源：Wind數(shù)據(jù)庫(kù)。

五、 基本結(jié)論

目前，Markowitz投資組合理論仍是金融投資領(lǐng)域的主流方法，其他較為成熟或者實(shí)務(wù)中常用的方法皆是Markowitz模型的改進(jìn)和延伸，例如Black-Litterman方法、Mean-VaR方法等。值得注意的是，Markowitz理論及其擴(kuò)展大多基于傳統(tǒng)理性，即本文所言的Markowitz風(fēng)險(xiǎn)偏好假設(shè)，而該風(fēng)險(xiǎn)偏好假設(shè)在實(shí)際經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中很難實(shí)現(xiàn)。為此，本文在保留Markowitz方法和Black-Litterman方法計(jì)算有效前沿組合的基礎(chǔ)上，放棄了基于Markowitz風(fēng)險(xiǎn)偏好假設(shè)、在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中難以準(zhǔn)確把握的均值-方差效用函數(shù)的確定方法，而是借鑒一致性風(fēng)險(xiǎn)度量CVaR，構(gòu)建了一種新的投資者風(fēng)險(xiǎn)偏好的度量方法，即非Markowitz風(fēng)險(xiǎn)偏好的度量方法。

同時(shí)，本文還提供了投資者風(fēng)險(xiǎn)偏好無(wú)差異曲線的求解過程，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了風(fēng)險(xiǎn)偏好水平的劃分，給出了包括“極度風(fēng)險(xiǎn)厭惡”、“風(fēng)險(xiǎn)厭惡”、“風(fēng)險(xiǎn)中性”、“風(fēng)險(xiǎn)偏好”和“極度風(fēng)險(xiǎn)偏好”在內(nèi)的五個(gè)風(fēng)險(xiǎn)偏好等級(jí)。最后，本文提出了不同風(fēng)險(xiǎn)偏好等級(jí)下最優(yōu)投資選擇的確定方法。在實(shí)證部分，本文利用我國(guó)四大金融市場(chǎng)的指數(shù)數(shù)據(jù)進(jìn)行了全面系統(tǒng)的研究和對(duì)比，通過在傳統(tǒng)的債券-股票組合中依次加入基金、商品期貨和基金-商品期貨，得到以下主要結(jié)論：

第一，在風(fēng)險(xiǎn)偏好的性質(zhì)方面，置信度α越大，風(fēng)險(xiǎn)容忍值v越小，組合標(biāo)準(zhǔn)差就越小，對(duì)應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)偏好水平就越低；反之，則對(duì)應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)偏好水平越高。在敏感度方面，置信度和風(fēng)險(xiǎn)容忍值都對(duì)風(fēng)險(xiǎn)偏好水平存在影響，其中投資者對(duì)損失率的敏感程度更高。當(dāng)投資者風(fēng)險(xiǎn)偏好水平較高時(shí)，細(xì)微的損失波動(dòng)都會(huì)導(dǎo)致風(fēng)險(xiǎn)偏好等級(jí)發(fā)生較大改變。這里需要注意的是，本文重在給出風(fēng)險(xiǎn)偏好劃分的一般思路、方法，并具有示范性，在實(shí)務(wù)中還可以根據(jù)需要，按照上述方法對(duì)風(fēng)險(xiǎn)偏好進(jìn)行更加細(xì)致的劃分。

第二，在方法方面，相對(duì)于Markowitz方法，Black-Litterman方法對(duì)組合中的資產(chǎn)類型的敏感度較低，風(fēng)險(xiǎn)分散能力更強(qiáng)。此外，當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)容忍值在[0, 0.86]區(qū)間內(nèi)，Black-Litterman方法組合標(biāo)準(zhǔn)差的變動(dòng)較為平穩(wěn)，而Markowitz方法的穩(wěn)定區(qū)間較小，為[0, 0.78]。產(chǎn)生以上差異的原因是：在采用Black-Litterman方法進(jìn)行資產(chǎn)配置時(shí)，需要同時(shí)考慮歷史數(shù)據(jù)和投資者的主觀觀點(diǎn)，從而在處理投資組合配置問題時(shí)，可以得到更穩(wěn)健的結(jié)果。從績(jī)效上來(lái)看，Black-Litterman方法應(yīng)用于傳統(tǒng)投資組合和基金組合的績(jī)效較好；而Markowitz方法應(yīng)用于期貨組合和基金-期貨組合的績(jī)效較好。

第三，在兩種假設(shè)對(duì)比方面有如下結(jié)論：首先，Markowitz風(fēng)險(xiǎn)偏好假設(shè)在現(xiàn)實(shí)世界中難以實(shí)現(xiàn)，而且在不確定情況下，投資者的偏好關(guān)系也很難用效用函數(shù)表示。其次，由上述實(shí)證結(jié)果可知，非Markowitz風(fēng)險(xiǎn)偏好假設(shè)下的投資組合績(jī)效明顯優(yōu)于Markowitz風(fēng)險(xiǎn)偏好假設(shè)下的投資組合績(jī)效。因此，本文提出的非Markowitz風(fēng)險(xiǎn)偏好假設(shè)下的投資組合模型，不僅在理論上更符合現(xiàn)實(shí)世界中投資者的個(gè)人選擇，在具體應(yīng)用中也可以得到更優(yōu)的風(fēng)險(xiǎn)-收益結(jié)果。