乘性噪聲環(huán)境和非理想二值信道下的1比特魯棒參數(shù)估計*

李子愚,劉兆霆,姚英彪

(杭州電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院,杭州 310000)

無線傳感器網(wǎng)絡(luò)[1-4](Wireless Sensor Networks,WSNs)通常是由大量分布在一定空間范圍內(nèi)微型的、集成的和低功耗的無線傳感器節(jié)點組成,具有感知網(wǎng)絡(luò)周圍的環(huán)境信息,并進行采集、傳輸和處理等能力。隨著WSNs理論和技術(shù)的快速發(fā)展,其在軍事國防、工農(nóng)業(yè)控制、醫(yī)療健康監(jiān)控[2-4]等領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景。

在傳感器網(wǎng)絡(luò)參數(shù)估計[5-8]問題中,局部傳感器節(jié)點發(fā)送數(shù)據(jù)到融合中心(Fusion Center,FC),FC根據(jù)接收到的數(shù)據(jù)對未知參數(shù)進行估計。一般情況下,考慮到網(wǎng)絡(luò)使用成本等因素,構(gòu)成WSNs的無線傳感器節(jié)點的能量存儲[4,9]、計算和通信能力[10-12]都極為有限。節(jié)點的能量耗盡,往往意味著該節(jié)點生命的終結(jié),導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涓淖兒途W(wǎng)絡(luò)功能的下降。在實際情況中,將各個節(jié)點的采樣信號直接傳輸?shù)紽C將導(dǎo)致較多的能量消耗和較大的網(wǎng)絡(luò)通信負(fù)載。若將每個傳感器節(jié)點的采樣信號壓縮為1比特[11,13-14]信息值后再傳輸,則可以在很大程度上降低能量消耗和減輕通信負(fù)載。因此,目前國內(nèi)外基于WSNs 1比特信息值的信號檢測和參數(shù)估計問題得到了較大的關(guān)注。例如,Ribeiro考慮了在不同的噪聲觀測模型下,基于極大似然估計方法研究了最優(yōu)分布量化估計問題[11-12],并發(fā)現(xiàn)其量化極大似然估計器與未量化最優(yōu)估計器的均方誤差只相差常數(shù)倍。Chen研究了局部傳感器節(jié)點在1比特量化方案相同的情況下的分布式估計問題[13],在估計信號范圍已知的條件下,獲得了系統(tǒng)性能的約束條件。Fang采用了非規(guī)則量化器結(jié)構(gòu)并提出了1比特自適應(yīng)估計算法[14],與固定量化閾值方法相比其估計性能有了明顯的提升。文獻[15]中,作者提出了一種基于1比特量化信息值的自適應(yīng)遞歸最小二乘參數(shù)估計算法,該算法能夠獲得與基于未量化信息值的經(jīng)典遞歸最小二乘算法相近的估計精度。

雖然上述方法都有各自的優(yōu)點,但通常都只是考慮加性噪聲,很少有考慮乘性噪聲[16-18]的情況。而事實上乘性噪聲在實際當(dāng)中是經(jīng)常出現(xiàn)的(如多徑信道)。文獻[16]中雖然提出了一種基于乘性高斯噪聲環(huán)境下1比特量化參數(shù)估計算法,但當(dāng)量化閾值偏離最優(yōu)閾值時,可能會出現(xiàn)不好的估計結(jié)果。并且,上述算法假定傳感器節(jié)點與融合中心之間的二值信道是理想的;但實際上,傳感器節(jié)點與融合中心之間的二值信道[19-21]同樣容易受到隨機噪聲干擾,導(dǎo)致某些比特值出現(xiàn)反向,例如,某節(jié)點發(fā)送 +1,融合中心錯誤地收到并誤認(rèn)為是-1。

值得注意的是,在乘性噪聲環(huán)境下,基于非理想二值信道的1比特量化信息值的參數(shù)估計算法很少有報道。針對此問題,本文結(jié)合文獻[16,20],首先針對理想二值信道,提出了一種基于期望最大(Expectation Maximization,EM)的參數(shù)估計算法,然后進一步地針對非理想二值信道,提出了一種基于EM的1比特魯棒(One-Bit Robust Expectation Maximization,OBR-EM)參數(shù)估計算法。同時分析了參數(shù)估計的克拉美羅下界(Cramér-Rao Lower Bound,CRLB),通過一系列仿真實驗,驗證了所提算法的有效性。

圖1 基于二值信道下傳感器網(wǎng)絡(luò)1比特量化信息值參數(shù)估計模型

1 信號模型

考慮一個WSNs,如圖1所示。該網(wǎng)絡(luò)是由K個獨立的無線傳感器節(jié)點構(gòu)成的,每個節(jié)點能夠與一個共同的FC進行通信和數(shù)據(jù)傳輸,以實現(xiàn)對未知參數(shù)θ的估計。正如前面所述,為了降低節(jié)點的能量消耗和網(wǎng)絡(luò)通信負(fù)載,每個傳感器節(jié)點不是直接把采樣信號值xk傳輸給FC,而是發(fā)送該采樣信號的1比特信息值yk。

假設(shè)每個節(jié)點k獲得的原始采樣信號值xk可表示為

xk=hkθ+vk,k=1,2,…,K

(1)

xk=(1+ek)θ+vk

(2)

xk=θ+zk

(3)

為了獲得1比特信息值yk,讓傳感器節(jié)點在獲得采樣信號值xk后,將其與一門限值τ進行比較,從而產(chǎn)生

(4)

(5)

式中:εk∈{1,-1}表示二值干擾噪聲,并且εk=-1(存在干擾)的差錯概率假設(shè)為μ,即p(εk=-1)=μ。

2 基于EM算法的量化估計

2.1 基于采樣信號的MLE算法

(6)

(7)

2.2 基于1比特量化信息值理想二值信道)的EM算法

(8)

(9)

(10)

引理1給定一個具有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機變量v和一個常數(shù)a,v和v2的條件期望滿足:

類似地,若yk=-1,那么xk<τ,等價于zk/δz<(τ-θ)/δz。因此結(jié)合引理可以得到

(11)

(12)

因此,根據(jù)定義,可以獲得

(13)

2.3 基于1比特量化信息值非理想二值信道)的魯棒EM算法

2.3.1 算法推導(dǎo)

(14)

從而類似于式(9)可以得到

(15)

(16)

類似地,可以得到

(17)

將式(11)、(12)和(17)代入到式(16),可以得到

令

(18)

(19)

2.3.2 克拉美羅下界

(20)

p(εk=1;θ)p(yk=1;θ)+p(εk=-1;θ)p(yk=-1;θ)=

(1-μ)p(yk=1;θ)+μp(yk=-1;θ)=

(1-μ)p(yk=1;θ)+μ(1-p(yk=1;θ))=

μ+(1-2μ)p(yk=1;θ)

(21)

由此,對應(yīng)的log似然函數(shù)有

(22)

對式(22)中θ取二階偏導(dǎo)數(shù),可以得到

(23)

(24)

式中

3 性能仿真分析

如圖2所示,描述了在不同的二值信道差錯概率下,克拉美羅下界與信道容量C之間的關(guān)系,其中信道容量定義為C=1-H(μ,1-μ)?？梢院苊黠@的看到,CRLB與信道容量關(guān)于差錯概率是對稱的,當(dāng)二值信道差錯概率μ在0.4與0.6之間變化時,其對應(yīng)的CRLB較大,而信道容量較小;當(dāng)μ=0或μ=1時,該二值信道均可視為理想二值信道,此時信道容量達(dá)到最大,而CRLB達(dá)到最小。

θ0=1,τ圖2 克拉美羅下界與信道容量的關(guān)系

圖3 乘性噪聲和加性噪聲對克拉美羅下界的影響

圖3所示的是加性噪聲方差和乘性噪聲方差對克拉美羅下界的影響。從圖中可以看出,當(dāng)增大加性噪聲方差或乘性噪聲方差時,對應(yīng)的CRLB均增大;同時,如果固定噪聲方差,增大差錯概率,對應(yīng)的CRLB也會增大。這也與實際相符合,當(dāng)傳感器所處的環(huán)境較為惡劣時,是不利于估計的。并且,如果當(dāng)噪聲方差小于0.5時,CRLB在乘性噪聲方差變化下對信道差錯概率更為敏感。

下面進一步研究信道差錯概率與噪聲對估計性能的影響,使用均方差來衡量估計性能,以下實驗均是通過1 500次獨立實驗平均得到。

圖4 傳感器數(shù)量和差錯概率對估計性能的影響

圖6 傳感器數(shù)量和乘性噪聲對估計性能的影響

圖5 傳感器數(shù)量和加性噪聲對估計性能的影響

4 總結(jié)

本文充分考慮了乘性噪聲環(huán)境與傳感器節(jié)點和FC之間的二值信道對參數(shù)估計的影響,首先針對理想二值信道,提出了一種基于期望最大(EM)的參數(shù)估計算法,然后進一步針對非理想二值信道,提出了一種OBR-EM算法。為了驗證算法的估計性能,分析了對應(yīng)的CRLB。通過實驗仿真結(jié)果表明,CRLB和信道容量都是差錯概率的函數(shù)。當(dāng)傳感器數(shù)量K增加時,所提出的OBR-EM算法估計性能可以單調(diào)地趨向于其對應(yīng)的CRLB,從而說明估計值的可靠性。另外結(jié)果也說明了,在理想信道下,當(dāng)量化閾值偏離最優(yōu)閾值時,所提出的OBR-EM算法具有明顯的魯棒性。