基于雅可比旋量的并聯(lián)配合特征三維公差分析方法及其應(yīng)用

熊 峰，李剛炎，王平俊，劉思睿

(武漢理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，武漢 430070)

0 引言

機(jī)械產(chǎn)品在裝配過程中,零件誤差會積累形成裝配誤差,從而影響產(chǎn)品的性能。隨著機(jī)械制造精度以及對產(chǎn)品性能要求的提高，產(chǎn)品的公差分析已經(jīng)成為提升產(chǎn)品性能的重要方法之一。對于傳統(tǒng)的以二維為基礎(chǔ)，通過傳統(tǒng)的尺寸鏈計算分析方法進(jìn)行設(shè)計的線性尺寸公差分析已經(jīng)不能適應(yīng)現(xiàn)代產(chǎn)品設(shè)計的要求，公差分析逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)橐匀S為基礎(chǔ)的復(fù)雜產(chǎn)品的裝配公差分析，同時公差分析的精度也不斷提高。三維公差分析方法是通過描述剛體的某些特征在三維空間的公差域變動，和裝配體各零部件之間的裝配關(guān)系與結(jié)合面特征，來表示裝配體的三維裝配公差。

目前，對于三維公差分析，國內(nèi)外相關(guān)領(lǐng)域?qū)W者已經(jīng)提出了諸多分析方法，基于三維幾何的公差分析模型主要有：文獻(xiàn)[1]采用小位移旋量分析裝配中的結(jié)合面誤差，提出JSS矩陣方法，分析裝配誤差分量的傳遞路徑，結(jié)合雅可比矩陣，建立了齒輪泵裝配誤差模型，驗證該方法準(zhǔn)確性；文獻(xiàn)[2]運(yùn)用小位移旋量表達(dá)幾何要素在公差域內(nèi)的變動，結(jié)合齊次坐標(biāo)變換傳遞裝配誤差，并計算封閉環(huán)的相對于全局坐標(biāo)系的變動，根據(jù)實例分析，驗證了該方法的可行性；文獻(xiàn)[3]分析了多種二維和三維公差分析方法，結(jié)合實例描述了各方法的特點，總結(jié)了三維公差分析方法的優(yōu)勢；文獻(xiàn)[4]以齒輪泵體為例，運(yùn)用雅可比旋量建立了裝配體公差數(shù)學(xué)模型，分析實際工況對產(chǎn)品性能及公差設(shè)計的影響；文獻(xiàn)[5]介紹了三維公差分析方法T-Map，并結(jié)合該方法進(jìn)行實例分析，驗證了該方法的實用性；文獻(xiàn)[6]比較了現(xiàn)有的多種三維公差分析方法，結(jié)合實例分析，對比了各方法的分析結(jié)果；文獻(xiàn)[7]運(yùn)用雅可比旋量建立某裝配體的裝配公差模型，并對其進(jìn)行了公差的優(yōu)化分配。

上述研究提出的三維公差分析方法可較好的解決裝配中的誤差分析問題，但對于多配合面誤差傳遞則無法準(zhǔn)確表達(dá)。本文針對常見的多配合面裝配關(guān)系，結(jié)合雅可比旋量模型將尺寸公差與形位公差統(tǒng)一于一個裝配模型中，建立了并聯(lián)配合特征的旋量表達(dá)，分析并聯(lián)配合特征在多配合面裝配關(guān)系中對裝配誤差的影響，并以某型三缸發(fā)動機(jī)平衡軸系統(tǒng)配重塊為例進(jìn)行三維裝配公差分析。

1 裝配公差分析中的雅可比旋量模型

雅可比旋量模型是擅長公差傳遞的雅可比矩陣和擅長三維公差表達(dá)的旋量模型的結(jié)合。雅可比矩陣最早用于機(jī)器人領(lǐng)域，隨后被引入公差分析領(lǐng)域中，是將公差域的變動假想為機(jī)器人關(guān)節(jié)的運(yùn)動，運(yùn)用雅可比矩陣傳遞裝配體的裝配誤差。在雅可比矩陣中，一般將裝配體中的各項公差分為功能要求副(functional requirement,FR)和功能單元副(functional element,FE)。功能要求副即為裝配體中的關(guān)鍵值，如封閉環(huán)數(shù)值。FE指各參與裝配零部件的相關(guān)公差，一般根據(jù)其是否屬于參與配合的結(jié)合面分為內(nèi)部功能單元副(internal FE,IFE)和接觸功能單元副(contact FE,CFE)。

旋量法也稱小位移旋量法，是一種運(yùn)用運(yùn)動旋量來表達(dá)公差變動域的公差分析方法[8]，α、β、γ分別表示繞x、y、z軸旋轉(zhuǎn)的微小變動量，u、v、w分別表示沿x、y、z軸平動的微小變動量，通過這6個矢量的變化，表示剛體的幾何特征在三維空間中的微小變動,見圖1。

圖1 空間變動量示意圖

雅可比旋量結(jié)合雅可比矩陣法與旋量法，用于公差分析的傳遞模型可表達(dá)為：

(1)

其中，[JFEi]表示各關(guān)節(jié)對應(yīng)的雅可比矩陣，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

(2)

2 裝配并聯(lián)配合特征及其三維公差表達(dá)

2.1 典型配合特征三維公差的旋量表達(dá)

常見的產(chǎn)品裝配中，配合特征多為平面配合或軸孔之間的配合，即平面特征與柱面特征，如圖2所示。

(a) 平面特征 (b) 柱面特征 圖2 典型配合特征

2.1.1 裝配中的平面特征

2.1.2 裝配中的柱面特征

2.2 機(jī)械裝配中的并聯(lián)配合特征

現(xiàn)代復(fù)雜產(chǎn)品的裝配中，裝配結(jié)合面之間一般會有多個參與裝配的特征，將這樣的結(jié)構(gòu)稱為并聯(lián)配合結(jié)構(gòu)。具有多個配合特征的配合結(jié)構(gòu)將會傳遞多個配合特征，包含多個配合特征信息，因此該配合特征不能簡單地用一個對結(jié)合面的配合來描述。在雅可比旋量模型中，對于這種配合結(jié)構(gòu)，往往會做簡化處理，則只能描述其中某一特征，而忽略其中的一部分公差信息，在公差累積中，導(dǎo)致模型建立出現(xiàn)偏差，計算結(jié)果不能表達(dá)完整的裝配公差信息。并聯(lián)配合特征見圖3。

圖3 并聯(lián)配合特征

一個并聯(lián)組合配合結(jié)構(gòu)常包含多個配合特征，多個配合特征之間相互影響，使得并聯(lián)組合配合結(jié)構(gòu)的誤差旋量表達(dá)較為復(fù)雜。分析并聯(lián)組合配合結(jié)構(gòu)的實際誤差旋量表達(dá)時，應(yīng)充分考慮各配合特征間的相互作用對組合配合面誤差旋量表達(dá)的影響，從而獲得各并聯(lián)配合特征的實際誤差旋量。若不同配合特征誤差旋量的交集不為空，則表示這些配合特征在某誤差分量方向上存在重復(fù)的約束作用。對于可傳遞同一誤差分量的不同配合特征而言，當(dāng)其中一個配合特征完成了該誤差分量方向上的裝配后，其他配合特征在該方向上的裝配將受到影響，導(dǎo)致原有的誤差旋量發(fā)生改變。

2.3 機(jī)械裝配并聯(lián)配合特征三維公差表達(dá)

如圖4包含了兩組配合特征，即軸-孔間隙配合和兩端面的配合，稱為并聯(lián)配合特征。軸-孔間隙配合具有4個自由度，即沿x、y軸的小位移移動up，vp和繞x、y軸的小位移轉(zhuǎn)動αp、βp，平面貼合具有3個自由度，分別為沿z軸的小位移移動wc和繞x、y軸的小位移轉(zhuǎn)動αc、βc。

圖4 并聯(lián)配合特征

軸-孔間隙配合的小位移移動up，vp和平面貼合的小位移wc是不同方向的約束，因此三者之間沒有互相影響。用于表示并聯(lián)配合特征的新旋量T中的3個位移矢量變動范圍即為上述3個矢量的變動域。根據(jù)圓柱特征和平面特征的旋量表達(dá)式可看出，兩特征對于x、y軸小位移轉(zhuǎn)動矢量具有重復(fù)約束。如圖4所示的并聯(lián)配合特征，若平面特征的小位移轉(zhuǎn)動大于圓柱特征的小位移轉(zhuǎn)動則裝配不會受到影響，反之，裝配則不能成功。因此，新旋量轉(zhuǎn)動矢量的變動范圍應(yīng)該為兩旋量相應(yīng)矢量的交集。因此，新旋量中各矢量的變動范圍如式(3)：

T=[Vu1∪Vu2Vv1∪Vv2Vw1∪Vw2Vα1∪Vα2Vδ1∪Vδ2Vγ1∪Vγ2]T

(3)

3 實例計算

3.1 計算方法

在雅可比旋量模型分析三維公差時，用合適的旋量來表達(dá)并聯(lián)配合特征是公差分析的關(guān)鍵所在。根據(jù)以上分析，可得到帶并聯(lián)配合特征的雅克比旋量模型的分析計算流程，如圖5所示。

圖5 雅可比矩陣模型分析計算流程

圖6為某型三缸發(fā)動機(jī)平衡軸系統(tǒng)，采用單軸平衡機(jī)構(gòu)平衡往復(fù)慣性力矩，實現(xiàn)平衡功能的關(guān)鍵是位于平衡軸兩端的配重塊隨平衡軸同步轉(zhuǎn)動，使曲軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的不平衡力矩與平衡軸系統(tǒng)產(chǎn)生的不平衡力矩相互抵消。平衡軸系統(tǒng)通過配重形成一個與發(fā)動機(jī)往復(fù)慣性力矩相反的慣性力矩，減小發(fā)動機(jī)的振動，配重塊A、B的裝配位姿將對平衡軸系統(tǒng)提供的往復(fù)慣性力矩有直接的影響，系統(tǒng)的功能要求(FR)是配重塊相對于全局坐標(biāo)系的公差累積，因此分析配重塊的功能要求對平衡軸系統(tǒng)的性能分析至關(guān)重要。

圖6 某型三缸發(fā)動機(jī)平衡軸系統(tǒng)

(1)分析裝配關(guān)系。某型三缸發(fā)動機(jī)平衡軸系統(tǒng)包含軸、配重塊A、B、軸承、齒輪、端面緊固螺栓等零件，圖7所示為軸承、齒輪、配重塊A的裝配關(guān)系，由上分析可知，軸承、齒輪、配重塊A、B均在裝配過程中與相關(guān)部件形成并聯(lián)配合特征。

圖7 各零部件裝配關(guān)系圖

(2)建立裝配連接關(guān)系圖。如圖8所示，圖中IFE1表示軸的內(nèi)部功能特征，CFE1表示軸承與軸平面配合特征，PFE1表示軸承與軸的軸-孔間隙配合特征；CFE2表示軸承與齒輪的平面配合特征，PFE2表示齒輪與軸的軸-孔間隙配合特征；CFE3表示齒輪與配重塊A的平面配合特征，PFE3表示配重塊A與軸的軸-孔間隙配合特征。

圖8 系統(tǒng)裝配連接關(guān)系圖

根據(jù)系統(tǒng)的并聯(lián)配合特征分析，則系統(tǒng)裝配連接關(guān)系圖如圖9所示。

圖9 系統(tǒng)并聯(lián)配合特征裝配連接關(guān)系圖

將原裝配連接關(guān)系圖中的配合特征轉(zhuǎn)化為并聯(lián)配合特征，并聯(lián)配合特征CFE1′表示原平面配合特征CFE1與孔軸配合特征PFE1的合成；CFE2′表示原平面配合特征CFE2與孔軸配合特征PFE2的合成；CFE3′表示原平面配合特征CFE3與孔軸配合特征PFE3的合成；CFE4′表示原平面配合特征CFE4與孔軸配合特征PFE4的合成。

則形成傳遞路徑IFE1-CFE1′-CFE2′-CFE3′-FRA，IFE2-CFE4′-FRB。

(3)建立各特征的雅可比矩陣。由式2可得系統(tǒng)中各特征的雅可比矩陣為：

(4)

根據(jù)各局部坐標(biāo)系的空間位置關(guān)系，可得dz(IFE1)=40,dz(CFE1′)=34,dz(CFE2′)=12,其余項均為零。

圖為與FRA相關(guān)的各零件設(shè)計公差圖，圖中信息包含各項尺寸公差與形位公差。

(a) 球軸承 (b) 齒輪 (c) 配重塊 圖10 零件設(shè)計公差圖

全局坐標(biāo)系到軸與定位端面的旋量TIFE1的3個矢量變動范圍為：

根據(jù)上述分析，軸承、齒輪、配重塊A的安裝既有平面貼合又有孔軸間隙配合，形成并聯(lián)配合特征，各并聯(lián)配合特征的矢量變動范圍為：

3.2 驗證

(1)采用極值法進(jìn)行計算驗證。FR的6個矢量的公差累積范圍。

(2)蒙特卡洛仿真計算驗證。蒙特卡洛模擬是一種通過產(chǎn)生大批量的隨機(jī)數(shù)來模擬實際情況的方法，而特征在公差域內(nèi)的變動也是大批量隨機(jī)的，因此蒙特卡洛法可以描述公差分析中各旋量的隨機(jī)變動，見圖11。

(a)α模擬分布 (b)β模擬分布 (c)w模擬分布 圖11 α、β、w誤差統(tǒng)計分布圖

通過 Matlab 編程計算，通過生成隨機(jī)數(shù)的方式表達(dá)各特征在公差域內(nèi)的隨機(jī)變動。進(jìn)行10000次模擬，得出α、β、w的誤差統(tǒng)計分布圖，如圖12所示。

結(jié)果對比。對于只考慮尺寸公差的傳統(tǒng)線性尺寸鏈可運(yùn)用極值法得到配重塊A 的u、v、w尺寸公差。傳統(tǒng)的雅可比旋量模型只考慮平面配合特征公差傳遞路徑，忽略了軸-孔配合特征公差，可得到配重塊A的α、β、w極值法和統(tǒng)計法的計算結(jié)果。

只考慮線性尺寸公差的線性尺寸鏈可以得到極值法的計算結(jié)果：

{-0.025≤u≤0.025-0.025≤v≤0.025-0.82≤w≤0.7}

簡化并聯(lián)配合特征的雅可比旋量模型極值法計算結(jié)果：

{-1.4885≤u≤1.3689-0.201≤α≤0.201

-0.201≤β≤0.201}

從表1可以看出，在實際裝配中由于形位公差的存在，軸孔之間的實際接觸位置具有不確定性，運(yùn)用雅可比旋量模型計算出的變化范圍比尺寸鏈極值法的范圍更大，相對于尺寸鏈極值法來說更真實反映了裝配的不確定性。而對并聯(lián)配合特征作了簡化的傳統(tǒng)雅可比旋量法，導(dǎo)致公差分析結(jié)果不夠準(zhǔn)確且缺少部分公差信息。

表1 三種公差分析方法結(jié)果對比

4 結(jié)論

本文采用雅可比旋量理論進(jìn)行了三維公差分析，分析了裝配體中常見的復(fù)雜裝配結(jié)構(gòu)。運(yùn)用基于雅可比旋量模型的并聯(lián)配合特征三維公差分析方法，建立了考慮尺寸公差與形位公差影響的裝配公差三維分析模型。運(yùn)用蒙特卡羅模擬，在公差域內(nèi)隨機(jī)取值，模擬配合面特征的誤差變動，進(jìn)行裝配公差累積分析。建立了基于雅可比旋量裝配并聯(lián)配合特征的三缸發(fā)動機(jī)平衡軸系統(tǒng)配重塊裝配公差分析模型。根據(jù)對比分析可知，所得出的結(jié)果比線性尺寸鏈的分析結(jié)果更為全面，比簡化的雅可比旋量法分析結(jié)果更為準(zhǔn)確，更加真實反映了零部件配合面加工的隨機(jī)性以及零件裝配的實際空間位姿情況，更符合工程應(yīng)用實際。