含磁電彈夾層的壓電/壓磁層合納米梁彎曲的研究

朱炳任， 劉世倫， 陳紅遷

(1. 陸軍裝甲兵學(xué)院車輛工程系， 北京 100072； 2. 陸軍裝甲兵學(xué)院裝備保障與再制造系， 北京 100072)

壓電和壓磁材料及其復(fù)合結(jié)構(gòu)因具有優(yōu)越的力磁和力電耦合性能被廣泛應(yīng)用于便攜電子設(shè)備的制造中[1]。與其他復(fù)合方式相比，壓電和壓磁材料的層狀復(fù)合結(jié)構(gòu)在室溫下的磁電性能更為突出[2]。盡管諸多研究者對(duì)壓電和壓磁材料的層狀結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為進(jìn)行了大量研究[3-8]，但他們主要關(guān)注壓電和壓磁材料的單層結(jié)構(gòu)或通過(guò)理想方式結(jié)合的層合結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為。在工業(yè)生產(chǎn)中，熱壓法是加工PE/PM層狀復(fù)合材料常用的工藝[9]，這種加工方法制得的層合材料會(huì)在壓電層和壓磁層之間形成同時(shí)含有2種材料顆粒的夾層，稱之為磁電彈(Magneto-Electro-Elastic，MEE)夾層，其同時(shí)具有力、電、磁耦合性能[10-11]。在納米尺度上，該夾層對(duì)層合材料的力學(xué)性質(zhì)的影響十分明顯[12]。因此，筆者考慮了熱壓法對(duì)層合梁界面層的實(shí)際影響，基于正弦剪切型變形梁與非局部理論理論，建立了含MEE夾層的層狀復(fù)合梁的力學(xué)模型，通過(guò)哈密頓原理推導(dǎo)出層合梁的平衡方程與邊界條件，并分析了MEE夾層對(duì)層合梁中點(diǎn)彎曲撓度的影響規(guī)律，以期為工程中壓電材料和壓磁材料的層狀復(fù)合結(jié)構(gòu)的應(yīng)用提供理論參考。

1 理論模型

1.1 幾何模型

圖1為橫向載荷qm(x)作用下含磁電彈夾層的壓電/壓磁層狀復(fù)合納米梁理論模型。層狀復(fù)合納米梁受簡(jiǎn)支約束，圖中：L、b分別為納米梁的長(zhǎng)度和寬度；h(j)(j=1,2,3)為第j層高度，且有h(1)+h(2)+h(3)=h，h(1)=h(2)，h(3)=h0。建立直角坐標(biāo)系，x軸正方向沿MEE夾層中心線水平向右，z軸沿層合梁的左端垂直向下，y軸方向由右手螺旋法則確定。

圖1 橫向載荷qm(x)作用下含磁電彈夾層的壓電/壓磁層狀復(fù)合納米梁理論模型

1.2 非局部本構(gòu)模型

由于層合納米梁的力學(xué)行為存在尺寸效應(yīng)，為提高計(jì)算精度，采用非局部理論來(lái)描述其尺寸效應(yīng)[12]。假設(shè)層合納米梁中應(yīng)變、磁場(chǎng)強(qiáng)度、電場(chǎng)強(qiáng)度沿納米梁高度方向連續(xù)變化，應(yīng)力、電位移、磁感應(yīng)強(qiáng)度沿高度方向的變化不連續(xù)[13]，層合納米梁沿z軸極化。因此，壓電和壓磁材料的非局部本構(gòu)關(guān)系為[14]

(1)

為廣義位移，其中εxx和γzx為應(yīng)變分量，Ex和Ez為電場(chǎng)強(qiáng)度分量，Hx和Hz為磁場(chǎng)強(qiáng)度分量；Λ(j)為本構(gòu)矩陣，其具體形式為

1.3 層合納米梁模型

采用正弦剪切變形理論對(duì)層合納米梁的彎曲進(jìn)行分析。電勢(shì)與磁勢(shì)的分布滿足麥克斯韋方程?；诖?，WANG[15]首先假設(shè)電勢(shì)是一個(gè)余弦函數(shù)加上一個(gè)線性函數(shù)；此后，這一假設(shè)在壓電和壓磁梁、板的彎曲、屈曲和振動(dòng)分析中得到了廣泛應(yīng)用[16-17]。在此，也采用上述假設(shè)。由于電場(chǎng)與磁場(chǎng)的相關(guān)物理量關(guān)系式形式相同，因此對(duì)磁勢(shì)也采用相同形式的表達(dá)式。層合納米梁的電勢(shì)、磁勢(shì)和橫向位移、縱向位移可依次表示為

(2)

式中：φ0(t,x)、?0(t,x)、w0(t,x)、u0(t,x)、ψ0(t,x)分別為層合梁中面的電勢(shì)、磁勢(shì)、橫向位移、縱向位移以及繞y軸的轉(zhuǎn)角；Δφ、Δ?分別為層合納米梁上下表面電勢(shì)和磁勢(shì)差，由于層合梁無(wú)外加電勢(shì)，也并不處于磁場(chǎng)之中，因此Δφ=0，Δ?=0。下標(biāo)中的逗號(hào)表示對(duì)相應(yīng)坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)。

層合納米梁廣義的幾何關(guān)系為

(3)

將式(2)代入式(3)可得

(4)

1.4 載荷模型

在層合納米梁的上表面沿z軸正方向加載單位面積為qm(x)的橫向外力，將其按傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)為

(5)

式中：

(6)

層合納米梁所受載荷為均布載荷q0，此時(shí)

Qn=4q0/(nπ)，n=1,3,5,…。

(7)

2 求解運(yùn)動(dòng)方程

(8)

因此，廣義應(yīng)力τ(j)所做的虛功為

(9)

式(8)中的廣義虛應(yīng)變?chǔ)摩庞墒?4)通過(guò)變分獲得。將式(8)代入式(9)并進(jìn)行分部積分處理，可得

(10)

式中：

橫向力所做虛功

(11)

根據(jù)虛功原理可知：廣義應(yīng)力與橫向外力所做虛功相同[12]。即

(12)

將式(10)、(11)代入式(12)并化簡(jiǎn)，即得到層合納米梁平衡方程

(13)

以及相關(guān)邊界條件

(14)

為方便求解平衡方程(13)，且滿足層合納米梁的邊界條件(14)，將廣義位移u0，w0，φ0，?0和繞y軸的轉(zhuǎn)角ψ0用如下三角級(jí)數(shù)表示：

(15)

式中：Un、Ψn、Wn、Φn、Θn均為無(wú)量綱待定系數(shù)。

結(jié)合式(1)、(13)、(15)，并利用三角函數(shù)的正交性對(duì)方程組進(jìn)行化簡(jiǎn)，可得

(16)

將式(17)化為矩陣方程式的形式，即

PE=Q。

(17)

式中：P為系數(shù)矩陣；E=[UnWnΨnΦnΘn]T，Q=[0 -α(4q0/nπ) 0 0 0]T。

3 數(shù)值計(jì)算與討論

將層合納米梁平衡方程賦值，求解平衡方程非零解Wn。通過(guò)式(2)、(15)求得層合納米梁彎曲撓度w，為便于對(duì)比分析，將彎曲撓度通過(guò)

(18)

進(jìn)行無(wú)量綱化處理

3.1 退化驗(yàn)證計(jì)算

為驗(yàn)證本文對(duì)層合梁彎曲控制方程的推導(dǎo)是否正確，通過(guò)

(19)

將層合梁退化為各向同性單層彈性梁,并按文獻(xiàn)[18]的參數(shù)設(shè)定進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果見(jiàn)表1?？梢钥闯觯罕疚挠?jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[18]一致，證明本文理論推導(dǎo)的正確性。

表1 各向同性單層彈性納米梁無(wú)量綱梁中點(diǎn)彎曲撓度

3.2 重要參數(shù)對(duì)彎曲影響規(guī)律

令層合納米梁長(zhǎng)度L=10 nm，長(zhǎng)高比L/h=5、7、10式(15)中x=L/2。壓電材料選用BaTiO3，壓磁材料選用CoFe2O4，相關(guān)材料材料參數(shù)見(jiàn)表2。

表2 材料參數(shù)[19]

根據(jù)混合律理論[20]，MEE材料的相關(guān)材料參數(shù)Pmee與壓電材料Pe和壓磁材料Pm參數(shù)滿足

Pmee=PeVe+PmVm。

(20)

圖隨Ve的變化曲線

圖隨r的變化曲線

圖隨(e0a)2的變化曲線

4 結(jié)論

為研究含MEE夾層的PE/PM層狀復(fù)合納米梁的彎曲規(guī)律，基于非局部理論與正弦剪切型變形梁理論建立了相應(yīng)力學(xué)模型,并應(yīng)用虛功原理和正弦剪切變形理論推導(dǎo)出層合梁的平衡方程與邊界條件，最后通過(guò)數(shù)值計(jì)算，求解出了層合梁中點(diǎn)的彎曲撓度，分析了其隨MEE夾層重要參數(shù)的變化規(guī)律。主要結(jié)論如下：

1) 壓電材料體積分?jǐn)?shù)和層厚比為磁電彈夾層的重要參數(shù)，二者對(duì)層合梁抗彎剛度的影響效應(yīng)互逆：前者對(duì)抗彎剛度起弱化作用，后者起強(qiáng)化作用。

2) 壓電材料體積分?jǐn)?shù)和層厚比都對(duì)層合梁的抗彎剛度的影響效果較為明顯，二者均隨長(zhǎng)高比增大而變明顯。

3) 非局部參數(shù)對(duì)層合梁的抗彎剛度有弱化作用。當(dāng)長(zhǎng)高比變大時(shí)，非局部參數(shù)對(duì)層合梁的弱化作用隨之變小。

附錄A

βNxx,x、βMxx,xx、βPxx,x、βQzx、βRx,x、βRx,x、βSz、βTx,x、βUz均為控制方程中具有相似形式的表達(dá)式，具體形式如下：

(h/π)(nπ/L)2sin(zπ/h)Ψn]+

(A-1)

z(nπ/L)4Wn+(h/π)(nπ/L)3sin(zπ/h)Ψn]-

(A-2)

(nπ/L)2Un+z(nπ/L)3Wn-

(h/π)(nπ/L)2sin(zπ/h)Ψn]+

(A-3)

(A-4)

(A-5)

(nπ/L)Un+z(nπ/L)2Wn-

(h/π)(nπ/L)sin(zπ/h)Ψn]-

(A-6)

(A-7)

(nπ/L)Un+z(nπ/L)2Wn-

(h/π)(nπ/L)sin(zπ/h)Ψn]-

(A-8)