關于“雙零點”數量關系的探究

■(指導教師：劉坤)

導數是研究函數性質的一個非常重要的工具，是學習中的重點，也是難點，在高考中占有重要的地位。在導數的學習中，我發(fā)現有一類“雙零點”數量關系問題在2016年及2018年全國新課標卷中均有所涉及，這引起了我極大的興趣。下面是我對這一類問題的一些粗淺認識，希望能給同學們一些幫助，不足之處，再商榷。

我們先來熟悉一下對數平均不等式，對數平均不等式：當a＞0，b＞0且a≠b時，

證明：不妨設a＞b＞0。要證，由于a＞b＞0，只需證lna-lnb＜，即證①。令t=，構造函數，則f′(t)，所以f(t)在(1，+∞)上單調遞減。因此f(t)＜f(1)=0，即①式成立。

例題已知函數f(x)=xe-x(x∈R)，如果x1≠x2且f(x1)=f(x2)，求證：x1+x2＞2。

證明：由于f(x1)=f(x2)，得令，不妨設x1＜x2，則0＜t＜1。由解得

要證x1+x2＞2，只需證即證令g(t)=lnt-則所以g(t)在(0，1)上單調遞增，因此g(t)＜g(1)=0，即不等式①成立。

點評：此證法通過降元，將雙元不等式轉化為單元不等式，再構造函數求解，體現了消元的思想。

變式練習：已知函數若x1，x2為f(x)的兩個極值點，且x1＜x2，求證：x1x2＜1。

證明：令g(x)=f′(x)=x+m-1-lnx，則，易知g(x)在(0，1)上單調遞減，在(1，+∞)上單調遞增。又g(x1)=g(x2)，因此0＜x1＜1＜x2。要證x1x2＜1，只需證又1)，g(x)在(0，1)上單調遞減，即證g(x1)＞又g(x1)=g(x2)，即證g(x2)＞，構 造 函 數(x＞1)即可。

下面請同學們試一試身手，挑戰(zhàn)一下一道高考題吧!

題目(2016年新課標卷21)已知函數f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點。

(1)求實數a的取值范圍；

(2)設x1，x2是f(x)的兩個零點，證明：x1+x2＜2。