蔡氏電路的實(shí)驗(yàn)與仿真研究

吳淑花，孟瑋德，馬志春

（石家莊學(xué)院 機(jī)電學(xué)院，河北 石家莊 050035）

0 引言

自混沌運(yùn)動(dòng)于1963年被美國氣象學(xué)家Lorenz首次發(fā)現(xiàn)以來[1]，混沌理論及其相關(guān)應(yīng)用在50多年里被不斷地深入挖掘，從醫(yī)學(xué)上對于癲癇病的預(yù)報(bào)，到野生動(dòng)物種群的數(shù)目消長，再到長期準(zhǔn)確的天氣預(yù)報(bào)、保密通信以及天體軌道的預(yù)測，混沌的身影無處不在.混沌電路是研究混沌理論的重要手段之一，自1983年蔡少棠發(fā)表蔡氏電路以來[2-7]，以實(shí)際應(yīng)用為主的蔡氏電路改進(jìn)、變形、多渦卷蔡氏電路及基于憶阻器的混沌系統(tǒng)等相關(guān)研究層出不窮，而且應(yīng)用于更廣泛的領(lǐng)域[8-18].例如，文獻(xiàn)[9]充分利用放大器本身限幅的非線性特點(diǎn)構(gòu)造蔡氏等效電路，刪除了電感這一使電路性能不穩(wěn)定的元件，讓電路結(jié)構(gòu)簡單、誤差小并且易于調(diào)節(jié)，適用于保密通信；文獻(xiàn)[11]提出一種模塊化設(shè)計(jì)方法，由三渦卷蔡氏無量綱狀態(tài)方程設(shè)計(jì)電路，僅使用了反相加法器、積分器和反向器構(gòu)成電路，使各元件參數(shù)獨(dú)立可調(diào)，易于電路實(shí)現(xiàn)；文獻(xiàn)[13]簡化雙運(yùn)放型蔡氏電路，并驗(yàn)證其確實(shí)可以產(chǎn)生混沌信號(hào)，降低了研究成本.

蔡氏電路在混沌研究中占有重要地位.本研究利用以蔡氏電路為原理的ZKY-HD實(shí)驗(yàn)儀進(jìn)行相關(guān)實(shí)驗(yàn)研究，探究非線性電阻RNL的工作原理，并通過示波器觀察變阻器W1阻值變化對混沌相圖的影響，分析W1在電路中所承擔(dān)的作用.同時(shí)利用Multisim對實(shí)驗(yàn)儀的構(gòu)成電路進(jìn)行仿真，觀察電感L1和變阻器W1的參數(shù)變化對混沌相圖的影響，并搭建仿真電路測量非線性電阻RNL的伏安特性.將仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對比，分析得出ZKY-HD實(shí)驗(yàn)儀各模塊元器件的職能，進(jìn)而幫助初學(xué)者理解蔡氏電路的工作原理.

1 ZKY-HD實(shí)驗(yàn)儀的結(jié)構(gòu)與原理

1.1 ZKY-HD實(shí)驗(yàn)儀的構(gòu)成

ZKY-HD型混沌原理及應(yīng)用實(shí)驗(yàn)儀（6303）由成都世紀(jì)中科儀器有限公司生產(chǎn)，儀器機(jī)號(hào)為07-007，其結(jié)構(gòu)圖如圖1所示.ZKY-HD實(shí)驗(yàn)儀的電路圖如圖2所示，儀器參數(shù)（混沌信號(hào)發(fā)生模組）為：L1=18 mH，C1=100 nF，C2=10 nF，R1=3.3 kΩ，R2=22 kΩ，R3=22 kΩ，R4=2.2 kΩ，R5=220 Ω，R6=220 Ω.

圖1 ZKY-HD實(shí)驗(yàn)儀結(jié)構(gòu)圖

圖2 ZKY-HD實(shí)驗(yàn)儀元件構(gòu)造圖

1.2 蔡氏電路

蔡氏電路是1983年由美籍菲律賓華裔蔡少棠搭建的一種非線性電子電路，它能夠表現(xiàn)出完整的混沌分岔和混沌吸引子行為，并且容易實(shí)現(xiàn).蔡氏電路主要由非線性電阻、變阻器、電感以及電容所構(gòu)成[2-5].其原理如圖3所示，其中RNL為非線性電阻.圖4即是一種簡單的非線性電阻的實(shí)現(xiàn)方式.

2 利用ZKY-HD實(shí)驗(yàn)儀的實(shí)驗(yàn)研究

以下通過實(shí)驗(yàn)探究W1、RNL模塊在混沌信號(hào)的產(chǎn)生中對電路的影響.先將非線性電阻RNL作為獨(dú)立模塊，實(shí)驗(yàn)研究該模塊的伏安特性；再將W1放在整個(gè)電路里，保持其他元件參數(shù)不變，調(diào)節(jié)W1的大小觀察系統(tǒng)的狀態(tài)變化，以此來研究可變電阻的大小對系統(tǒng)的影響.

2.1 對RNL的實(shí)驗(yàn)研究

一般情況下，電阻是作為負(fù)載的角色參與電路構(gòu)成，電阻兩端的電壓大小與通過電阻的電流大小成正比，作伏安特性曲線其斜率為正，通常被稱為正阻；若電阻兩端的電壓大小與通過電阻的電流大小成反比，斜率為負(fù)，這樣的電阻即為負(fù)阻.自然界中不存在天然的負(fù)阻元件，只有電阻處于電路中且有電流通過才會(huì)有負(fù)阻產(chǎn)生.負(fù)阻代表電阻在電路中發(fā)揮電源的作用，而正阻是電阻的本質(zhì)屬性.從功率意義上來說，正阻是耗能元件，負(fù)阻輸出功率，是產(chǎn)能元件，可視作電路中的電源.

圖3 蔡氏電路原理圖

圖4 非線性電阻

RNL模塊內(nèi)部構(gòu)成如圖4所示，通過改變電源電壓，測得多組數(shù)據(jù)，利用這些數(shù)據(jù)作I-U曲線如圖5所示.

由I-U伏安特性曲線可得：當(dāng)|V1|≤|VC|時(shí)，在I-U圖中的CD段，兩個(gè)運(yùn)放均為正常工作，由于運(yùn)放輸入端不取電流，且對于該同相加法器存在虛斷和虛短，則有[2]：

即：

解得：

而 R3=R2，R6=R5，代入數(shù)值得 kCD≈-0.76×10-3，從表格數(shù)值看 kCD≈-0.7×10-3.

當(dāng)|VC|≤|V1|≤|VB|，在I-U圖中的BC和DE段，左側(cè)的運(yùn)放單元輸入電阻大，先到達(dá)飽和，不承擔(dān)放大作用，其作用僅相當(dāng)于電阻和一個(gè)電源串聯(lián)，即R3以用電器的身份接入電路，而右側(cè)運(yùn)放單元依舊工作在放大區(qū)，則此時(shí)[2]：

代入數(shù)值得 kBC≈-0.41×10-3，從表格數(shù)值看 kBC≈-0.4×10-3.

圖5 RNL的I-U曲線

當(dāng)|VB|≤|V1|，在I-U圖中的AB和EF段，兩組運(yùn)放單元全部達(dá)到飽和，R3、R6以用電器的身份接入電路，此時(shí)[2]：

代入數(shù)值得R總≈4.59×10-3Ω，從表格數(shù)值看kAB≈2.3×10-3.

在可變電壓源取不同電壓值時(shí)，RNL所得阻值也不同，其I-U伏安特性曲線表現(xiàn)為5段線性函數(shù).可見，RNL的作用一是維持LC振蕩電路的振蕩信號(hào)；二是使得振蕩周期產(chǎn)生分岔與混沌等一系列非線性現(xiàn)象.

2.2 對W1的實(shí)驗(yàn)研究

W1為變阻器，當(dāng)將W1扭旋到底時(shí)，即阻值為零時(shí)其相圖為一個(gè)點(diǎn)，也就是說，此時(shí)電路系統(tǒng)處于平衡點(diǎn)；慢慢調(diào)節(jié)W1，使其阻值逐漸增加，電路狀態(tài)依次為單周期、雙周期、4周期、多周期直至單吸引子和雙吸引子.隨W1增大示波器輸出的相圖如圖6所示.

通過電路實(shí)驗(yàn)可知，當(dāng)W1阻值為零時(shí)混沌相圖為一點(diǎn)，隨著其阻值的增加，系統(tǒng)狀態(tài)展示出完整的倍周期分岔過程，并在增大到一定值時(shí)電路進(jìn)入混沌振蕩狀態(tài)，但由于該實(shí)驗(yàn)儀無法讀出W1阻值，因此對于周期分岔和混沌吸引子的分界線無法知曉，利用Multisim仿真可以測得數(shù)值.

3 基于Multisim的電路仿真研究

利用Multisim對ZKY-HD實(shí)驗(yàn)儀的原理電路進(jìn)行仿真，電路搭建如圖7所示，通過改變L1和W1的元件參數(shù)，探究其對電路的影響.

3.1 L1的參數(shù)變化對電路的影響

系統(tǒng)元件參數(shù)分別為 L1=18 mH，C1=100 nF，C2=10 nF，R1=3.3 kΩ，R2=22 kΩ，R3=22 kΩ，R4=2.2 kΩ，R5=220 Ω，R6=220 Ω.保持其他元件參數(shù)不變，僅改變電感L1的大小，觀察系統(tǒng)的狀態(tài)變化.具體取值范圍見圖8，該圖為電路系統(tǒng)的相圖變化.

通過對以上數(shù)據(jù)分析，當(dāng)0mH≤L1＜12.27 mH時(shí)，混沌相圖為一點(diǎn)，即此時(shí)系統(tǒng)處于平衡點(diǎn)；在12.27 mH≤L1＜15.89 mH范圍內(nèi)，電路系統(tǒng)隨著電感數(shù)值的增大展示出完整的倍周期分岔過程；當(dāng)15.89 mH≤L1＜23.3 mH時(shí)，電路系統(tǒng)處于混沌狀態(tài).L1作為振蕩信號(hào)產(chǎn)生的一部分，其數(shù)值選擇不同，系統(tǒng)非線性振蕩的程度也不同，隨著電感的增大，對電路系統(tǒng)非線性振蕩影響越強(qiáng)，系統(tǒng)越容易進(jìn)入混沌狀態(tài).

圖 6 電路系統(tǒng)的相圖.（a）單周期分岔；（b）雙周期分岔；（c）4 周期分岔；（d）多周期分岔；（e）單吸引子；（f）雙吸引子

圖7 ZKY-HD實(shí)驗(yàn)儀的電路仿真

圖 8 電路系統(tǒng)的相圖.（a）12.27 mH≤L1＜14.57 mH；（b）14.57 mH≤L1＜15.22 mH；（c）15.22 mH≤L1＜15.29 mH；（d）15.29 mH≤L1＜15.89 mH；（e）15.89 mH≤L1＜16.23 mH；（f）16.23 mH≤L1＜23.3 mH

3.2 W1的參數(shù)變化對電路的影響

系統(tǒng)元件參數(shù)為 L1=18 mH，C1=100 nF，C2=10 nF，R1=3.3 kΩ，R2=22 kΩ，R3=22 kΩ，R4=2.2 kΩ，R5=220 Ω，R6=220 Ω，保持元件參數(shù)不變，僅改變變阻器W1的大小，觀察系統(tǒng)的狀態(tài)變化，具體取值范圍見圖9，該圖為電路系統(tǒng)的相圖變化.

通過仿真數(shù)據(jù)分析，當(dāng)0 Ω≤W1＜8 Ω時(shí)，混沌相圖為一點(diǎn)，電路處于平衡狀態(tài)；隨著電阻大小的增加，在8 Ω≤W1＜86 Ω范圍內(nèi)，系統(tǒng)狀態(tài)展示出完整的倍周期分岔過程；當(dāng)86 Ω≤W1＜492 Ω時(shí)，系統(tǒng)處于混沌振蕩狀態(tài).仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測得結(jié)果相吻合，并確定了具體的阻值范圍及周期分岔及混沌吸引子的分界線.將電路實(shí)驗(yàn)與仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)合分析，W1將非線性電阻與LC振蕩電路的特性相融合，促使電路系統(tǒng)處于非線性振蕩狀態(tài)，隨著阻值增大，其影響越大.

3.3 RNL的伏安特性

利用Multisim搭建非線性電阻的仿真電路，探究其伏安特性，仿真電路如圖10所示，所得I-U仿真曲線如圖11所示.

圖 9 電路系統(tǒng)的相圖.（a）8 Ω≤W1＜58 Ω；（b）58 Ω≤W1＜72.6 Ω；（c）72.6 Ω≤W1＜76 Ω；（d）76 Ω≤W1＜86 Ω；（e）86 Ω≤W1＜112 Ω；（f）112 Ω≤W1＜492 Ω

仿真電路搭建說明：1）XFG1為函數(shù)發(fā)生器，選擇信號(hào)為三角波，振幅選擇為15 V，選擇三角波信號(hào)中電壓隨時(shí)間增大時(shí)段，令其作為-15 V到+15 V線性變化的正比例函數(shù)信號(hào)源；2）在Multisim中，為了將電流測量轉(zhuǎn)化為電壓測量，外接一個(gè)阻值為1 Ω的電阻，測得電阻兩端的電壓即為通過電路干路的總電流，由示波器XSC1直接顯示伏安特性曲線，如圖11所示.

從結(jié)果中可以看到明顯的5段線性函數(shù)，再一次驗(yàn)證了RNL的非線性.與圖6對比可見，電路實(shí)驗(yàn)與仿真研究相互驗(yàn)證.由于仿真電路更理想化，所以其伏安特性曲線為分段線性函數(shù)的結(jié)果更清晰，轉(zhuǎn)折點(diǎn)也更明顯.

4 結(jié)論

在蔡氏電路中，各元件參數(shù)的變化都會(huì)對電路系統(tǒng)產(chǎn)生影響.本研究在通過電路實(shí)驗(yàn)研究的同時(shí)，利用Multisim對實(shí)驗(yàn)儀的構(gòu)成電路進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，將兩種實(shí)驗(yàn)研究相互對比分析，探究可調(diào)電阻W1、非線性電阻RNL以及電感L1的電路職能.

通過以上兩種實(shí)驗(yàn)方式的結(jié)果，分析電感和變阻器的數(shù)值對混沌相圖的影響，發(fā)現(xiàn)電感元件和可變電阻對系統(tǒng)的影響很相似：隨著電感參數(shù)（或變阻器阻值）的增大，系統(tǒng)由平衡點(diǎn)進(jìn)入到倍周期分岔，進(jìn)而進(jìn)入混沌狀態(tài)，也就是說足夠大的電感和可變電阻保障了電路的非線性振蕩，其正確性被Multisim仿真結(jié)果所證實(shí).仿真電路對非線性電阻伏安特性的測量直觀地展現(xiàn)出其I-U仿真曲線為5段線性函數(shù)，進(jìn)一步驗(yàn)證了電路實(shí)驗(yàn)結(jié)果的正確性.

圖10 RNL仿真電路圖

圖11 I-U仿真曲線圖

本研究可以幫助初學(xué)者快速掌握蔡氏電路的工作原理，理解各模塊元器件的職能，并為蔡氏電路的改進(jìn)與優(yōu)化提供理論支持.