響應面法在磨機傳動系統(tǒng)分層修正中的應用

陶 征，毛松磊，郭勤濤，劉 旭

(1.鄭州大學 機械工程學院，河南 鄭州 450001；2.南京航空航天大學 機電學院，江蘇 南京 210016)

0 引言

目前對大型機械設備傳動系統(tǒng)的動力學特性分析研究，主要是在確定性的框架內(nèi)進行的，很少考慮系統(tǒng)中存在的不確定性因素，如齒輪嚙合、聯(lián)軸器接觸狀態(tài)等，對傳動系統(tǒng)有限元模型動態(tài)特性分析造成的影響，使仿真結果不能有較好的工業(yè)應用[1].因此，提高有限元模型的精度使其能準確反映系統(tǒng)動力學特性，對機械設備傳動系統(tǒng)設計及動態(tài)特性分析具有重要意義.

近十年來，以分層思想為核心，通過修正子結構有限元模型獲得整體結構準確模型的分層修正方法正在迅速發(fā)展.針對復雜的機械設備，該方法首先將其分解成簡單的子結構，通過統(tǒng)計意義下的模型修正方法識別子結構中的不確定性參數(shù)，獲得精確的子結構模型，不需做整機實驗，由子結構響應不確定性推斷出整體結構響應誤差的置信度[2].因此，建立精確的子結構有限元模型是分層修正方法解決復雜結構有限元模型響應預測置信度問題的關鍵.

為探討復雜大型磨機傳動系統(tǒng)的子結構建模方法，采用基于響應面的有限元模型修正技術，以子結構的試驗模態(tài)頻率數(shù)據(jù)為目標，通過識別模型中的不確定性參數(shù)，實現(xiàn)對子結構模型的修正，并進行振型相關性分析及頻響曲線對比分析，結果表明修正后的有限元模型精度得到明顯提高.

1 基于響應面的有限元模型修正理論

基于響應面的模型修正方法是近年來基于統(tǒng)計分析技術的模型修正方法的研究方向[3-6]，其以顯式的響應面模型逼近特征量與設計參數(shù)間復雜的隱式函數(shù)關系，可以更好地解決傳動系統(tǒng)中存在的不確定性參數(shù)這一問題，同時修正過程運行快、效率高.

響應面法是以方差分析、回歸分析[7]兩大數(shù)理統(tǒng)計理論技術為基礎的一項理論,其主要內(nèi)容包括：試驗設計、參數(shù)篩選、響應面擬合及參數(shù)修正.

方差分析以篩選顯著性參數(shù)為目的，其基本思想是計算出各設計參數(shù)的離差平方和，然后求得各設計參數(shù)和誤差的F值，應用F值檢驗法進行假設檢驗，找出顯著性參數(shù).假設對有限元模型的某一因素X進行F檢驗，統(tǒng)計量為：

(1)

式中：SX、fX為因素的離差平方和及自由度；SE、fE為誤差的離差平方和及自由度.

對于給定的顯著水平α，方差比率F檢驗的準則為：若F≥F1-α(fX,fE)，則認為因素X為顯著性參數(shù)；反之不顯著.

采用回歸分析方法以系統(tǒng)特征量y為因變量，設計參數(shù)xi(i=1,2,…,k)為自變量，則含交互項的二次多項式響應面模型為：

(2)

為保證擬合響應面能夠準確描述因、自變量間的關系，需對其進行精度檢驗.若符合要求則進行模型修正；若不滿足則需重新計算.響應面的精度檢驗依照以下公式：

(3)

(4)

模型修正[9-10]可以歸結為以下優(yōu)化問題：

(5)

st.VLB≤p≤VUB,

式中：p為設計參數(shù)；{fA(p)}，{fE}分別為試驗與仿真的特征值；‖R(p)‖2為特征值殘差的2-范數(shù)；VLB、VUB為設計空間的上下限.

2 有限元模型建立及模態(tài)分析

2.1 小型傳動系統(tǒng)裝置的設計

以圖1所示的7.9 m磨機兩級齒輪結構傳動系統(tǒng)作為原生系統(tǒng)，基于齒輪傳動系統(tǒng)的相似設計理論[11]設計小型傳動系統(tǒng)的實驗裝置.該磨機傳動系統(tǒng)為串聯(lián)式的二級齒輪傳動系統(tǒng).

1.電機,2.聯(lián)軸器,3.減速器,4.低速級齒輪傳動,5.高速級齒輪傳動,6.聯(lián)軸器,7.小齒輪,8.負載(包括磨機筒體、大齒輪及載荷)

基于相似系統(tǒng)設計理論[12]，對原生系統(tǒng)的組成要素進行識別，采用相同功能、作用的組成要素，并按照與原生系統(tǒng)一致的順序進行排序，最終得到結構和功能上與原生系統(tǒng)相似的相似系統(tǒng).

由于大型機械傳動系統(tǒng)一般只關注低階模態(tài)頻率，其頻率大都在幾十到幾百赫茲，而尺寸上大幅縮小的小型傳動系統(tǒng)，其低階模態(tài)頻率極有可能增大至上千赫茲.為滿足相似系統(tǒng)在模態(tài)頻率方面與原生系統(tǒng)的相似性需求，通過在軸上增添圓盤從而增加系統(tǒng)質(zhì)量的方法降低系統(tǒng)模態(tài)頻率，保證相似系統(tǒng)前三階模態(tài)頻率在200 Hz以內(nèi).最終得到小型傳動系統(tǒng)的設計方案并成功搭建，如圖2所示.

圖2 小型傳動系統(tǒng)實驗臺

2.2 模型建立及模態(tài)分析

針對圖2所示傳動系統(tǒng)，按照傳動軸的分布將其分為4個子結構，從左至右依次為子結構A、B、C、D，每個子結構包含傳動軸及軸上零件.

在Patran中建立子結構A的有限元模型如圖3所示.其中，圓盤通過脹緊套固定在軸上，由于脹緊套內(nèi)部結構復雜，將其簡化為實心圓環(huán)塊；傳動軸、圓盤、脹緊套接觸位置單元為柔性接觸體單元，采用粘接接觸(glue)；軸承采用Bush單元及多點約束MPC方法進行模擬.由于脹緊套替代結構材料未知，暫選為普通碳鋼，其余部件材料為普通碳鋼，彈性模量E=2.1e11 Pa，泊松比μ=0.3，密度ρ=7 800 kg/m3.對子結構A及圓盤進行模態(tài)分析，其前兩階模態(tài)如表1所示.

圖3 子結構A的有限元模型

表1 模態(tài)分析結果和試驗結果

Tab.1 Modal analysis results and test results

振型模態(tài)分析頻率/Hz模態(tài)試驗頻率/Hz子結構A圓盤子結構A圓盤一階彎曲232.98515.75223.27519.64二階彎曲248.521 066.80277.631 089.79

3 模態(tài)試驗

試驗模態(tài)辨識方法有：單點激勵單點響應(SISO)、多點激勵多點響應(MIMO)、單點激勵多點響應(SIMO)以及多參考點錘擊法(MRIT)等.其中，MRIT方法能夠避免因僅使用一個參考點導致模態(tài)丟失的情況，從而最大程度上識別系統(tǒng)所有模態(tài)，因此選用MRIT方法進行模態(tài)試驗，具體方案如下：

(1)試驗測點設計，如圖4所示，共有被測節(jié)點22個.

圖4 試驗模型布點圖

(2)數(shù)據(jù)采集，每個節(jié)點測量其三方向的加速度信號.

(3)模態(tài)識別，利用N-modal模態(tài)識別軟件對測試數(shù)據(jù)進行處理，最終識別出其一階、二階模態(tài)試驗結果，如表1所示.

4 模型修正

4.1 參數(shù)的修正

研究中發(fā)現(xiàn)，脹緊套替代結構的彈性模量不僅顯著影響圓盤模態(tài)頻率，也影響軸的彎曲模態(tài)頻率，而軸承支承剛度影響軸彎曲模態(tài)頻率.因此將脹緊套替代結構彈性模量和軸承支承剛度作為待修正參數(shù).

針對脹緊套替代結構彈性模量，以圓盤的一階彎曲模態(tài)試驗數(shù)據(jù)為目標值，采用響應面法對其進行參數(shù)修正.待修正參數(shù)只有彈性模量值，因此顯著性參數(shù)無需篩選，即為彈性模量；采用均勻試驗設計方法在有限元模型中分析計算得到樣本數(shù)據(jù)；選取樣本數(shù)據(jù)，以圓盤模態(tài)頻率為因變量，彈性模量為自變量，擬合二次多項式響應面模型，精度檢驗結果R2值為0.999 8、RMSE值為2.24e-5，表明響應面精度較高；采用MATLAB軟件修正響應面模型，修正過程彈性模量值相對改變量的變化曲線如圖5所示.

圖5 彈性模量值相對改變量變化曲線

修正后彈性模量值為334 090 MPa.對修正后的模型進行計算分析，結果如表2所示，可以看出修正后的模態(tài)頻率與試驗值非常接近，表明模型的修正效果良好.

表2 修正前后模態(tài)頻率

針對軸承支承剛度1、支承剛度2、支承剛度3，以正交試驗設計方法為基礎，在參數(shù)的設計空間內(nèi)確定樣本點，代入有限元模型中分析計算得出樣本值；對確定的各組樣本數(shù)據(jù)進行方差分析，得到各階模態(tài)的顯著性參數(shù)，篩選結果見表3.選取樣本數(shù)據(jù)，以子結構A前兩階模態(tài)頻率為因變量，以各自對應的顯著性參數(shù)為自變量，擬合響應面模型，響應面模型精度檢驗結果見表4，R2值在0.998以上，RMSE值接近0，響應面模型精度很高，其中一階模態(tài)頻率響應面模型如圖6所示；采用MATLAB編程對模型進行修正，修正過程支承剛度值相對改變量變化曲線如圖7所示.

表3 各階模態(tài)顯著性參數(shù)篩選結果

表4 響應面模型精度檢驗結果

圖6 一階模態(tài)頻率響應面模型

圖7 支承剛度值相對改變量變化曲線

軸承支承剛度修正結果見表5.上述過程未對不屬顯著參數(shù)的支承剛度3進行識別，由于3個軸承型號尺寸相同，支承剛度值相差不大，令支承剛度3取值為支承剛度1與支承剛度2均值.對修正后的模型進行計算分析，結果如表6所示，可知修正后模態(tài)頻率誤差均小于0.03%，表明修正效果良好，有限元模型精度得到明顯改善.

表5 子結構A軸承支承剛度值

表6 修正前后模態(tài)頻率對比

4.2 模態(tài)振型相關性分析

在模態(tài)試驗中受到測點數(shù)量、測量頻率范圍、激勵方式等實際測量因素的限制，可能出現(xiàn)測得的模態(tài)振型不完備，試驗與仿真無法對應的情況.因此，為評判上述軸承支承剛度參數(shù)識別過程中仿真模型和試驗模態(tài)振型的一致程度，采用了振型相關系數(shù)，即模態(tài)置信度(MAC)來計算分析[13].振型相關系數(shù)的表達式如下：

(6)

計算分析子結構A模態(tài)置信度，第一階模態(tài)MAC值為0.897 2，第二階模態(tài)MAC值為0.913 0，表明仿真模態(tài)振型與試驗振型相匹配.

4.3 頻響曲線對比分析

頻域分析通過不同頻率諧波輸入下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應來研究系統(tǒng)性能，能夠深刻地反映系統(tǒng)參數(shù)對系統(tǒng)性能的影響.

對修正模型采用模態(tài)疊加法進行頻率響應分析[14]，頻率響應曲線如圖8所示，模態(tài)試驗的頻響曲線如圖9所示.可以看出，在修正頻段(223.27～277.63 Hz)內(nèi)，修正模型的仿真分析結果與試驗結果接近，在修正頻段外兩者數(shù)據(jù)也較接近.

圖8 子結構A有限元模型的頻率響應曲線

圖9 子結構A模態(tài)試驗的頻率響應曲線

5 結論

為最終解決復雜的大型磨機傳動系統(tǒng)有限元模型響應預測置信度的問題，筆者基于分層思想，以傳動系統(tǒng)的子結構為研究對象，通過響應面法識別系統(tǒng)中的不確定性參數(shù)，對子結構模型進行修正.修正結果顯示，頻率誤差小于0.03%，模態(tài)置信度在0.89以上，有限元模型與模態(tài)試驗所得頻率響應曲線接近，表明修正后的模型精度得到明顯提高，能夠準確反映結構的動態(tài)特性；證明了響應面法在大型磨機傳動系統(tǒng)設計及動態(tài)特性分析中具有的良好可行性，并且為后續(xù)系統(tǒng)整體分析奠定了堅實的基礎.