中學(xué)數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義研究

■史宇軒(導(dǎo)師：李發(fā)明)

1.導(dǎo)數(shù)的物理意義和幾何意義

數(shù)學(xué)和物理中都提到導(dǎo)數(shù)的概念，兩者提到的導(dǎo)數(shù)一個(gè)側(cè)重計(jì)算，一個(gè)側(cè)重實(shí)際應(yīng)用。為了更深入研究導(dǎo)數(shù)的物理意義和幾何意義，我翻閱了同濟(jì)大學(xué)的高等數(shù)學(xué)，從網(wǎng)上查閱了資料，得出：導(dǎo)數(shù)(Derivative)是微積分中的重要基礎(chǔ)概念，當(dāng)函數(shù)y=f(x)的自變量x在一點(diǎn)x0上產(chǎn)生一個(gè)增量Δx時(shí)，函數(shù)輸出值的增量Δy與自變量增量Δx的比值在Δx趨于0時(shí)的極限a如果存在，a即為在x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f'(x0)或df/dx(x0)。

無論該函數(shù)圖像是直線還是曲線，導(dǎo)數(shù)都是函數(shù)在一個(gè)點(diǎn)的斜率或者說是瞬時(shí)變化率。對(duì)于直線求某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)即求該點(diǎn)的斜率，有多種常規(guī)求解方法。對(duì)于曲線需要采用局部先行逼近。常規(guī)的求解方法是根據(jù)定義：(1)求y的增量Δy=f(x+Δx)-f(x)。(2)計(jì)算y的增量和x增量的比值。(3)求極限。例如，常數(shù)的導(dǎo)數(shù)是0，即y=9，y'=0，可知y=9的直線的變化率為0?？梢酝ㄟ^上述三步求得。

導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)是通過極限的概念對(duì)函數(shù)進(jìn)行局部的線性逼近。因此，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的局部性質(zhì)。一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)描述了這個(gè)函數(shù)在這一點(diǎn)的變化率。如果函數(shù)的自變量和取值都是實(shí)數(shù)的話，函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)就是該函數(shù)所代表的曲線在這一點(diǎn)上的切線斜率。例如，在運(yùn)動(dòng)學(xué)中，物體的位移對(duì)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)就是物體的瞬時(shí)速度。

2.導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

例如，一輛汽車在10h內(nèi)走了600km，那么它的平均速度是60km/h。但在實(shí)際行駛過程中，是有快慢變化的，不一定都是60km/h。為了更好地反映汽車在行駛過程中的快慢變化情況，可以縮短時(shí)間間隔，設(shè)汽車所在位置s與時(shí)間t的關(guān)系為s=f(t)，那么汽車在由時(shí)刻t0變到t1這段時(shí)間內(nèi)的平均速度是。當(dāng)t1無限趨近于t0時(shí)，汽車行駛的快慢變化就不會(huì)很大，平均速度就近似等于t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度，因而就把此時(shí)的極限作為汽車在時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度，即，這就是通常所說的速度。這實(shí)際上是由平均速度類比到瞬時(shí)速度的過程(如我們駕駛時(shí)的限“速”指瞬時(shí)速度)。

結(jié)論：(1)查看了文件并借閱了同濟(jì)大學(xué)的高等數(shù)學(xué)1，通過查閱文獻(xiàn)得知，函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義為曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率。

(2)函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的物理意義：一階導(dǎo)數(shù)的物理意義隨不同物理量而不同，但都是該量變化的快慢函數(shù)，既該量的變化率，是函數(shù)的切線。如對(duì)位移求導(dǎo)就是速度，速度求導(dǎo)就是加速度(即對(duì)位移求2次導(dǎo)數(shù))，對(duì)功求導(dǎo)就是功的改變率等?；蛘哒f一階導(dǎo)數(shù)是自變量的變換率，二階導(dǎo)數(shù)是一階導(dǎo)數(shù)的變換率。一階導(dǎo)數(shù)大于0，則遞增;小于0，則遞減;等于0，則不增不減。

在一個(gè)具體的運(yùn)動(dòng)過程中，若已知位置X隨時(shí)間t的變化函數(shù)X(t)，那么速度就是X對(duì)t的一階導(dǎo)數(shù)，即。將V對(duì)t的一階導(dǎo)數(shù)，叫作瞬時(shí)加速度a，即對(duì)t的一階導(dǎo)數(shù)即X對(duì)t的二階導(dǎo)數(shù))。

通過導(dǎo)數(shù)與物理、幾何、代數(shù)的關(guān)系(在幾何中可求切線，在代數(shù)中可求瞬時(shí)變化率，在物理中可求速度、加速度)，將各個(gè)不同學(xué)科所學(xué)知識(shí)結(jié)合到一起，并應(yīng)用于生活實(shí)踐中，培養(yǎng)了我們的探索能力、創(chuàng)新能力，讓我們更加懂得學(xué)習(xí)的意義。