離心率解法探究
——以2019年全國高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)理科第16題為例

徐 健

(新疆教育科學(xué)研究院 830092)

2019年數(shù)學(xué)高考已經(jīng)塵埃落定，學(xué)生反映有些題不好做，題目難度有點(diǎn)“大”.事實(shí)上可能是解題方法選擇不恰當(dāng)，或者沒有把握問題的本質(zhì)造成的，而不是題目太難.以全國Ⅰ卷理科第16題(壓軸題)為例，仔細(xì)研究發(fā)現(xiàn)，本題非常精致.若死做，運(yùn)算繁瑣；若理順題設(shè)的幾何關(guān)系，找出背后的數(shù)量關(guān)系，此題非常漂亮，入口寬闊，運(yùn)算量小，具有很好的區(qū)分度.現(xiàn)將九種解法總結(jié)于此，以饗讀者.

一、試題呈現(xiàn)

二、總體分析

本題依托平面向量給出中點(diǎn)和直線與直線等位置關(guān)系，以離心率為出口，借助漸近線對雙曲線的一些幾何特征進(jìn)行考查.其間把直線方程、直線的平行關(guān)系、垂直關(guān)系、直線的斜率、直角三角形面積、直角三角形的幾何特征、等邊三角形、軸對稱問題、圓的方程進(jìn)行了深刻全面的考查.在邏輯推理中運(yùn)算，在計(jì)算中揭示本質(zhì)，而非死算到底.實(shí)屬一道難得的好題，可以作為教學(xué)的典型例題，全方位提升學(xué)生核心素養(yǎng)，避開所謂的刷題“贏”高考.

三、解法探究

分析1以面積為突破口.如圖1，由已知容易得到直線F2B和OB的方程，從而解出點(diǎn)B的坐標(biāo).在△BF1F2中，利用等面積法可以建立a，c的關(guān)系式，求得離心率.

整理得c2=4a2，解得e=2.

分析2 以直角三角形性質(zhì)為突破口.由直線OB，F(xiàn)2B的斜率可以發(fā)現(xiàn)相關(guān)傾斜角的關(guān)系，從而得到相關(guān)三角形邊的關(guān)系，建立a，c的關(guān)系式，求得離心率.

分析3 以正三角形的性質(zhì)為突破口.進(jìn)一步分析△BOF2發(fā)現(xiàn)，△BOF2是等邊三角形.利用傾斜角和斜率的關(guān)系，建立a，c的關(guān)系式，求得離心率.

分析5 以坐標(biāo)為突破口.由解法1和解法4得到點(diǎn)B的坐標(biāo)的兩種形式，橫縱坐標(biāo)分別相等可以建立a，c的關(guān)系式，求得離心率.

分析7以軸對稱為突破口.直線OA是線段F1B的垂直平分線.利用這個(gè)性質(zhì)也可以建立a，c的關(guān)系式，求得離心率.

(同理，從|BF1|=2b，|BF2|=2a也可以解得e=2.)

分析9 以角度為突破口.分析△BF1F2的特征，能夠發(fā)現(xiàn)△BF1F2是一個(gè)最常見特殊直角三角形，也可以建立a，c的關(guān)系，求得離心率.

解法9 因?yàn)椤鰾F1F2是直角三角形，△BOF2是正三角形，所以∠BF1F2=30°.

整理得3b2=(a+c)2，解得e=2.

四、解法提煉

本題表象上是一個(gè)雙曲線問題，解題過程中若始終圍繞雙曲線思考可能就會(huì)陷入困境.不得不感嘆命題專家的高明，縱觀全卷，似乎沒有考查直線和圓的題目，難到這些知識不重要嗎？經(jīng)過本題的研究才發(fā)現(xiàn)，關(guān)于直線和圓的知識進(jìn)行了全面、隱蔽、深刻的考查，其能力要求達(dá)到了應(yīng)用層次.換句話說，只有學(xué)通學(xué)活直線和圓，才能運(yùn)用到雙曲線中去靈活解決實(shí)際問題.

求離心率是解析幾何中一個(gè)常見的重要的問題.解析幾何本質(zhì)還是幾何，在解題過程中要充分利用題目隱含的幾何關(guān)系，這樣可以大大減少運(yùn)算量.解析幾何又是依托代數(shù)開展研究的，因此解題中又必須全面關(guān)注題目中的相關(guān)代數(shù)知識，本題中直線方程、直線的斜率、圓的方程、等邊三角形、直角三角形等起了重要作用，為建立a，c的關(guān)系式奠定了廣泛的基礎(chǔ).視角很關(guān)鍵，也就是切入點(diǎn)，從長度、角度、面積、斜率、對稱等方向分析問題，讓思路變得開闊，思路間還相互補(bǔ)充，讓題面變得清澈見底，直至問題的源頭，△BF1F2是內(nèi)角為30°，60°，90°的最常見直角三角形.可見專家命題的出發(fā)點(diǎn)非常樸素，在簡單中創(chuàng)造神奇，體現(xiàn)了創(chuàng)新無處不在的生活哲理.有意思的是，本題產(chǎn)生了解法族群，依托長度、角度、斜率均得到了幾種解法，讓解題變成一種享受.當(dāng)然各種解法尚有運(yùn)算量的區(qū)別，在考試時(shí)需要甄別選用，確保又快又對，前文有幾種解法簡直可以口算得答案，在正確思維的引領(lǐng)下，這能算難題嗎？幾何位置關(guān)系對減少運(yùn)算和建立等式至關(guān)重要，在學(xué)習(xí)和解題中務(wù)必用心體會(huì)這一點(diǎn).

離心率的問題通常有兩種，一種是求值，一種是求范圍.求值的方法有：

(3)利用離心率的定義和圓錐曲線的定義求解；

(4)利用幾何關(guān)系求解；

(5)利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解.

求范圍通常是建立關(guān)于e的不等式，求e的范圍，此類問題需建立不等式，往往更難.

求離心率的問題是一個(gè)綜合問題，牽涉的面比較廣，用到的知識比較多，可用的技巧也豐富，教無定法，學(xué)無訣竅，我們只有多思考，多總結(jié)，多實(shí)戰(zhàn)，方可做到得心應(yīng)手.

五、教學(xué)啟示

因此，高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)主動(dòng)探索知識內(nèi)容背后的數(shù)學(xué)思想和方法，重視數(shù)學(xué)思想和方法的教學(xué)與實(shí)踐.數(shù)學(xué)解題教學(xué)要突出“想”的訓(xùn)練，“想”到位了，算就少了.數(shù)學(xué)教學(xué)還要重視思維能力和創(chuàng)新意識的培養(yǎng)，否則具有高階思維的題目學(xué)生還是一籌莫展.