向量背景下動點問題解法例析

龍 玲

(江蘇省揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 225000)

對于需要求出與動點相關(guān)的不定向量的問題，解題難點在于即使是單動點，它產(chǎn)生的不定向量也有多個.考慮單個不定向量，將之與定向量聯(lián)系起來，用三角形法則或平行四邊形法則將之轉(zhuǎn)化可以求解.一般地，我們選擇大小和夾角已知的最少的不共線向量作為一組基底來表示和動點有關(guān)的不定向量.

一、例題

例1 (2018湖師大附中)如圖1，正方形ABCD的邊長為4，E,F分別為BC,DA的中點，將正方形ABCD沿著線段EF折起，使∠DFA=60°.設(shè)G為AF中點.

(1)求證DG⊥EF；

(2)求直線GA與與平面BCF所成角的正弦值；

(3)設(shè)P,Q分別為線段DG,CF上的點，且PQ∥平面ABEF，求線段PQ的長度的最小值.

圖1 圖2

二、多種解法

1.基底法

若通過建立坐標(biāo)系求解此類動點問題，則恰當(dāng)?shù)乇硎境鰟狱c坐標(biāo)顯然是解題關(guān)鍵.這種恰當(dāng)?shù)谋硎疽馕吨粗獢?shù)盡量少且有助于實現(xiàn)解題目標(biāo)，有下述兩種方法.

2.向量共線法

3.點在線上法

分析利用動點所在的直線方程，把原本應(yīng)設(shè)成Q(x,y,z)中的y,z用x表示出來，與向量共線法一樣達(dá)到了把動點坐標(biāo)未知數(shù)降到最少的目的.能利用向量共線法求解的動點問題都可以用點在線上法求解.運用此方法解題時需要注意準(zhǔn)確把握直線方程的起止點.

向量背景下的動點問題題型眾多，而解題關(guān)鍵往往是求出與動點相關(guān)的不定向量或動點坐標(biāo).利用基底法可以求出與動點相關(guān)的不定向量，若從求解動點坐標(biāo)的角度出發(fā)，要達(dá)到減少坐標(biāo)未知數(shù)的目的可利用向量共線法或者點在線上法.