設(shè)元需講究 運(yùn)算更簡捷
——拋物線中的設(shè)元探究

蔡 明

(浙江省諸暨市浬浦中學(xué) 311824)

解析幾何的學(xué)習(xí)過程中，往往設(shè)一個(gè)或多個(gè)未知量，但是很多題里消來消去運(yùn)算繁瑣，因此在解析幾何中因所設(shè)元的影響，對(duì)其運(yùn)算帶來困難或運(yùn)算量較大.在解析幾何教學(xué)中，總感覺到學(xué)生遇到解析幾何題目時(shí)還是無從下手，本文利用拋物線為載體，運(yùn)用設(shè)點(diǎn)為元，簡化解題.

例1設(shè)A,B為拋物線y2=2px(p>0)上的點(diǎn)，且滿足OA⊥OB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求證：直線AB過定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo).

易得直線AB過定點(diǎn)(2p,0).

建立方程組求解是解析幾何的通法，上述解法雖脫離基本做法，但解題也清楚、簡潔.本題通過對(duì)曲線上點(diǎn)運(yùn)用坐標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)解析幾何的本質(zhì)：運(yùn)用坐標(biāo)處理問題.

圖1

例2如圖1，已知不垂直于x軸的動(dòng)直線l交拋物線y2=2mx(m>0)于A,B兩點(diǎn)，若A,B兩點(diǎn)滿足∠AQO=∠BQO，其中Q(-a,0)(a>0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證直線AB過定點(diǎn).

分析本題涉及的點(diǎn)、直線比較多，導(dǎo)致設(shè)法混亂，出現(xiàn)多元情形.加之題目本身又含有變量，基本方法運(yùn)算量較大.

整理得t1t2+2ma=0.

故從AB的方程可以看出，直線過定點(diǎn)(a,0).

例3已知拋物線y2=2px(p>0)上一點(diǎn)A(a,b),(a≠0)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線AB,AC，點(diǎn)B,C也在拋物線上，求證：直線BC的斜率為定值.

由于直線BC的斜率為

上述兩題的做法充分避開多元問題，在解法上如出一轍，也是解析幾何中拋物線上與點(diǎn)有關(guān)的常用做法.

圖2

例4如圖2，由半圓x2+y2=1(y≤0)和部分拋物線y=a(x2-1)(y≥0，a>0)合成的曲線C稱為“羽毛球形線”，且曲線C經(jīng)過點(diǎn)(2,3).

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(1)求a的值；

(2)設(shè)A(1,0),B(-1,0)，過A且斜率為k的直線l與“羽毛球形線”相交于P,A,Q三點(diǎn)，問是否存

在實(shí)數(shù)k，使得∠QBA=∠PBA？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

分析本題若理清思路不難發(fā)現(xiàn)，解題的關(guān)鍵是與點(diǎn)Q有關(guān)，因此只需用Q的坐標(biāo)解題即可.

解(1)把點(diǎn)(2,3)代入y=a(x2-1)得3=a·(22-1)，所以a=1．

(2)由題意可知∠QBA=∠PBA，∠APB=90°，則∠QBA+∠BAP=90°，故kQB·kQA=1．

圖3

例5如圖3，已知點(diǎn)P是y軸左側(cè)(不含y軸)一點(diǎn)，拋物線C:y2=4x上存在不同的兩點(diǎn)A,B，滿足PA,PB的中點(diǎn)均在拋物線C上．

(1)設(shè)AB中點(diǎn)為M，證明：PM垂直于y軸；

分析此題有一定的難度，若盲目地運(yùn)用直線方程會(huì)使消元帶來困惑，結(jié)合條件，不難發(fā)現(xiàn)問題都與坐標(biāo)有關(guān)，因此直接設(shè)點(diǎn)會(huì)有不錯(cuò)的效果.

求范圍問題，往往利用條件轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題，將多元問題轉(zhuǎn)化為一元問題，再結(jié)合函數(shù)，選用恰當(dāng)方法求取值范圍，本題正是利用二次函數(shù)在區(qū)間上的取值，利用復(fù)合型函數(shù)的單調(diào)性確定范圍.

結(jié)合以上幾例可以發(fā)現(xiàn)，在拋物線上與點(diǎn)相關(guān)的問題往往采用點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算，比用直線、拋物線方程組的方法求解來的更簡單，相對(duì)而言涉及元也比較少，為解題帶來方便.平時(shí)多對(duì)試題探究，從中尋找某些解題規(guī)律，這樣才能以不變應(yīng)萬變.