復(fù)卷機加減速過程中紙幅張力變化的研究

李杰超

1 研究復(fù)卷機加減速過程中紙幅張力變化的意義

至今對復(fù)卷機紙幅張力變化及控制的研究通常以復(fù)卷機輥組線速度為恒定值作為前提條件，忽略了輥組由啟動并加速到額定線速度，并由額定線速度減速到停止的運行過程。在實際生產(chǎn)中，復(fù)卷機輥組必定存在加速和減速的過程，甚至有某些啟停式復(fù)卷機，由于其生產(chǎn)的成品紙卷直徑較小，復(fù)卷機輥組幾乎是在啟動加速和減速停止的過程中完成每一條紙卷的復(fù)卷，其勻速運行的時間十分短暫。因此，研究復(fù)卷機輥組加減速過程中紙幅張力的變化有著重要的意義。

2 復(fù)卷機工作過程中輥組的運動規(guī)律

一般復(fù)卷機上安裝有多個輥組，如送紙輥組、壓光輥組、復(fù)卷輥組等。為了便于研究，對復(fù)卷機上的輥組進行簡化（如圖1所示）：紙幅依次從輥組1及輥組2中通過，在通過過程中忽略輥組對紙幅的擠壓作用以及紙幅沿輥面可能發(fā)生的相對滑移，并且兩輥組的輥面線速度相互獨立、互不干擾，按預(yù)定的規(guī)律進行變化（該線速度變化可通過變頻器控制多個電機對各輥組進行單獨傳動及速度控制實現(xiàn)，現(xiàn)已被廣泛運用到各類復(fù)卷機當中）。

在復(fù)卷機啟動加速到減速停機的過程中兩輥組輥面線速度的變化如圖2所示，輥組1及輥組2同時啟動并分別以不同的加速度勻加速到額定線速度，然后保持額定線速度穩(wěn)定運轉(zhuǎn)，接著分別以不同的減速度勻減速到停止。

圖1 復(fù)卷機中兩輥組的簡化形式

圖2 復(fù)卷機工作過程中兩輥組的輥面線速度變化

3 輥組間紙幅張力與紙幅伸長率的關(guān)系

在上述的運動規(guī)律中，由于輥組1和輥組2存在線速度差（V1＜V2），單位時間內(nèi)輥組1往兩輥組間送進的紙幅長度小于輥組2帶走的紙幅長度，使輥組間的紙幅發(fā)生伸長變形。在實際生產(chǎn)中，為了避免紙幅定量不均、保證紙卷品質(zhì)，輥組間紙幅發(fā)生的伸長變形絕大多數(shù)為可恢復(fù)的彈性變形。而紙幅為了從彈性變形恢復(fù)到原有狀態(tài)，與前后輥組有著相互的拉力作用，而紙幅張力就是在該拉力作用下存在于紙幅內(nèi)部截面的相互牽引力。可見，紙幅張力與紙幅的伸長變形為內(nèi)力與形變的關(guān)系。假設(shè)在紙幅的彈性變形中，紙幅有固定的彈性模量且忽略其截面積的變化，則紙幅張力T與紙幅伸長率δ成正比關(guān)系，其關(guān)系式［1］為：

式中，A為紙幅的截面積，E為彈性模量。

從式（1）可知，可通過分析輥組間紙幅的伸長率δ，來探討復(fù)卷機勻加減速過程中輥組間紙幅張力的變化。

4 兩輥組勻加速過程中輥組間紙幅伸長率的變化

假設(shè)進入輥組1前紙幅的伸長率為δq、原長率（紙幅原來長度與被拉長后的長度的比值）為ξq。因為在復(fù)卷機啟動前輥組1與輥組2間的紙幅沒有發(fā)生伸長變形，所以此時輥組間紙幅的伸長率δ0=0，原長率ξ0=1（如圖3所示）。復(fù)卷機啟動后，輥組1經(jīng)勻加速達到額定線速度V1，其加速度為a1，輥組2經(jīng)勻加速達到額定線速度V2，其加速度為a2，加速時間均為ta，兩輥組傳動點之間的紙幅長度為L。

圖3 啟動前的兩輥組及輥組間的紙幅伸長率

將兩輥組啟動加速期間紙幅伸長變形的過程劃分為若干個細小的時間間隔，逐步分析紙幅伸長率的變化。

在第1個時間間隔Δt內(nèi)，輥組1啟動并加速到線速度v11=a1Δt，并往兩輥組間送進長度為L11=v11Δt的紙幅，因為輥組1送進的紙幅其原長率為ξq，所以該部分紙幅的原長度應(yīng)為ξq L11。而輥組2啟動并加速到線速度v21=a2Δt，并從兩輥組間帶走長度為L21=v21Δt的紙幅，因為在啟動前兩輥組間的紙幅沒有發(fā)生伸長變形，其原長率ξ0=1，所以該部分紙幅的原長度仍為L21。因此，在第1個時間間隔內(nèi)，兩輥組間紙幅的原長度O1為：

在第2個時間間隔Δt內(nèi)，輥組1加速到線速度v12=a1·2Δt，并往兩輥組間送進長度為L12=v12Δt的紙幅，該部分紙幅的原長度為ξq L12。而輥組2加速到線速度v22=a2·2Δt，并從兩輥組間帶走長度為L22=v22Δt的紙幅，因為輥組2帶走的紙幅在第一個時間間隔已經(jīng)被拉長，其原長率為ξ1，所以該部分紙幅的原長度應(yīng)為ξ1L22。因此，在第2個時間間隔內(nèi)，兩輥組間紙幅的原長度O2為：

同理可推，在第3個時間間隔內(nèi)兩輥組間紙幅的原長度O3和原長率ξ3分別為：

在第N個時間間隔內(nèi)兩輥組間紙幅的原長度ON和原長率ξN分別為：

把式（11）～式（13）代入式（10），并通過變換，得：

因為在兩輥組勻加速過程中其線速度差逐漸增大，輥組間紙幅的伸長率δN也相應(yīng)逐漸增大，原長率ξN逐漸減小，當原長率ξN減小到一定數(shù)值：

上式表明，在兩輥組同時啟動并分別勻加速到額定線速度V1、V2的過程中，輥組間紙幅的原長率ξN減小到一定數(shù)值后不再發(fā)生變化，為恒定值。

由上述可知，L11=v11Δt=a1（Δt）2、L21=v21Δt=a2（Δt）2，將其代入式（15），并結(jié)合式（16），得：

在文獻［1］中，兩輥組忽略其啟動加速過程、在給定輥面線速度差V2-V1的條件下，輥組間紙幅的原長率ξ隨著時間t的增長逐漸趨于一恒定值，該恒定值為：

式（18）與式（17）一致?？紤]到在兩輥組勻加速到額定線速度并以額定線速度持續(xù)運轉(zhuǎn)的過程中，輥組間紙幅的原長率ξ是連續(xù)變化的，所以推測兩輥組的線速度分別達到額定線速度V1、V2時，輥組間紙幅的原長率ξ同時達到該恒定值。

5 兩輥組勻加速過程中輥組間紙幅伸長率的變化曲線

通過實例計算來探討兩輥組啟動并勻加速到額定線速度的過程中輥組間紙幅原長率和伸長率的變化，從而驗證上述推測。

假設(shè)輥組1的額定線速度V1為190 m/min，輥組2的額定線速度V2為200 m/min，兩輥組傳動點之間的紙幅長度L為0.8 m，啟動加速時間ta為4 s，時間間隔Δt定為0.1 s，進入輥組1前紙幅的原長率ξq=0.98（伸長率δq=0.0204）。根據(jù)式（9）和式（10），反復(fù)遞推計算各時間間隔內(nèi)輥組間紙幅的原長率ξ及伸長率δ，得到實例計算的結(jié)果（見表1）。

由表1可以看出，在勻加速過程中，原長率ξ逐漸減小，伸長率δ逐漸增大，并分別趨于恒定值0.9310、0.07411。對應(yīng)地使用式（17）進行計算，得：

該計算結(jié)果與表1最終的遞推結(jié)果一致。如果改變輥組1的額定線速度V1，例如分別取為195 m/min，199 m/min，重復(fù)以上遞推過程，也將得到與計算結(jié)果一致的遞推結(jié)果（該遞推計算過程這里不再冗述）。

以上實例計算的結(jié)果驗證了上述推測：兩輥組經(jīng)勻加速分別達到額定線速度V1、V2時，輥組間紙幅的原長率ξ同時達到恒定值，該恒定值為：

表1 各時間間隔內(nèi)兩輥組間紙幅的原長率和伸長率

此時伸長率δ也達到恒定值，為：

把實例計算結(jié)果繪制成圖（見圖4），可看出輥組間紙幅伸長率δ在這一過程中的變化。

圖4 紙幅伸長率δ隨輥組勻加速的變化規(guī)律

6 兩輥組勻減速過程中輥組間紙幅伸長率的變化

假設(shè)進入輥組1前紙幅的伸長率仍為δq、原長率仍為ξq。因為在減速前兩輥組經(jīng)勻加速分別達到額定線速度V1、V2，輥組間紙幅伸長率和原長率達到并保持恒定值，所以此時輥組間紙幅的伸長率δ0=（δq+1）V2/V1-1，原長率ξ0=ξq V1/V2=ξqa1/a2（如圖5所示）。減速時輥組1的減速度為a3，輥組2的減速度為a4，減速時間均為td，兩輥組傳動點之間的紙幅長度為L。

圖5 減速前的兩輥組及輥組間的紙幅伸長率

將兩輥組勻減速到停止期間紙幅伸長變形的過程劃分為若干個細小的時間間隔，逐步分析紙幅伸長率的變化。

在第1個時間間隔Δt內(nèi)，輥組1減速到線速度v11=V1-a3Δt，并往兩輥組間送進長度為L11=v11Δt的紙幅，因為輥組1送進的紙幅其原長率為ξq，所以該部分紙幅的原長度應(yīng)為ξq L11。輥組2減速到線速度v21=V2-a4Δt，并從兩輥組間帶走長度為L21=v21Δt的紙幅，因為在減速前輥組間紙幅的原長率為ξ0，所以帶走的該部分紙幅其原長度為ξ0L21。因此，在第1個時間間隔內(nèi)，兩輥組間紙幅的原長度O1為：

因為L11=v11Δt=（V1-a3Δt）Δt、L21=v21Δt=（V2-a4Δt）Δt，將其代入式（23），得：

由上述可知：

在第2個時間間隔Δt內(nèi)，輥組1減速到線速度v12=V1-a3·2Δt，并往兩輥組間送進長度為L12=v12Δt的紙幅，該部分紙幅的原長度為ξq L12。輥組2減速到線速度v22=V2-a4·2Δt，并從輥組間帶走長度為L22=v22Δt的紙幅，因為輥組2帶走的紙幅經(jīng)第一個時間間隔其原長率變化為ξ1，所以該部分紙幅的原長度應(yīng)為ξ1L22。因此，在第2個時間間隔內(nèi)，兩輥組間紙幅的原長度O2為：

同理可推，在第3個時間間隔內(nèi)兩輥組間紙幅的原長度O3和原長率ξ3分別為

同理在第1、2個時間間隔的推導(dǎo)計算，對式（38）進行展開，得：

在第N個時間間隔內(nèi)，兩輥組間紙幅的原長度ON和原長率ξN分別為：

上式表明，兩輥組勻減速到停止的過程中輥組間紙幅的原長率為恒定值，該恒定值與之前兩輥組經(jīng)勻加速分別達到額定線速度V1、V2時的原長率恒定值一致。

7 兩輥組由停止重新勻加速到額定線速度過程中輥組間紙幅伸長率的變化

假設(shè)進入輥組1前紙幅的伸長率仍為δq，原長率仍為ξq。而兩輥組間紙幅的原長率經(jīng)勻減速到停止的過程后仍保持恒定值ξ0=ξq V1/V2（如圖6所示）。重新啟動后輥組1經(jīng)勻加速達到額定線速度V1，其加速度仍為a1，輥組2經(jīng)勻加速達到額定線速度V2，其加速度仍為a2，加速時間均仍為ta。

將兩輥組重新啟動加速期間紙幅伸長變形的過程劃分為若干個細小的時間間隔，逐步分析紙幅伸長率的變化。

圖6 重新啟動前的兩輥組及輥組間的紙幅伸長率

在第1個時間間隔Δt內(nèi)，輥組1重新啟動并加速到線速度v11=a1Δt，并往兩輥組間送進長度為L11=v11Δt的紙幅，該部分紙幅的原長度為ξq L11。輥組2重新啟動并加速到線速度v21=a2Δt，并從兩輥組間帶走長度為L21=v21Δt的紙幅，因為重新啟動前輥組間紙幅的原長率保持恒定值ξ0，所以該部分紙幅的原長度為ξ0L21。因此，在第1個時間間隔內(nèi)，兩輥組間紙幅的原長度O1為：

在第2個時間間隔Δt內(nèi)，輥組1加速到線速度v12=a1·2Δt，并往兩輥組間送進長度為L12=v12Δt的紙幅，該部分紙幅的原長度為ξq L12。而輥組2加速到線速度v22=a2·2Δt，并從兩輥組間帶走長度為L22=v22Δt的紙幅，因為此時輥組2帶走的紙幅其原長率為ξ1，所以該部分紙幅的原長度為ξ1L22。因此，在第2個時間間隔內(nèi)，兩輥組間紙幅的原長度O2為：

在第3個時間間隔內(nèi)，兩輥組間紙幅的原長度O3和原長率ξ3分別為：

同理在第1、2個時間間隔的推導(dǎo)計算，對式（59）進行展開，得：

在第N個時間間隔內(nèi)，兩輥組間紙幅的原長度ON和原長率ξN分別為：

上式表明，在兩輥組重新啟動并分別勻加速到額定線速度V1、V2的過程中，輥組間紙幅的原長率仍保持與重新啟動前一致的恒定值。

8 兩輥組加減速過程中紙幅伸長率的變化以及伸長率保持恒定值的條件

綜上所述，輥組1和輥組2第一次啟動并分別以加速度a1、a2進行勻加速，在加速過程中輥組間紙幅的原長率ξ逐漸減小，伸長率δ逐漸增大，并且在兩輥組分別達到額定線速度V1、V2的同時其紙幅原長率ξ達到恒定值ξq V1/V2，對應(yīng)伸長率δ達到恒定值（δq+1）V2/V1-1。然后兩輥組以額定線速度V1、V2持續(xù)運轉(zhuǎn)一段時間后分別以減速度a3、a4勻減速到停止，停止結(jié)束后，兩輥組又重新啟動并分別以相同的加速度a1、a2勻加速到額定線速度V1、V2……在這幾個工作過程以及此后重復(fù)的減速停止、啟動加速過程中，輥組間紙幅的伸長率δ始終保持該恒定值（如圖7所示）。

圖7 復(fù)卷機加減速過程中兩輥組間紙幅伸長率的變化

在紙幅的彈性變形中，紙幅張力與紙幅伸長率成正比關(guān)系，因此紙幅張力也符合以上規(guī)律，圖7同樣反映了復(fù)卷機加減速過程中紙幅張力的變化。

設(shè)輥組1、輥組2勻加速時間分別為t1、t2，勻減速時間分別為t3、t4，由上述的推導(dǎo)過程可知，在輥組1、輥組2勻減速過程中要保持輥組間紙幅的伸長率恒定，必須滿足a2a3=a1a4，即：

通過設(shè)定t1=t2=ta，t3=t4=td可以使上式成立，也就是說，通過設(shè)定輥組1、輥組2的勻加速時間及勻減速時間分別相等，可使復(fù)卷機在第一次啟動加速后的連續(xù)加減速工作過程中輥組間的紙幅伸長率（紙幅張力）保持恒定。

9 結(jié) 論

復(fù)卷機在第一次啟動并勻加速到額定線速度時，輥組間的紙幅張力達到恒定值，在隨后重復(fù)的勻減速停止及重新啟動加速的工作過程中紙幅張力仍保持該恒定值。并且，可通過設(shè)定復(fù)卷機各輥組勻加速和勻減速的時間分別相等來實現(xiàn)這一運行規(guī)律。上述的規(guī)律和實現(xiàn)條件，對實際生產(chǎn)有重要的指導(dǎo)意義。

（1）該規(guī)律解釋了啟停式復(fù)卷機重復(fù)啟動加速和減速停機仍能生產(chǎn)出松緊均勻的紙卷的原因：復(fù)卷過程中，輥組間紙幅張力保持恒定，進入復(fù)卷輥組的紙幅其松緊程度也保持穩(wěn)定。

（2）以各輥組加減速時間分別相等為準則，對復(fù)卷機上各輥組進行速度控制，能保證啟停式復(fù)卷機生產(chǎn)的成品紙卷松緊程度均勻一致。而對不停機的復(fù)卷生產(chǎn)線而言，在有需要進行停機檢修時，保持輥組間紙幅狀態(tài)不變，以該準則重新啟動開機，能保證生產(chǎn)的紙卷品質(zhì)不變的同時，減少調(diào)試時間，降低因停機產(chǎn)生的次品率。

（3）復(fù)卷機在每次更換原紙后，可通過適當減少第一次啟動加速時間，降低復(fù)卷機第一次開機時產(chǎn)生的次品率。而對高速復(fù)卷機，適當加大減速時間，減緩減速時間的速度變化，可減輕復(fù)卷機零部件的磨損及電機發(fā)熱現(xiàn)象。特別是車速1000 m/min以上的高速分切復(fù)卷機，減速時間的加長不會對紙卷的復(fù)卷品質(zhì)產(chǎn)生影響，但有利于保證分切效果。