整合教材典型問題 發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)力*——高一“函數(shù)”單元復(fù)習(xí)課的實(shí)踐與思考

羅建宇

一、問題背景

筆者曾在教研室工作了幾年，調(diào)研中發(fā)現(xiàn)，不少高中數(shù)學(xué)老師不重視設(shè)計(jì)起始年級的單元復(fù)習(xí)課。老師的普遍做法是知識羅列，或以習(xí)題課代替；稍微有點(diǎn)思考的老師，則將其設(shè)計(jì)成了專題復(fù)習(xí)課，拔高了要求，有了高三的味道，導(dǎo)致單元復(fù)習(xí)課缺乏針對性、有效性和系統(tǒng)性。更有甚者，在一個(gè)章節(jié)教學(xué)剛結(jié)束就立即開啟了下一章節(jié)的新授課教學(xué)，直接忽視了單元復(fù)習(xí)課的存在，更不利于學(xué)生整體地認(rèn)識章節(jié)知識。

筆者在一次教研活動中，在高一年級開設(shè)了一節(jié)《函數(shù)復(fù)習(xí)課》，表達(dá)了“整合教材典型問題，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)力”的觀點(diǎn)，獲得一致好評。筆者想通過這一節(jié)課的教學(xué)展示，引導(dǎo)大家關(guān)注高一年級的單元復(fù)習(xí)課。那么，如何上好這一節(jié)高一的單元復(fù)習(xí)課呢？我思考了如下三個(gè)問題：（1）選題要典型；（2）復(fù)習(xí)內(nèi)容要涵蓋函數(shù)的主干知識和思想方法；（3）讓學(xué)生“編制”一些問題，增強(qiáng)參與性并提高問題意識。針對上述問題及高一學(xué)生學(xué)習(xí)特點(diǎn)，筆者從課本一道經(jīng)典習(xí)題的函數(shù)模型出發(fā)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，逐步通過分析、變式、聯(lián)想、引申等過程，對函數(shù)的主干知識和思想方法進(jìn)行復(fù)習(xí)，且使得到的“新”函數(shù)模型仍是典型的函數(shù)模型，從而將教材典型問題進(jìn)行串聯(lián)整合，以期望引導(dǎo)師生關(guān)注課本典型習(xí)題，感悟習(xí)題蘊(yùn)含的重要知識與方法。

為展現(xiàn)樸實(shí)卻靈動的數(shù)學(xué)課堂，傳遞在課堂中不過分依賴“導(dǎo)學(xué)案”的思想，筆者采用了留白的方式（變式、引申、串講等問題不印出來，根據(jù)教學(xué)實(shí)際情況在課堂上引出）設(shè)計(jì)了導(dǎo)學(xué)案（見圖1），課前發(fā)放給學(xué)生預(yù)習(xí)。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)與生成

1.預(yù)習(xí)設(shè)計(jì)。

例題與變式1、2 見圖1。

圖1

變式2 的題干部分沒有寫完，它是一個(gè)簡單問題：解不等式f（1-m）+f（1-m2）＜0，利用例1 前兩問的結(jié)論即可完成。這樣設(shè)計(jì)主要考慮以下兩個(gè)原因。

（1）選擇這個(gè)問題，是為了完整復(fù)習(xí)單調(diào)性定義中包含的三個(gè)方面。我們知道，單調(diào)性（以單調(diào)遞增為例）定義：如果對于區(qū)間I 內(nèi)的任意兩個(gè)值x1x2，當(dāng)時(shí)x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），那么就說y=f（x）在區(qū)間I 上是單調(diào)遞增的。數(shù)學(xué)概念定義的條件和結(jié)論都是互為充要條件的，因此其逆命題亦成立。視“x1＜x2”為條件①，“f（x1）＜f（x2）”為條件②，“y=f（x）在區(qū)間I 上是單調(diào)遞增”為條件③，在解題教學(xué)中常有三個(gè)情形：①②→③用作定義法證單調(diào)性（例1 第2 小問）；①③→②用作比大小、求值域（變式1 第2小問）；②③→①用作利用單調(diào)性解不等式（常與奇偶性結(jié)合），其中條件①中兩值需在給定的（單調(diào)）區(qū)間內(nèi)（即變式2）。

（2）這個(gè)問題在課堂上解答并不難，選擇在學(xué)案上留白，于課堂中生成，更能彰顯課堂的靈動，同時(shí)通過變式讓學(xué)生鞏固和回憶以前學(xué)習(xí)的知識（題型），為下一步的“聯(lián)想”做鋪墊。

2.聯(lián)想設(shè)計(jì)。

請回憶先前學(xué)習(xí)的知識和解答過的問題，基于上例函數(shù)提出一個(gè)數(shù)學(xué)問題并解答。

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生分組解決問題并闡述解決方法，復(fù)習(xí)相關(guān)知識點(diǎn)，使概念、思想、方法成系統(tǒng)。通過這一教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)，不僅讓學(xué)生回憶了已學(xué)知識，而且知曉這些知識之間的聯(lián)系和區(qū)別，經(jīng)歷提出問題、分析問題、解決問題過程，有效培育學(xué)生“四基四能”，提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

3.探究設(shè)計(jì)。

變式3 見圖1。

【設(shè)計(jì)意圖】變式3 實(shí)則為探究設(shè)計(jì)，它的解決，大部分學(xué)生是依據(jù)奇函數(shù)定義，通過運(yùn)算得到k=±1，用此類問題訓(xùn)練運(yùn)算能力也是設(shè)置本題的目的之一。選用本題還有兩個(gè)想法，一是解決此類填空題時(shí)，可以奇函數(shù)的定義域特點(diǎn)作考慮，若其為R，由f（0）=0，得k=1，若其不為R，由定義域（即x≠log2（-k））關(guān)于原點(diǎn)對稱，可得k=-1；二是當(dāng)k=1 時(shí)，函數(shù)為例題所選函數(shù)（已研究），當(dāng)k=-1 時(shí)的函數(shù)如何研究，為下一步“串講”做鋪墊。

4.串講設(shè)計(jì)。

串講2：示例中的解析式，能否用函數(shù)表示。

【設(shè)計(jì)意圖】串講1 中的函數(shù)仍然是典型的函數(shù)模型，要作其草圖，需要像探索例題的每個(gè)小問一樣，先研究函數(shù)性質(zhì)，通過性質(zhì)整體把握函數(shù)特征，再作出函數(shù)的圖象（草圖），進(jìn)而鞏固這一研究函數(shù)圖象性質(zhì)的一般方法。將串講1的函數(shù)圖象與例題中的函數(shù)圖象畫在同一個(gè)坐標(biāo)系中（可用數(shù)學(xué)軟件演示），可以發(fā)現(xiàn)，例題中函數(shù)零點(diǎn)的位置對應(yīng)串講1 中函數(shù)圖象的漸近線，揭示了互為倒數(shù)關(guān)系的函數(shù)的圖象關(guān)系。

三、幾點(diǎn)思考

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）》明確提出我國高中學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析。華東師范大學(xué)徐斌艷教授在概述國內(nèi)外數(shù)學(xué)學(xué)力研究的基礎(chǔ)上，提出了我國數(shù)學(xué)學(xué)力模型的構(gòu)建思路，即在具有國際視野、體現(xiàn)我國特色的前提下，將數(shù)學(xué)教學(xué)看作數(shù)學(xué)活動的教學(xué)，以數(shù)學(xué)活動為視角，提出包括數(shù)學(xué)地提出問題、數(shù)學(xué)表征與變換、數(shù)學(xué)推理論證、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)地問題解決和數(shù)學(xué)交流等六大數(shù)學(xué)學(xué)科核心能力。［1］數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)學(xué)力并不是相互獨(dú)立的。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)對整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)具有指導(dǎo)意義，起著統(tǒng)領(lǐng)性的作用。數(shù)學(xué)學(xué)力則可視為在核心素養(yǎng)指導(dǎo)下的具體的操作方法，是具化數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的現(xiàn)實(shí)路徑。筆者在本節(jié)課的教材典型問題的整合中，充分考慮了學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成和數(shù)學(xué)學(xué)力的發(fā)展。筆者以為，單元復(fù)習(xí)課是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)力的重要課型。為了更好地促進(jìn)單元復(fù)習(xí)課的實(shí)施，也為了更好發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)力、提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，在進(jìn)行單元復(fù)習(xí)課時(shí)，需要考慮以下幾點(diǎn)——

1.例題選取突出典型示范。

當(dāng)前的高一復(fù)習(xí)課中，照搬高三復(fù)習(xí)資料中的成品例題現(xiàn)象嚴(yán)重，導(dǎo)致教學(xué)起點(diǎn)過高、難度過大，進(jìn)而造成教學(xué)重心偏移，起不到基礎(chǔ)年級應(yīng)有的復(fù)習(xí)效果。因此，高一單元復(fù)習(xí)課教學(xué)的例題選擇一定要注意針對性、適度性和思考性。［2］實(shí)際上，教材中有很多適合學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)的典型例題，對其進(jìn)行恰當(dāng)?shù)淖兪?、串講、改編后進(jìn)行復(fù)習(xí)教學(xué)，能將單元知識內(nèi)容有機(jī)融合，問題解決的方法得以提煉升華，在教學(xué)中起到很好的示范作用，對學(xué)生的思維訓(xùn)練與能力提升是有益的。本節(jié)課選擇的例題即來源于教材，突出典型示范性，通過系列的變式、改編、聯(lián)想、串講，將“函數(shù)”一章的知識和方法進(jìn)行系統(tǒng)的復(fù)習(xí)和梳理，有利于增強(qiáng)學(xué)生的課堂參與性，有效的提升學(xué)生的問題意識，發(fā)展學(xué)生“數(shù)學(xué)地提出問題”與“數(shù)學(xué)推理論證”兩大數(shù)學(xué)學(xué)力。

2.教學(xué)設(shè)計(jì)注重單元整體。

由于學(xué)生在新課學(xué)習(xí)中獲得的知識相對比較零散，因此比較容易遺忘或混淆，開設(shè)單元復(fù)習(xí)課就顯得很有必要，這能從統(tǒng)整的角度對本單元的知識進(jìn)行梳理、歸納、鞏固，以達(dá)到厘清知識間邏輯關(guān)聯(lián)，構(gòu)建出整章知識網(wǎng)絡(luò)，從而使學(xué)生對單元知識有整體把握，這既是概念教學(xué)的一種重構(gòu)，也是一種單元整體觀下的教學(xué)實(shí)踐。

單元復(fù)習(xí)課教學(xué)還應(yīng)通過示范讓學(xué)生學(xué)會整理，對單元的知識能夠進(jìn)行有序合理地建構(gòu)，通過圖、表的方式，形成一個(gè)主線突出、脈絡(luò)清晰、體系完整的知識結(jié)構(gòu)。［3］本節(jié)課，通過對例題的解析、變式、聯(lián)想、串講，梳理了函數(shù)問題的一般研究路徑：定義域→基本性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性）→值域→應(yīng)用（零點(diǎn)問題、恒成立問題、有解問題等）。在此基礎(chǔ)上，辯證看待函數(shù)圖象性質(zhì)的研究方法，新授課教學(xué)中采用的是從形到數(shù)，即通過對基本初等函數(shù)（指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)）的圖象來歸納得到相應(yīng)函數(shù)性質(zhì)的；對新函數(shù)的研究則采用從數(shù)到形，即通過對函數(shù)的性質(zhì)研究來作函數(shù)圖象（草圖）。這種思想方法通過單元復(fù)習(xí)課凸顯和建構(gòu)出來，形成今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知方式，正是單元復(fù)習(xí)課的價(jià)值所在。因此，單元復(fù)習(xí)課應(yīng)該是研究內(nèi)容與研究方法的融合，更重要的是，通過單元復(fù)習(xí)課能使學(xué)生獲得研究一類問題的基本方法，并能在數(shù)學(xué)研究過程中，利用掌握的基本方法去嘗試解決其他一些問題，將不熟悉的情境問題轉(zhuǎn)化為已知的情境的問題并加以解決，有效地發(fā)展學(xué)生“數(shù)學(xué)地解決問題”與“數(shù)學(xué)表征與變換”兩大數(shù)學(xué)學(xué)力。

3.教學(xué)過程關(guān)注學(xué)生交流。

當(dāng)前的很多公開課、展示課活動中，因?yàn)槭谡n老師課前精心做了過于“充分”的準(zhǔn)備，常出現(xiàn)學(xué)生課前預(yù)習(xí)過于充分，上課的內(nèi)容基本提前已知，導(dǎo)學(xué)案中呈現(xiàn)內(nèi)容過多，課堂上學(xué)生對習(xí)題的變式引申的體會不深刻，思維鍛煉深度不夠的現(xiàn)象。［4］這樣的課堂雖然看似熱鬧，學(xué)生參與度高，卻思維訓(xùn)練不到位，華而不實(shí)，不能讓學(xué)生經(jīng)歷真正的數(shù)學(xué)活動并積累基本活動經(jīng)驗(yàn)。數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，是動作與心智交互作用的結(jié)果，要引導(dǎo)學(xué)生親身經(jīng)歷，要“帶著問題”親身投入到數(shù)學(xué)活動中來，進(jìn)行積極地觀察、操作、實(shí)驗(yàn)、猜測、歸納、推理等活動，形成豐富的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。因此，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，要注重學(xué)生的主動參與、成果交流，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)在學(xué)生的經(jīng)歷、自主探究和交流共享中的自然生長。教師不能急于數(shù)學(xué)知識的生成，不要讓學(xué)生的經(jīng)歷、自主和交流演變成假性參與和假性交流，要把時(shí)間和機(jī)會留給學(xué)生，把課堂還給學(xué)生，把自己的精力放在鼓勵學(xué)生自主探索和合作交流上，如此才能有效地發(fā)展學(xué)生“數(shù)學(xué)交流”這一數(shù)學(xué)學(xué)力。

當(dāng)然，我們還應(yīng)認(rèn)識到數(shù)學(xué)學(xué)力的發(fā)展不可能僅通過一節(jié)課、一種課型就能發(fā)展起來，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)力的發(fā)展是一個(gè)長期的過程。本文僅以整合教材典型問題作為切入點(diǎn)，探討在單元復(fù)習(xí)課中如何有效地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)力，其他課型如何發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)力還有其他方式、方法嗎等問題。教學(xué)研究永無止境。