光電穩(wěn)定平臺中Stribeck 摩擦力矩的補償方法*

韓小康，董 浩，王 明，金敬強，董祺寧，張 雷

（北方自動控制技術(shù)研究所，太原 030006）

0 引言

光電穩(wěn)定平臺是一種高精度的穩(wěn)定系統(tǒng)，可以實現(xiàn)對地、對空目標的大范圍全景式探測。其主要功能是隔離載體角運動，保持平臺指向準確、朝向穩(wěn)定。由于摩擦力矩等非線性干擾的存在［1］，容易產(chǎn)生滯滑爬行等現(xiàn)象，影響系統(tǒng)穩(wěn)定性。

目前，針對光電穩(wěn)定平臺的穩(wěn)定控制，學(xué)者們提出了眾多方法。針對穩(wěn)定系統(tǒng)中的非線性擾動，Li B，Hullender D，Derenzo M［2］采用LQG 和Kalman濾波算法對擾動進行實時估計和補償，并采用自校正控制的方法以提高LQG 算法的魯棒性，結(jié)果表明，這種算法相比于傳統(tǒng)的PI 算法精度提高了近一倍；王合龍，劉建業(yè)［3］提出的基于線性自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)原理的改進算法，可以有效抑制線性擾動對平臺的影響，但是對非線性擾動的抑制效果不佳；李賢濤，張葆等人［4］提出的自抗擾擾動器可對擾動進行估計和補償。但是這些算法計算量大，計算復(fù)雜，或依賴被控對象的精確數(shù)學(xué)模型，工程實現(xiàn)較難，由于庫倫摩擦、靜摩擦、粘滯摩擦等各種非線性擾動的存在，系統(tǒng)采用經(jīng)典控制很難保證平臺的穩(wěn)定精度，因此，需要一種可以有效抑制非線性擾動的控制方法。

滑模變結(jié)構(gòu)控制能夠通過控制器本身結(jié)構(gòu)的變化，突破經(jīng)典線性控制系統(tǒng)的限制，用滑模變結(jié)構(gòu)控制方法來研究非線性系統(tǒng)的魯棒問題，易于工程實現(xiàn)［5］。本文提出采用指數(shù)趨近律的滑模變結(jié)構(gòu)的方法，將其用于速度環(huán)進行仿真分析，并與速度環(huán)為經(jīng)典PI 算法的系統(tǒng)進行比較。

1 雙閉環(huán)調(diào)速系統(tǒng)模型建立

1.1 建模與分析

直流電機雙閉環(huán)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，如圖1所示。

圖1 雙閉環(huán)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖

系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型可以寫為

通過式（1）可得，F(xiàn)f為摩擦力，x1（t）=θ（t）為轉(zhuǎn)角，x2（t）=ω（t）為角速度，對于直流電機雙閉環(huán)調(diào)速系統(tǒng)狀態(tài)方程描述如下：

式中，

1.2 Stribeck 摩擦

摩擦是一種復(fù)雜的現(xiàn)象，對摩擦模型的研究經(jīng)歷了相當(dāng)長的時間。傳統(tǒng)的leonarndo Da Vinci 模型是假定摩擦力的大小正比于負載質(zhì)量，與運動方向相反，與接觸面無關(guān)。目前工程中經(jīng)常采用的有庫倫摩擦模型、庫倫+粘滯摩擦模型、靜摩擦+庫倫摩擦+粘滯摩擦模型及Stribeck 摩擦模型。Stribeck摩擦模型相較于上述3 種摩擦模型都更接近工程實際。

Stribeck 摩擦力曲線，如圖2 所示。

圖2 Stribeck 摩擦力曲線

Stribeck 等人通過實驗觀察得出，物體從靜止到運動的過程中，摩擦力的變化實際上是連續(xù)的。低速運動時，摩擦力矩隨角速度的增大而減小的效應(yīng)，稱為Stribeck 效應(yīng)［6］，相應(yīng)的模型稱為Stribeck模型。其表達式為

式中，F(xiàn)c為庫倫摩擦力，F(xiàn)s為最大靜摩擦力，B 為粘滯摩擦系數(shù)，θ˙為輸出角速度，?1為經(jīng)驗常數(shù)。

2 滑模變結(jié)構(gòu)控制

2.1 滑模變結(jié)構(gòu)控制原理

變結(jié)構(gòu)控制（variable structure control，VSC）出現(xiàn)于20 世紀50 年代，因為它的控制是不連續(xù)的，所以本質(zhì)上它是一類非線性控制。這種控制策略的特點是，在產(chǎn)生控制作用的動態(tài)過程中系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)是可以有目的地不斷變化的，系統(tǒng)當(dāng)前的各種狀態(tài)是這種變化的依據(jù)，它們迫使系統(tǒng)按照預(yù)定的“滑動模態(tài)”軌跡進行運動，因此，變結(jié)構(gòu)控制也被稱為滑動模態(tài)控制（sliding mode control，SMC）即滑模變結(jié)構(gòu)控制?；Ｗ兘Y(jié)構(gòu)控制具有很多優(yōu)點，諸如響應(yīng)比較快，魯棒性好，物理實現(xiàn)簡單等，這些都得益于滑動模塊可以進行設(shè)計且與對象參數(shù)及擾動無關(guān)的特點。

2.2 滑模變結(jié)構(gòu)控制器設(shè)計

滑模變結(jié)構(gòu)控制的設(shè)計就是需要確定切換函數(shù)s（x）（x∈Rm），以求解控制函數(shù)：

1）滑動模態(tài)存在；

2）滿足可達性條件，即在切換面以外的點可以在有限時間內(nèi)到達切換面；

3）保證滑模運動的穩(wěn)定性；

4）達到控制系統(tǒng)的動態(tài)品質(zhì)要求。

設(shè)轉(zhuǎn)速控制器輸入誤差方程為

式中，?為轉(zhuǎn)速環(huán)反饋系數(shù)，ω 為轉(zhuǎn)速。

設(shè)滑模面為

對式（6）求導(dǎo)，得到

由于

將式（8）代入式（7）中得

指數(shù)趨近律具有加快趨近時間、削弱抖動的功能，取指數(shù)趨近律如下

式中，ε>0，k>0。

當(dāng)運動點遠離切換面時，趨近速度主要取決于-k·s項；當(dāng)?shù)竭_切換面時，趨近速度主要取決于-ε·sgn（s）項，因此，k 取值較大，ε 取值較小。

滑?？刂坡傻那笕∧繕耸菫槭瓜到y(tǒng)在有限時間內(nèi)到達滑模面上并保持穩(wěn)定，聯(lián)立式（9）與式（10）可得

根據(jù)式（1）可知

因此，

將式（11）代入上式得到控制律

利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，取李雅普諾夫函數(shù)

對式（10）求導(dǎo)得到

由李雅普諾夫穩(wěn)定判據(jù)可知，設(shè)計的滑模變結(jié)構(gòu)控制器滿足穩(wěn)定性要求。

3 仿真研究

假設(shè)某型光電穩(wěn)定平臺的載體相對于慣性空間以0.65 rad/s 的角速度轉(zhuǎn)動，此時轉(zhuǎn)速環(huán)的輸入誤差為10 V，若想使得平臺相對于慣性空間朝向穩(wěn)定，需要使平臺沿著與載體相反的方向運動以抵消載體的角速度。

假設(shè)電機電樞電阻Ra=5 Ω，電機時間常數(shù)TL=0.01 s，電機力矩系數(shù)KI=0.2 N·m/A，反電動勢系數(shù)Ke=2 V/A，轉(zhuǎn)動慣量Jm=0.013 kg·m2，慣性時間常數(shù)Ts=0.003 s，放大系數(shù)Kp=3。庫倫摩擦力0.01 N·m，最大靜摩擦力0.03 N·m，粘性摩擦系數(shù)0.02，?1=3得到Stribeck 波形，如圖3 所示。

圖3 某型光電穩(wěn)定平臺中的Stribeck 摩擦力

圖4 滑模變結(jié)構(gòu)與經(jīng)典PI 抑制摩擦對比圖

由圖4 可知，光電穩(wěn)定平臺相對于載體最終的穩(wěn)定轉(zhuǎn)速為0.65 rad/s，滑模變結(jié)構(gòu)控制器的超調(diào)量為0.01 rad/s，經(jīng)典PI 控制器的超調(diào)量0.07 rad/s，滑模變結(jié)構(gòu)控制器的調(diào)節(jié)時間為0.16 s，經(jīng)典PI 控制器的調(diào)節(jié)時間為0.23 s，滑模變結(jié)構(gòu)控制器相比于經(jīng)典PI 控制器，上升時間更短，超調(diào)更小。

由圖5 可知，對于轉(zhuǎn)速環(huán)中10 V 的輸入誤差，滑模變結(jié)構(gòu)控制經(jīng)過0.13 s 將其補償為零，而經(jīng)典控制經(jīng)過0.27 s 才能將其補償為零。

圖5 轉(zhuǎn)速環(huán)輸入誤差的對比圖

4 結(jié)論

本文通過對光電穩(wěn)定平臺中控制系統(tǒng)的建模，建立轉(zhuǎn)速電流雙閉環(huán)控制系統(tǒng)的仿真模型，在轉(zhuǎn)速環(huán)中使用滑模變結(jié)構(gòu)控制器對Stribeck 摩擦力矩進行補償。通過仿真分析可知，滑模變結(jié)構(gòu)控制的超調(diào)量為0.01 rad/s，而經(jīng)典控制的超調(diào)量為0.07 rad/s，滑模變結(jié)構(gòu)控制的調(diào)節(jié)時間為0.16 s，而經(jīng)典控制的調(diào)節(jié)時間為0.23 s；同時，對于載體擾動，滑模變結(jié)構(gòu)控制的補償時間為0.13 s，小于經(jīng)典控制的補償時間0.27 s。因此，相比于經(jīng)典PI 控制，滑模變結(jié)構(gòu)控制的上升時間更短，超調(diào)更小，對光電穩(wěn)定平臺Stribeck 摩擦的補償效果更好。