基于估值修正的分布式傳感器網(wǎng)絡(luò)最小均方算法*

胡品端，熊慶國(guó)

（1.三峽大學(xué)電氣與新能源學(xué)院，湖北 宜昌 443002；2.武漢科技大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，武漢 430081）

0 引言

由多傳感器節(jié)點(diǎn)（簡(jiǎn)稱節(jié)點(diǎn)）組成的分布式無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)，能夠利用節(jié)點(diǎn)間的協(xié)作及信息互補(bǔ)實(shí)現(xiàn)魯棒監(jiān)測(cè)，節(jié)點(diǎn)信息共享增強(qiáng)了其相關(guān)參數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確性和抗干擾能力，在精準(zhǔn)偵察、環(huán)境監(jiān)測(cè)等實(shí)際工程中得到了廣泛應(yīng)用［1］。

節(jié)點(diǎn)間信息共享時(shí)的參數(shù)估計(jì)性能，影響著其傳感器網(wǎng)絡(luò)能否快速準(zhǔn)確地進(jìn)行信息共享和系統(tǒng)魯棒性［2］。在傳感器網(wǎng)絡(luò)中，每個(gè)節(jié)點(diǎn)傳感器都具有一定的信息處理能力，但由于單個(gè)節(jié)點(diǎn)的能量、感知范圍、處理能力和抗干擾能力是有限的，借助多節(jié)點(diǎn)傳感器協(xié)作可有效提高對(duì)監(jiān)測(cè)區(qū)信息估計(jì)的準(zhǔn)確性和魯棒性。分布式傳感器自適應(yīng)濾波網(wǎng)絡(luò)能夠自適應(yīng)地迭代逼近未知向量，實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)的準(zhǔn)確估計(jì)，有效繼承了自適應(yīng)濾波與分布式器網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)異性能，將節(jié)點(diǎn)間的信息聯(lián)合互補(bǔ)計(jì)算與網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)收斂能力有機(jī)結(jié)合，成為分布式估計(jì)的研究熱點(diǎn)［3］。Takizawa［4］等人提出基于增量協(xié)作方式的增量最小二乘分布式自適應(yīng)濾波，但其對(duì)節(jié)點(diǎn)的環(huán)形循環(huán)結(jié)構(gòu)要求限制了其在大規(guī)模節(jié)點(diǎn)及復(fù)雜拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中的應(yīng)用，于是又將擴(kuò)散算法的策略與最小均方（Least Mean Square，LMS）算法結(jié)合，提出了擴(kuò)散最小均方（Diffusion LMS，DLMS）算法，其簡(jiǎn)單的分布結(jié)構(gòu)要求和穩(wěn)健性的算法性能受到廣泛關(guān)注，但其受到脈沖噪聲干擾時(shí)估計(jì)性能大大降低。Cattivelli［5］等人采用DLMS 算法實(shí)現(xiàn)分布式傳感器網(wǎng)絡(luò)的未知參數(shù)估計(jì)；BOUBOULIS［6］等人使用隨機(jī)傅里葉特征將擴(kuò)散模型近似為固定大小的矢量，提出了一種基于網(wǎng)絡(luò)內(nèi)核學(xué)習(xí)的擴(kuò)散方案，并分析了漸近收斂條件和邊界值；張紅梅［7］等人基于改進(jìn)的Sigmoid 函數(shù)構(gòu)建DLMS 變步長(zhǎng)調(diào)整策略，以緩解收斂速度與估計(jì)誤差間的沖突；Ni［8］等人基于誤差函數(shù)的符號(hào)函數(shù)化改進(jìn)DLMS 算法，抗脈沖噪聲干擾性能優(yōu)越［9］；張勇剛［10］等以最小化網(wǎng)絡(luò)均方誤差為準(zhǔn)則，提出一種變階數(shù)自適應(yīng)網(wǎng)絡(luò)濾波算法，以解決階數(shù)未知或時(shí)變時(shí)的參數(shù)向量估計(jì)，具有計(jì)算量小、可操作性強(qiáng)及估計(jì)精度高等特點(diǎn)。

在已有算法基礎(chǔ)上，為構(gòu)建快速收斂和低穩(wěn)態(tài)誤差，同時(shí)處理脈沖干擾的自適應(yīng)濾波系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了一種基于未知參數(shù)估計(jì)值p 階范數(shù)修正的最小均方自適應(yīng)網(wǎng)絡(luò)濾波算法，在自適應(yīng)變步長(zhǎng)策略中引入?yún)?shù)估值的p 階范數(shù)，使得算法在收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差方面平衡的同時(shí)具有較好的抗噪聲干擾能力，仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了所提算法的性能和魯棒性。

1 擴(kuò)散最小均方算法

圖1 K 節(jié)點(diǎn)分布式傳感器網(wǎng)絡(luò)

對(duì)于網(wǎng)絡(luò)中第k=1，2，…，K 個(gè)節(jié)點(diǎn)，其輸出信號(hào)測(cè)量值可表示為：

2 參數(shù)估值范數(shù)約束的LMS 濾波

在上一節(jié)算法基礎(chǔ)上，采用式（5）所示的局部目標(biāo)函數(shù)［6］進(jìn)行分布式自適應(yīng)濾波

式中，通過(guò)估計(jì)誤差的p 階范數(shù)約束來(lái)提高算法對(duì)脈沖噪聲信號(hào)的抗干擾能力［6］，根據(jù)式（4），得到參數(shù)向量的迭代公式為：

式（6）換代增強(qiáng)了算法對(duì)脈沖噪聲信號(hào)的抗干擾能力，但仍需要解決收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差之間的矛盾。文獻(xiàn)［7］指出，自適應(yīng)濾波中步長(zhǎng)調(diào)整即在算法初始誤差較大時(shí)，采用較大步進(jìn)以加快迭代的收斂；而在算法后期估值逐漸趨于真值時(shí)，采用較小的步長(zhǎng)以獲得盡可能小且穩(wěn)定的迭代誤差。為此，通過(guò)研究Sigmoid 函數(shù)的曲線變化特性［8］，對(duì)函數(shù)進(jìn)行平移和翻轉(zhuǎn)后，建立文中所提算法的變步長(zhǎng)調(diào)整策略函數(shù)

從圖2 所示曲線可以看出，隨著誤差項(xiàng)ek（i）的范數(shù)階數(shù)p 的增大，濾波誤差值在趨向于0 的過(guò)程，即濾波算法逐漸穩(wěn)定的過(guò)程變得更加平緩，從而確保算法后期迭代步長(zhǎng)的選擇更加合理。但范數(shù)階數(shù)p 值的過(guò)大賦值，算法中期u（i）值的變化生成的誤差項(xiàng)ek（i）的變化值會(huì)過(guò)小，易導(dǎo)致算法為確保合理的誤差項(xiàng)變化值而過(guò)于增大u（i）的變化步長(zhǎng)，不利于算法對(duì)變步長(zhǎng)值的合理設(shè)置，反而增加算法迭代過(guò)程的振蕩甚至無(wú)法收斂，而這一問(wèn)題可以通過(guò)因子α 來(lái)彌補(bǔ)。從圖2 中|ek（i）|3曲線和0.5×|ek（i）|3曲線的變化特征可以看出，α 值的合理選擇增加了曲線杯口的寬度，使得u（i）曲線在保留p 值帶來(lái)的趨0 過(guò)程優(yōu)勢(shì)的同時(shí)，增加算法中期步長(zhǎng)變化與誤差變化的平衡。u（i）的步長(zhǎng)變化可以生成合理的ek（i）值變化，從而有利于算法中期步長(zhǎng)值的合理設(shè)置，加速算法的穩(wěn)定收斂。綜上所述，通過(guò)合理設(shè)置估計(jì)值誤差ek（i）的范數(shù)階數(shù)p 和控制因子α，可以獲得平滑性較好的變步長(zhǎng)u（i）隨估計(jì)值誤差ek（i）的變化曲線，滿足快速收斂和低穩(wěn)態(tài)誤差的需要，而β 又可以確保變步長(zhǎng)u（i）的初始極大值的合理設(shè)置。范數(shù)階數(shù)p 又增加了算法對(duì)脈沖噪聲等干擾的抗干擾性能［6］。

圖2 控制因子對(duì)步長(zhǎng)影響

根據(jù)式（6）和式（7），基于估值約束和p 階范數(shù)約束的自適應(yīng)最小均方濾波算法參數(shù)迭代公式可表示為：

式中，相關(guān)參數(shù)與經(jīng)典擴(kuò)散LMS 算法一致，φk（i-1）為參數(shù)迭代計(jì)算的中間變量。

3 實(shí)驗(yàn)分析

表1 文中算法的迭代計(jì)算流程

3.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)置

如圖3 所示為實(shí)驗(yàn)使用的網(wǎng)絡(luò)連接圖，根據(jù)節(jié)點(diǎn)間的連接距離L≤0.3 判斷兩節(jié)點(diǎn)的通信互聯(lián)關(guān)系，并互為鄰居節(jié)點(diǎn)，pr=0.1，初始步長(zhǎng)μ0=0.01。

圖3 20 節(jié)點(diǎn)組成的分布式傳感器網(wǎng)絡(luò)

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

3.2.1 算法參數(shù)對(duì)算法性能影響

在改進(jìn)算法中涉及α、β 和p 值3 個(gè)參數(shù)，α 和β 值控制變步長(zhǎng)因子的波形，從而影響算法的收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差；p 值影響算法的抗干擾能力和誤差趨0 過(guò)程的穩(wěn)定性，需研究其值的設(shè)置對(duì)算法性能的影響規(guī)律。由于β 值控制步長(zhǎng)因子的最大取值，其與p 和α 的取值之間影響不大，實(shí)驗(yàn)中取β=0.02。而α 和p 之間，當(dāng)調(diào)整p 值以適應(yīng)不同的脈沖干擾噪聲時(shí)，其值同時(shí)影響到變步長(zhǎng)因子u（i）曲線波形趨0 區(qū)域波形以及最大值到趨0 區(qū)域的波形陡峭程度（陡峭程度影響變化速率），而α 值可以改善波形的陡峭程序，為此實(shí)驗(yàn)分析了α 和p 對(duì)算法的性能影響。采用圖3 所示傳感器網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋱D，當(dāng)兩節(jié)點(diǎn)連接且距離時(shí)，認(rèn)為兩節(jié)點(diǎn)存在通信互連，形成鄰域節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)疊加的脈沖噪聲，采樣點(diǎn)數(shù)為1 000，未知參數(shù)W 初始值從標(biāo)準(zhǔn)均勻分布U（0，1）中隨機(jī)抽取，實(shí)驗(yàn)結(jié)果為20 次蒙特卡洛運(yùn)算的平均值，如圖5 所示為算法在不同階數(shù)下進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的MSD 曲線。

圖4 實(shí)驗(yàn)中各節(jié)點(diǎn)輸入信號(hào)的方差

圖5 不同階數(shù)下參數(shù)估計(jì)的MSD 曲線

由于隨著階數(shù)p 值的增大，變步長(zhǎng)會(huì)變得陡峭，需要α 控制因子隨之增大而逐漸減少，以緩解曲線的陡峭，因此，圖5 中α 取值隨p 值的增大而取較少值。從圖5 結(jié)果可以看出，當(dāng)階數(shù)過(guò)高p=2或接近于2 時(shí)，即使α 取較少值緩解步長(zhǎng)因子曲線的陡峭程度，算法仍無(wú)法達(dá)到穩(wěn)定的收斂。而隨著階數(shù)p 的減少，算法可以收斂并獲得較好的穩(wěn)態(tài)誤差，但并不是p 值越少越好。p 值較少算法收斂速較快，但變步長(zhǎng)因子u（i）曲線波形在趨向于0 的區(qū)域不夠平緩，反而造成穩(wěn)態(tài)誤差較大，如圖5 中綠色實(shí)線所示，而當(dāng)p=1.4，α=0.6 算法在損失較小的收斂速度情況下，取得最小的穩(wěn)態(tài)誤差，同時(shí)算法對(duì)脈沖干擾噪聲具有較強(qiáng)的抗干擾能力。

3.2.2 算法性能比較實(shí)驗(yàn)

如圖4 所示為性能比較實(shí)驗(yàn)中分布式傳感器網(wǎng)絡(luò)各個(gè)節(jié)點(diǎn)的輸入信號(hào)方差和輸入噪聲方差，符號(hào)DLMS 算法參數(shù)δ=0.2，文中算法參數(shù)α=0.6，p=1.4，圖6 所示為4 種算法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)實(shí)驗(yàn)得到的MSD 曲線。

圖6 實(shí)驗(yàn)中各算法的估計(jì)性能MSD 曲線

從圖6 可以看出，DLMS/F 算法相比于其他3種算法具有明顯的收斂速度優(yōu)勢(shì)，但其收斂穩(wěn)態(tài)誤差也遠(yuǎn)高于另3 種算法。在算法性能方面，所提算法與符號(hào)DLMS 的穩(wěn)態(tài)誤差和收斂速度性能相近，但所提算法收斂速度略有優(yōu)勢(shì)，且穩(wěn)態(tài)誤差更小。而與傳統(tǒng)DLMS 算法的參數(shù)估計(jì)性能相比，在保持相近的最終穩(wěn)態(tài)誤差基礎(chǔ)上，所提算法具有更快的收斂速率，在達(dá)到相近穩(wěn)態(tài)誤差時(shí)，具有明顯的時(shí)間優(yōu)勢(shì)，說(shuō)明所提算法取得較好的參數(shù)估計(jì)性能。

總體分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果，所提算法取得較好的參數(shù)估計(jì)效果，主要因?yàn)楹侠淼淖儾介L(zhǎng)控制因子設(shè)置保證了初期較大的步長(zhǎng)加快收斂，后期較小步長(zhǎng)緩解迭代振蕩，以得到較小的穩(wěn)態(tài)誤差，同時(shí)算法較小的穩(wěn)態(tài)誤差也進(jìn)一步驗(yàn)證了算法較強(qiáng)的抗噪能力。

實(shí)驗(yàn)又設(shè)計(jì)了3 組不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和節(jié)點(diǎn)數(shù)的分布式傳感器網(wǎng)絡(luò)，并分別進(jìn)行性能比較實(shí)驗(yàn)，4 種算法的20 次重復(fù)實(shí)驗(yàn)參數(shù)估計(jì)誤差的統(tǒng)計(jì)均值如表2 所示，比較表中各算法誤差值可以看出，文中算法的穩(wěn)態(tài)誤差更小，且大幅提高了算法的收斂速度，對(duì)脈沖噪聲有較好的魯棒性。

表2 3 組實(shí)驗(yàn)中各算法的誤差平均值

4 結(jié)論

在進(jìn)行分布式無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)的未知參數(shù)估計(jì)時(shí)，為了使自適應(yīng)波濾算法具備快速收斂和低穩(wěn)態(tài)誤差，同時(shí)可處理脈沖噪聲的干擾，文中設(shè)計(jì)了一種基于估計(jì)約束的分布式網(wǎng)絡(luò)最小均方算法。在算法中通過(guò)使用參數(shù)估值的p 階范數(shù)增強(qiáng)算法的抗脈沖噪聲干擾能力，通過(guò)變步長(zhǎng)控制函數(shù)，使得算法迭代時(shí)的步長(zhǎng)因子能夠在算法初期以較大變步長(zhǎng)加快收斂速度，而在算法后期以緩慢的變步長(zhǎng)變化獲得較低的穩(wěn)態(tài)誤差，多組實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，相比已有算法，所提算法的參數(shù)估計(jì)性能更優(yōu)。

但是針對(duì)脈沖噪聲干擾，需要在大量實(shí)測(cè)噪聲實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上，進(jìn)一步合理設(shè)置算法中α、β 和p 值參數(shù)值，以增加算法的魯棒性和自適應(yīng)能力。