基于數(shù)學(xué)計算的一種專用服裝模型分析

李曉寧

摘要：本文通過對數(shù)學(xué)進(jìn)行一定的模擬與仿真算法，針對高溫防護(hù)服的特點(diǎn)進(jìn)行分析，并結(jié)合熱力學(xué)的相應(yīng)知識，得到了高溫防護(hù)服的溫度分布模型，并使用有限差分方法來求出該分布模型。針對材料厚度進(jìn)行最優(yōu)算法分析，使用拉格朗日乘子法將優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換成無約束的優(yōu)化問題，在其中使用遺傳算法來搜索最優(yōu)的解。

關(guān)鍵詞： 熱方程 制約條件 遺傳算法

1 背景概述

在高溫環(huán)境下工作時，人們需要穿著專用服裝以避免灼傷。專用服裝通常由三層織物材料構(gòu)成，記為I、II、III層，其中I層與外界環(huán)境接觸，III層與皮膚之間還存在空隙，將此空隙記為IV層。

為設(shè)計專用服裝，在進(jìn)行理論設(shè)計分析中，需要將體內(nèi)溫度控制在37?C的假人放置在實(shí)驗(yàn)室的高溫環(huán)境中，測量假人皮膚外側(cè)的溫度。為了降低研發(fā)成本、縮短研發(fā)周期，得通過建立數(shù)學(xué)模型來計算得到滿足不同條件下的最優(yōu)厚度，并求出相應(yīng)的溫度分布進(jìn)行有關(guān)算法的求解與論述。

2 相關(guān)分析

2.1 求解特定條件下的服裝溫度的分布

對服裝溫度進(jìn)行建模，由于該模型涉及到溫度傳導(dǎo)，故用了熱力學(xué)傳導(dǎo)方程。因?yàn)榉b具有四層不同屬性的層，因此建立了四個一維偏微分方程。熱力學(xué)傳導(dǎo)方程的求解，需要確定邊界條件，初始條件，將環(huán)境溫度設(shè)置成邊界條件，將初始溫度設(shè)置成與人體體溫相同的溫度。最后，通過有限差分方法來完成對偏微分方程的求解。

由于II層的厚度不固定，因此將引入一個決策變量來表示該層的厚度。根據(jù)偏微分方程可以得到人皮膚外側(cè)的溫度是一個與時間，II層厚度有關(guān)的一個函數(shù)。需要在該函數(shù)滿足特定的條件下，求得最優(yōu)的厚度，這是一個具有約束條件的最優(yōu)化問題，為此使用拉格朗日乘子法，使該問題變成一個無約束優(yōu)化問題。最后，使用遺傳算法來對該最優(yōu)化問題進(jìn)行求解，從而得到最優(yōu)的厚度。

2.2 使用有限差分方法求解熱力學(xué)方程

有限差分方法的思想如下： 基本思想是把連續(xù)的定解區(qū)域用有限個離散點(diǎn) 構(gòu)成的網(wǎng)格來代替，這些離散點(diǎn)稱作網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn); 把連續(xù)定解區(qū)域上的連續(xù)變量的函數(shù)用在網(wǎng)格上定義的離散變量函數(shù)來近似：把原方程和定解條件中的微商用差商來近似，積分用積分和來近似，于是原微分方程和定解條件就近似地代之以代數(shù)方程組，即有限差分方程組，解此方程組就可以得到原問題在離散點(diǎn)上的近似解。然后再利用插值方法便可以從離散解得到定解問題在整個區(qū)域上的近似解。

最后可以使用遺傳算法來最優(yōu)化II層厚度

有上式式子的結(jié)果與運(yùn)算技巧以及所得有關(guān)參數(shù)的矩陣

2.3 遺傳算法部分

遺傳算法（Genetic Algorithm， GA）是模擬達(dá)爾文生物進(jìn)化論的自然選擇和遺傳學(xué)機(jī)理的生物進(jìn)化過程的計算模型，是一種通過模擬自然進(jìn)化過程搜索最優(yōu)解的方法。遺傳算法的基礎(chǔ)過程如下：

初始化：設(shè)置最大迭代進(jìn)化次數(shù)T，隨機(jī)生成M個個體作為初始種群P（0）;

個體評價：計算當(dāng)前種群P（t）中的個體適應(yīng)度;

選擇：在個體評價之后，對群體進(jìn)行選擇操作目的是將優(yōu)秀個體的基因通過組合配對交叉遺傳到下一代種群中;

交叉：遺傳算法中的核心部分;

變異：在個體基因的基礎(chǔ)上進(jìn)行變動，模擬自然界的基因突變，其變異結(jié)果的好壞不定;

3 模型的誤差分析與靈敏度分析

因?yàn)閱栴}一中給出了真實(shí)的數(shù)據(jù)，因此將通過對仿真的結(jié)果與真實(shí)數(shù)據(jù)進(jìn)行對比做誤差分析。問題一中給出了一個90分鐘的溫度變化表，通過將該表與我們生成的數(shù)據(jù)放入在同一張圖里面進(jìn)行對比，如圖六所示

從圖中可以看出，兩條曲線在剛開始的時候趨勢十分接近，但是隨著時間的推進(jìn)誤差趨于穩(wěn)定。通過曲線對比最后部分的數(shù)據(jù)，可以得到仿真曲線與真實(shí)曲線相差為0.8度左右，是一個比較理想的誤差范圍。

總之，雖然仿真的模型具有一定的誤差，但是可以反映真實(shí)曲線的趨勢，因此體現(xiàn)了模型的合理性與正確性。

4 結(jié)語

本文中所設(shè)計的模型具有很好的通用性及其魯棒性。尤其是針對目前的高溫服裝設(shè)計具有很強(qiáng)的實(shí)用性，還可以適用于許多熱力學(xué)傳導(dǎo)方程的模型。若將本模型應(yīng)用到科學(xué)實(shí)驗(yàn)領(lǐng)域與生活領(lǐng)域，將能夠解決許多問題。

參考文獻(xiàn)

[1] 宋來忠，王志明.數(shù)學(xué)建模與實(shí)驗(yàn).北京：科學(xué)出版社，2005.

[2] 王正東.數(shù)學(xué)軟件與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn).北京：科學(xué)出版社，2010.

[3] 趙靜，但琦，數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn).北京：高等教育出版社，2008.

[4] 樓順天，姚若玉，沈俊霞.MATLAB7.x 程序設(shè)計語言.西安：西安電子科技大

學(xué)出版社，2008.

[5] 曹鋼，王桂珍，任曉榮.一維熱傳導(dǎo)方程的基本解.山東輕工業(yè)學(xué)院學(xué)報，2005

[6] 費(fèi)浦生 羿旭明 數(shù)學(xué)建模及其基礎(chǔ)知識詳解 武漢大學(xué)出版社，2006.5