初等矩陣在線性代數(shù)中的巧妙運用

劉瑞杰

摘要：初等變換和初等矩陣如影隨形、相伴相生。作為矩陣初等變換的一種轉(zhuǎn)化，理解并熟練掌握初等矩陣，有助于對矩陣初等變換本質(zhì)的理解。靈活運用初等矩陣及相關(guān)知識，可以大大提高解題效率。

一、初等變換和初等矩陣

作為矩陣的一種運算，初等變換在線性代數(shù)中有著重要的地位和作用，是處理線性代數(shù)的主要研究內(nèi)容，例如行列式、向量組、線性方程組等相關(guān)問題的主要工具。只要能熟練掌握初等變換，很多問題便能迎刃而解，初等變換似乎成了一種萬能的方法。它的出現(xiàn)也為初等變換和矩陣的乘法提供了一種紐帶，使得初等變換和矩陣乘法可以相互轉(zhuǎn)化。初等變換分為初等行變換和初等列變換，各自分別包含三種類型的初等變換，由單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣。三種初等行變換對應(yīng)有三種類型的初等矩陣，分別為

（1）交換n階單位陣的第i行和第j行，得初等矩陣E （i， j）。

（2）以非零常數(shù)k乘n階單位矩陣的第i行元素，得初等矩陣E（i（k））。

（3）以非零常數(shù)k乘n階單位矩陣的第j行加到第i行上，得初等矩陣E （ij（k））。

由于初等矩陣是由單位矩陣進行一次初等變換得到的的特殊矩陣，所以它的逆矩陣以及相關(guān)乘法的運算都是具有很大技巧性的。初等矩陣由于與單位矩陣等價，所以均是可逆的，且逆矩陣仍是初等矩陣。三種行初等矩陣的逆矩陣分別如下：

三種初等列變換對應(yīng)的初等矩陣的逆矩陣同上。所以，在解題時，可以利用初等矩陣的逆矩陣進行巧妙解題。

二、初等矩陣的巧妙運用

對m行n列的矩陣A每進行一次初等行變換，就相當(dāng)于A左乘一個可逆矩陣P1，進行l(wèi)次初等行變換，就相當(dāng)于A左乘對應(yīng)數(shù)量的初等矩陣，令，P是l個初等矩陣的乘積，所以P是可逆的。至此，矩陣A的初等行變換可以從矩陣其他運算的角度來看待，看做是用可逆矩陣P左乘矩陣A。初等變換過程就是對A所對應(yīng)的圖形做各種變換的過程，例如，以E（i（k））左乘A可以理解為對A所對應(yīng)的圖像進行伸縮變換。所以，P還可以看做是變換矩陣，PA相當(dāng)于是變換之后的結(jié)果。同樣，對A做初等列變換可以看作是用可逆矩陣Q右乘矩陣A。

接下來，我們就通過例子來體會初等矩陣在矩陣運算中的妙用。

例 解下列矩陣方程

分析：設(shè)，，則該

矩陣方程可寫為PXQ=A，通過觀察，不難發(fā)現(xiàn)，矩陣P和Q都是由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的初等矩陣，所以P、Q可逆，且，則X=P-1AQ-1。

在教學(xué)中，發(fā)現(xiàn)大多數(shù)學(xué)員還是按照慣常思維，先利用初等變換法或者公式法求出P-1和Q-1，然后按照矩陣的乘法計算，步驟繁瑣且易錯。如果能夠理解和熟練掌握初等變換和初等矩陣的關(guān)系，以及初等矩陣和它的逆矩陣的關(guān)系，并進行巧妙運用，那么該題不需要做任何的計算，就可以快速、準(zhǔn)確地計算出最終的結(jié)果。

另外，在證明題中，也經(jīng)常將初等變換“可視化”，轉(zhuǎn)化為矩陣與若干個初等矩陣相乘的形式。

二、小結(jié)

對A進行初等變換，將變換的形式及變換程度用數(shù)字來體現(xiàn)就是初等矩陣。初等矩陣將矩陣的初等變換變得數(shù)字化，變換過程變得沒那么抽象。除此之外，矩陣的初等變換往往需要很多步，計算量較大，能運用初等矩陣的相關(guān)內(nèi)容轉(zhuǎn)化，就能大大提高解題效率。

參考文獻

1.線性代數(shù)第六版[M]，同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系編，高等教育出版社，2014.06.

2.線性代數(shù)第2版[M]，居余馬、胡金德、林翠琴等編，清華大學(xué)出版社，2002.09.

3.線性代數(shù)[M]，李尚志，高等教育出版社，2011.06.

4.關(guān)于矩陣初等變換的若干探索，吳曉霞，閩南師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2018.01.