基于B樣條曲線的輪胎胎面纏繞算法

張 鵬， 沈精虎， 彭 婷

(青島大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，山東 青島 266071)

0 引 言

輪胎胎面成型是工程機(jī)械輪胎、農(nóng)業(yè)輪胎、巨型工程輪胎等輪胎生產(chǎn)領(lǐng)域中最生產(chǎn)的重要環(huán)節(jié)之一[1]，輪胎胎面纏繞的質(zhì)量對輪胎生產(chǎn)領(lǐng)域有著至關(guān)重要的作用。隨著國際輪胎產(chǎn)業(yè)競爭日趨激烈，輪胎生產(chǎn)企業(yè)對于產(chǎn)品提出了新的質(zhì)量控制要求，對輪胎纏繞過程的精度有了更高的需求[2]。針對這一需求，輪胎胎面纏繞的技術(shù)改造成為解決問題的關(guān)鍵，對此，需要開發(fā)具有更高精度的輪胎胎面纏繞算法，提高纏繞胎面質(zhì)量和膠條分布的穩(wěn)定性與準(zhǔn)確性，降低研發(fā)成本和廢品率。

目前國內(nèi)外工程機(jī)械輪胎胎面纏繞生產(chǎn)線中，主要結(jié)構(gòu)方式有以下缺點(diǎn)：一是對于輪胎胎面基線，主要采用像素法[3]等仿形原理[4～6]，大多數(shù)輪胎產(chǎn)業(yè)對于輪胎截面的數(shù)學(xué)描述僅限于直線與圓弧等簡單的幾何線條[7]，對輪胎基準(zhǔn)面的數(shù)學(xué)描述產(chǎn)生誤差；二是膠條纏繞過程中無法做到對纏繞的每一根膠條的形狀位置進(jìn)行精確地控制，纏繞結(jié)束后的輪胎胎面與工業(yè)需求的理想胎面有一定差別，此時(shí)往往需要工人的操作進(jìn)行干預(yù)使得成品更加接近理想胎面，具有較高的廢品率。

基于以上因素，為了能夠精確描述輪胎胎面的纏繞過程，本實(shí)驗(yàn)利用簡單實(shí)用并且具有良好低階光滑特性的B樣條曲線[8]來描述輪胎胎面與膠條形狀位置的變化，對于輪胎胎面基線上已知的型值點(diǎn)坐標(biāo)，使用B樣條曲線反求控制點(diǎn)的方法得到精確的輪胎胎面基線。同理，每根膠條纏繞的具體過程也用B樣條曲線來進(jìn)行高度精確地仿真，通過對纏繞過程中每根膠條形狀位置的精確控制得到更精確的輪胎胎面纏繞過程。

1 胎面成型原理與所需參數(shù)

工程胎面的纏繞成型實(shí)際上是兩種運(yùn)動(dòng)復(fù)合的結(jié)果，如圖1所示具有一定斷面形狀的膠條，由纏繞機(jī)纏繞到胎胚上，在纏繞鼓繞X軸轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí),纏繞機(jī)沿X軸緩慢平移,則膠條將有規(guī)律地貼合成型[9]。若要精確描述輪胎胎面纏繞過程，輪胎纏繞機(jī)工作時(shí)需要以下幾個(gè)目標(biāo)參數(shù)：

1)對于膠條纏繞機(jī)，需要隨時(shí)間變化的輪胎纏繞機(jī)機(jī)頭的空間坐標(biāo)P(x,y,z)以及所對應(yīng)的纏繞機(jī)頭傾斜角度θ。

2)對于胎胚，由于纏繞過程中，膠條的進(jìn)給速度與輪胎自轉(zhuǎn)的線速度保持一致且恒定，而膠條在同一位置的多次纏繞會(huì)導(dǎo)致輪胎的半徑增大[10]，故需要纏繞過程中輪胎自轉(zhuǎn)的角速度w隨時(shí)間變化的函數(shù)曲線。

圖1 纏繞原理示意

輪胎纏繞前，本實(shí)驗(yàn)所采用的輪胎工藝參數(shù)如表1所示，胎面纏繞所需尺寸如圖2所示，具體為(0,-225),(15,-195),(28,-150),(34,-120),(36,-90),(34,-45),(22,-15),(22,0),(22,15),(34,45),(36,90),(34,120),(28,150),(15,195),(0,225)。

表1 輪胎工藝參數(shù)

圖2 胎面纏繞尺寸

2 基本原理

胎面纏繞前，需要以輪胎胎體基準(zhǔn)面與纏繞后理想輪胎胎面為基準(zhǔn)進(jìn)行纏繞。

2.1 繪制輪胎基線

本實(shí)驗(yàn)基于準(zhǔn)均勻三次B樣條曲線[11]，根據(jù)以往工藝專家人工診斷的經(jīng)驗(yàn)，在輪胎截面的基線上取15個(gè)重要的型值點(diǎn)，根據(jù)已知的型值點(diǎn)坐標(biāo)通過準(zhǔn)均勻三次B樣條反求控制點(diǎn)的方法得到輪胎胎面基線的控制點(diǎn)坐標(biāo)，三次準(zhǔn)均勻B樣條反求控制點(diǎn)矩陣方程如下

(1)

式中Q為控制點(diǎn)，P為型值點(diǎn)。

得到控制點(diǎn)坐標(biāo)后，即可根據(jù)準(zhǔn)均勻三次B樣條曲線理論得到輪胎基線的參數(shù)化方程，根據(jù)方程即可繪制輪胎基線，實(shí)現(xiàn)對輪胎基準(zhǔn)面曲線的精確數(shù)學(xué)描述。三次B樣條參數(shù)曲線方程的第i段為

(2)

2.2 繪制纏繞后理想胎面曲線

若曲線上某點(diǎn)A坐標(biāo)(x,y)已知，該點(diǎn)對應(yīng)的法線斜率k與法線方向上的距離h已知，可以求得另一點(diǎn)B的坐標(biāo)。由圖2胎面纏繞尺寸與輪胎基線參數(shù)方程，可以通過上述方法求得纏繞后理想胎面曲線上的型值點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得纏繞后理想胎面曲線曲線方程。

如圖3所示，根據(jù)上述方法，對輪胎基線上的型值點(diǎn)A可以求出2個(gè)符合條件的點(diǎn)B1與B2，但根據(jù)實(shí)際情況膠條必定纏繞在輪胎基線上方，故只有點(diǎn)B1符合要求，此時(shí)可以通過比較輪胎中心點(diǎn)O1與兩點(diǎn)之間的距離O1B1,O1B2的長度，來排除點(diǎn)B2造成的干擾。根據(jù)上述方法，得到所需的纏繞后理想胎面的型值點(diǎn)坐標(biāo)后，再次通過三次準(zhǔn)均勻B樣條反求控制點(diǎn)，得到所需的纏繞后理想胎面曲線方程，繪制纏繞后理想胎面曲線見圖3。

圖3 輪胎外廓曲線示意

3 膠條纏繞過程

如圖2，本實(shí)驗(yàn)中輪胎纏繞機(jī)所使用的膠條斷面形狀為梯形，其下底寬75 mm，上底寬45 mm，膠條厚度為3 mm。

3.1 分 層

以輪胎基線與纏繞后理想胎面曲線為基準(zhǔn)，由于兩條曲線之間膠條纏繞厚度可能較大，會(huì)導(dǎo)致膠條纏繞時(shí)傾斜角度過大造成纏繞不穩(wěn)定的情況，需要在膠條進(jìn)行纏繞前，對膠條是否分層進(jìn)行判斷。以圖2膠條纏繞尺寸為例，根據(jù)膠條纏繞后厚度的最高點(diǎn)最低點(diǎn)以及膠條的型號(hào)為判斷標(biāo)準(zhǔn)，將纏繞過程分為兩層，分層曲線見圖3。

3.2 定位第一根膠條位置

確定分層后，將分層曲線設(shè)置為纏繞結(jié)束后的理想曲線，假設(shè)輪胎纏繞方向?yàn)閺淖蟮接?。以膠條下底為基準(zhǔn)，將梯形的膠條劃分為n份(根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)使用不同的劃分方法，本實(shí)驗(yàn)采用的劃分方法為每隔5 mm將每根膠條均勻豎直劃分為15份)。

膠條開始纏繞，將膠條下底左端點(diǎn)與輪胎基線左端點(diǎn)重合，膠條的下底曲線沿著輪胎基線從左到右貼合，根據(jù)膠條下底不同型值點(diǎn)之間的曲線長度以及輪胎基線參數(shù)方程得到位于膠條下底的16個(gè)型值點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得擬合在輪胎基線上的第一根膠條下底的曲線方程(理論上在定義域內(nèi)，第一根膠條的曲線方程與輪胎基線方程一致)。

根據(jù)膠條下底型值點(diǎn)所對應(yīng)的法線斜率以及不同位置膠條斷面的厚度，求得膠條上底的曲線方程，從而得到第一根膠條在輪胎胎面纏繞過程中的精確位置。

3.3 定位后續(xù)膠條位置

由于膠條的上底曲線和分層曲線一定會(huì)有交點(diǎn)存在，聯(lián)立膠條的上底曲線和分層曲線的參數(shù)方程求得交點(diǎn)坐標(biāo)P，以該點(diǎn)坐標(biāo)作為下一根即將纏繞的膠條下底左端點(diǎn)，使得下一根膠條貼合在上一根膠條的上底以及輪胎基線上，如圖4所示，P1,P2為兩根不同膠條的上底曲線與理想曲線的交點(diǎn)。

圖4 膠條搭接示意

圖4中，以陰影部分膠條為例，膠條下底的16個(gè)型值點(diǎn)分布在曲線P1A與AB兩部分上，根據(jù)膠條下底不同型值點(diǎn)之間的曲線長度與兩條曲線P1A,AB的參數(shù)方程可以求得下底型值點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得膠條上下底的曲線方程，從而得到陰影部分膠條的具體位置。

3.4 終止條件

使用上述方法進(jìn)行纏繞，當(dāng)計(jì)算出下底型值點(diǎn)坐標(biāo)中出現(xiàn)點(diǎn)的橫坐標(biāo)超過輪胎基線上的最大橫坐標(biāo)值，即膠條纏繞至右側(cè)邊界時(shí)停止纏繞，視為該層纏繞完成。

3.5 后續(xù)分層纏繞

膠條纏繞需要分層時(shí)，則從第一根膠條起始點(diǎn)纏繞開始，每一根膠條上底和分層曲線的交點(diǎn)之間的曲線，如圖4中曲線P1P2。將曲線P1P2之間的所有上底型值點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行記錄保存，在第一層纏繞結(jié)束后，將所有記錄的型值點(diǎn)通過準(zhǔn)均勻三次B樣條反求控制點(diǎn)的方法，求得實(shí)際纏繞后的分層曲線方程。以該方程與最終的理想胎面方程為基準(zhǔn)重復(fù)上述步驟，即可完成輪胎胎面全部纏繞過程。

3.6 結(jié)果分析

在本實(shí)驗(yàn)中，每一根膠條纏繞時(shí)，輪胎纏繞機(jī)機(jī)頭的空間坐標(biāo)P(x,y,z)以及所對應(yīng)的纏繞機(jī)頭傾斜角度θ皆可通過膠條的上下底參數(shù)曲線方程進(jìn)行極為準(zhǔn)確的描述。每根膠條纏繞對應(yīng)的輪胎自轉(zhuǎn)角速度ω可由膠條的進(jìn)給速度與每根膠條對應(yīng)的不同的輪胎半徑求得。

3.7 誤差處理

1)如圖4所示，曲線P1P2有超出分層曲線的部分，此時(shí)可以將交點(diǎn)P1進(jìn)行沿著曲線P1A向右移動(dòng)，直至超出部分的面積誤差達(dá)到接受范圍內(nèi)時(shí)，再以新的P1點(diǎn)作為下一根膠條的左端點(diǎn)進(jìn)行后續(xù)纏繞。

2)本文采用的膠條纏繞方式，如圖5所示，從實(shí)際膠條貼合的局部放大圖可以看到，這種理論計(jì)算結(jié)果實(shí)際并不會(huì)完全做到，計(jì)算曲線長度時(shí)使用的是曲線CA段與AB段，而膠條的實(shí)際位置是虛線的CB段，由此會(huì)產(chǎn)生空隙，造成誤差。

圖5 實(shí)際膠條貼合的局部放大

可以通過采取曲線細(xì)分方法[12]來減小誤差。所謂曲線細(xì)分方法，就是在曲線長度不變的情況下，增加曲線上型值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即膠條下底的型值點(diǎn)個(gè)數(shù)，將空隙盡可能的減小，將誤差值控制在接受范圍內(nèi)。

4 實(shí)例分析

采用上述算法，基于Windows 10操作系統(tǒng)，利用Visual Studio 2017與針對C++的EasyX圖形庫，為工藝人員提供了自動(dòng)生成某種型號(hào)輪胎纏繞過程的仿真系統(tǒng)。在數(shù)據(jù)庫中提取輪胎工藝參數(shù)，工藝專家只需要選取重要的型值點(diǎn)坐標(biāo)以及所需膠條斷面形狀，即可得到輪胎纏繞仿真截面圖，如圖6所示。

圖6 纏繞一層輪胎截面

5 結(jié) 論

與像素法掃描輪胎曲線相比，通過B樣條曲線來模擬仿真輪胎胎面纏繞，對每一根膠條的形狀位置都能夠精確控制；與直線圓弧等簡單曲線相比，樣條曲線精準(zhǔn)度更高,對膠條位置的定位誤差縮小到0.1 mm以內(nèi)。通過工藝人員給定輪胎工藝參數(shù)與膠條型號(hào)，即可通過該算法得到基于B樣條曲線的精確輪胎胎面纏繞過程，使輪胎生產(chǎn)工藝的準(zhǔn)確性和效率得到了極大提高，并且降低了設(shè)備上的生產(chǎn)成本，有效降低廢品率，對輪胎纏繞技術(shù)發(fā)展具有極大的實(shí)際意義。