多面體外接球的教學(xué)欣賞

吳景珠

【摘要】從一道關(guān)于正方體外接球的表面積計(jì)算題的解法談起，用拓展思維方法欣賞多面體外接球的表面積計(jì)算，讓學(xué)生和教師在學(xué)習(xí)、教學(xué)、解題中體驗(yàn)多面體外接球的趣味.

【關(guān)鍵詞】多面體;外接球;表面積;教學(xué)欣賞

一、預(yù)備知識

（一）球與多面體內(nèi)切外接的定義

定義1 若一個(gè)多面體的各頂點(diǎn)都在一個(gè)球的球面上，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的內(nèi)接多面體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的外接球.

定義2 若一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的外切多面體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的內(nèi)切球.

（二）球體表面積和體積的計(jì)算公式

表面積公式：S球=4πR2，體積公式：V球=43πR3，其中R為球的半徑.

二、問題呈現(xiàn)與變形

高中數(shù)學(xué)公開課中知識的形成過程（思維發(fā)展過程），先（背景）知識后題目練習(xí)，公開課大致分為兩個(gè)環(huán)節(jié)：一是學(xué)生課前預(yù)習(xí)，（主要包括知識梳理，即學(xué)生課前預(yù)習(xí)填完，上課不做講解）、自我診斷（4-5道簡單的選填題復(fù)習(xí)知識點(diǎn)）、常用結(jié)論（可空白，學(xué)生自己總結(jié)填上）;二是課堂探究.學(xué)生課前預(yù)習(xí)、高中數(shù)學(xué)公開課都是學(xué)生提前一天做完預(yù)習(xí)案后進(jìn)行講解的，所以對自我診斷部分（課前）直接由學(xué)生將答案板書到黑板上即可，此部分比較簡單，目的在于復(fù)習(xí)本課時(shí)知識點(diǎn)、常見結(jié)論、公式等，通過學(xué)生提出問題（不會的題目），重點(diǎn)講解有疑問的題目，引出常用結(jié)論（或知識點(diǎn)），其好處在于省時(shí)省力，直接介入主題，為后面做鋪墊.

問題 若棱長為3的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為27π.

分析 一個(gè)正方體的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，也就是說這個(gè)球面就是此正方體的外接球，外接球的中心就是正方體的中心，于是可以求得外接球的半徑.

解 外接球的半徑R2=3L24=3×324=274，故外接球的表面積S球=4πR2=27π.

從本題可以看出，正方體的外界球的球心和正方體的中心是重合的，這是對一個(gè)“勻稱”的多面體而言，也就是說，一個(gè)“勻稱”多面體的外接球的球心和這個(gè)多面體的中心是相同的，那么要求外接球的半徑，實(shí)際上就是求這個(gè)多面體的中心到頂點(diǎn)的距離，這就是我們說的找球心法.

三、問題變式

在求多面體外接球的表面積，除了用找球心法，還可以用補(bǔ)形法，把多面體或球面補(bǔ)充完整，從而直接得到外接球的幾何意義，求出外接球的半徑.

（一）將正方體變成長方體的外接球的表面積

變式1 （找球心法）一個(gè)長方體的各頂點(diǎn)均在同一球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱長分別為1、2、3，則此球的表面積為14π.

（二）將正方體沿面對角線切去一個(gè)角所得三棱錐的外接球的表面積

變式2 （補(bǔ)形法）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長均為3，則其外接球的表面積是9π.

（三）將正方體沿體對角線切割所得三棱柱的外接球的表面積

變式3 （補(bǔ)形法）直三棱柱ABC-A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，AC=AA1=4，AB⊥BC，則球O的表面積為32π.

（四）將變式3中直三棱柱的底面三角形變成等邊三角形的外接球的表面積

變式4 （找球心法）變式3中的條件變?yōu)椤癆B=AC=BC=AA1=4”，其余條件不變，則球O的表面積為1123π.

（五）將變式3中直三棱柱的底面三角形變成一般三角形的外接球的表面積

變式5 （找球心法）變式3中的條件變?yōu)椤霸摾庵捏w積為3，AB=2，AC=1，∠BAC=120°”，其余條件不變，則球O的表面積為8π.

（六）將變式2中三棱錐變?yōu)檎拿骟w的外接球的表面積

變式6 （補(bǔ)形法）一個(gè)四面體的所有棱長都為2，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為3π.

從以上六個(gè)變式，我們總結(jié)得出以下兩個(gè)命題：

命題1 求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時(shí)，一般過球心及接、切點(diǎn)作截線面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解.

命題2 若球面上四點(diǎn)P，A，B，C構(gòu)成的三條線段PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長方體，利用4R2=a2+b2+c2求解.

此外，對后面的探究問題由一點(diǎn)（或一題）散發(fā)出多個(gè)變式，不需要每個(gè)都合作探究，只需討論某一個(gè)點(diǎn)（如變式3，如何找外接球球心）或題，對有多種方法的例題（如變式3）可重點(diǎn)講解，教師只需板書關(guān)鍵點(diǎn)或整題或完整步驟用PPT展示，做PPT時(shí)對關(guān)鍵式子可框起來，既醒目又美觀.如果是遇到兩問或多問的，每問可設(shè)計(jì)方框，將答案寫在里面，既規(guī)范學(xué)生書寫又漂亮整齊.對典例注重學(xué)生的思維發(fā)展過程，可通過變式逐漸引導(dǎo).例題及變式由簡到繁，由易到難，最好將高考題轉(zhuǎn)化成多個(gè)變式的組合，這是一個(gè)倒推的過程，即研究近幾年高考題，將其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)簡單小題的組合，做題時(shí)倒過來，循序漸進(jìn)，逐漸變化，由易到難.所以變式講完，組合得到高考題，高考題相當(dāng)于講完，不用再詳細(xì)講解，一點(diǎn)即過，甚至引出即可.通過一堂課打通普通例題與高考題的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)簡單題（簡單典型題）到高考題的蛻變.

四、結(jié)束語

原題變式這種模式，雖然感覺太固化了，不太注重引導(dǎo)學(xué)生思維，也不再開課就復(fù)習(xí)知識點(diǎn)，但是這種由小題診斷引出，更自然，有側(cè)重，如講正余弦定理，不像傳統(tǒng)一樣先復(fù)習(xí)正余弦定理公式，而是由自我診斷小題由學(xué)生提疑問，進(jìn)而講解引出知識點(diǎn)或結(jié)論或公式.在結(jié)尾小結(jié)時(shí)可制作一個(gè)表格，將其在高考中的地位展現(xiàn)出來，如考綱是什么？考查方向？高考示例？應(yīng)對策略等.同時(shí)，要注意前后呼應(yīng)，將教學(xué)和日常生活中的熱點(diǎn)問題結(jié)合在一起，培養(yǎng)學(xué)生的家國情懷，注意在教學(xué)中滲透育人的思想，提升本堂課的政治站位.

【參考文獻(xiàn)】

[1]方志平.例談數(shù)學(xué)競賽中球的“切”與“接”問題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2018（28）：63-65.