基于微多普勒的膛內(nèi)彈丸姿態(tài)測試方法研究

李美蘭　姚金杰　張丕狀　孫曉陽

摘要：為得到彈丸在膛內(nèi)運(yùn)動(dòng)的擺動(dòng)情況，該文提出一種通過微波干涉儀獲取彈丸在膛內(nèi)的微運(yùn)動(dòng)姿態(tài)相關(guān)信息的測試方法。首先建立線膛炮內(nèi)彈丸微運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的多普勒模型，在模型的基礎(chǔ)上利用短時(shí)傅里葉變換獲取彈丸在膛內(nèi)縱向運(yùn)動(dòng)的變換規(guī)律，再利用Hilbert-Huang變換獲得詳細(xì)的微多普勒信息，最后應(yīng)用小波變換得到彈丸在膛內(nèi)擺動(dòng)的幅度和頻率。研究表明：通過結(jié)合3種時(shí)頻變換方法，能定量得到彈丸在膛內(nèi)的擺動(dòng)特征，且擺動(dòng)頻率誤差在1kHz范圍以內(nèi);與不同組的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比，可以判斷火炮身管內(nèi)的不平衡程度。

關(guān)鍵詞：微波干涉儀;微運(yùn)動(dòng);微多普勒;Hilbert-Huang變換;小波變換

中圖分類號(hào)：TJ012.16

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1674–5124（2019）03–0127–08

Research on attitude measurement method of bore projectile based on micro-Doppler

LI Meilan1，2， YAO Jinjie1，2， ZHANG Pizhuang1，2， SUN Xiaoyang1，2

（1. Key Laboratory of Information Detection and Processing Technology， North University of China， Taiyuan 030051， China; 2. School of Information &Communication Engineering，North University of China， Taiyuan 030051， China）

Abstract： In order to obtain the swing of the projectile moving in the orbit， this paper proposes a test method for obtaining micro-motion attitude related information of the projectile in the orbit through a microwave interferometer. Firstly， the Doppler model generated by the micro-movement of the projectile inside the wire barrel is established. The short-time Fourier transform is used to obtain the transformation law of the longitudinal motion of the projectile in the orbit， and then the Hilbert-Huang transform is used to obtain the detailed micro Doppler information. Finally， applying the wavelet transform to get the amplitude and frequency of the projectiles swing in the jaw. The research shows that by combining three kinds of time- frequency transformation methods， the swing characteristics of the projectile can be quantified， and the wobble frequency error is within 1 kHz. Compared with the experimental data of different groups， the degree of imbalance in the gun barrel can also be judged.

Keywords： microwave interferometer; micro motion; micro Doppler; Hilbert-Huang transform; wavelet transform

0 引言

由于彈丸在膛內(nèi)的高速運(yùn)動(dòng)及火炮發(fā)射次數(shù)的不斷增多，產(chǎn)生的摩擦和高溫特性都會(huì)引起身管內(nèi)部的燒蝕和不平衡，致使彈丸在膛內(nèi)激烈的橫向擺動(dòng)，擺動(dòng)的幅度越大，說明身管內(nèi)部越不平衡，很容易導(dǎo)致卡膛、引信瞎火、早炸等危險(xiǎn)故障。因此測試彈丸膛內(nèi)運(yùn)動(dòng)姿態(tài)，及時(shí)了解身管內(nèi)部情況是非常必要的。但是彈丸的高速運(yùn)動(dòng)伴隨著高溫、高壓、高速、高頻振動(dòng)以及強(qiáng)聲、強(qiáng)光等物理和化學(xué)瞬變現(xiàn)象，測試環(huán)境非常惡劣，使得測試彈丸在膛內(nèi)的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)參數(shù)變得極為困難，成為研究彈丸發(fā)射動(dòng)力學(xué)過程的一大測試難題。

為了得到彈丸在膛內(nèi)的高速運(yùn)動(dòng)過程的姿態(tài)信息，目前主要的測試手段包括采用高速攝影測量、基于激光的光學(xué)杠桿測量法等。文獻(xiàn)[1-4]提出了一種基于光學(xué)杠桿測量系統(tǒng)的彈丸膛內(nèi)姿態(tài)測試方法，采用將彈丸姿態(tài)的微小變化放大的思想進(jìn)行測量，存在尖頭彈丸頂部的反射鏡的鏡面太小，導(dǎo)致接收的激光信號(hào)弱，甚至有時(shí)候接收不到的問題;其中高速攝影直接拍攝法[5-8]由于高速攝影技術(shù)空間分辨率有限，在測量精度上難以滿足要求。郭澤成等[9]綜述比較了各種姿態(tài)測試方法的優(yōu)缺點(diǎn)。

微多普勒這一概念是由華盛頓海軍實(shí)驗(yàn)室Victor Chen[10-11]引入，為本文奠定了理論基礎(chǔ);波德戈里察大學(xué)的學(xué)者[12]提出了一種基于極大似然估計(jì)（QML）的方法用于完成對(duì)微多普勒參數(shù)的估計(jì)，為目標(biāo)識(shí)別方向提供了新的思路，本文將在此基礎(chǔ)上從彈丸整體運(yùn)動(dòng)數(shù)據(jù)里提取微多普勒頻率，從而分析微運(yùn)動(dòng)姿態(tài)。2009年北京理工大學(xué)的申強(qiáng)等[13]針對(duì)高旋轉(zhuǎn)彈丸GPS接收機(jī)無法正常工作的問題，研究了運(yùn)動(dòng)目標(biāo)旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的多普勒頻移及載波的相位變化情況，從中可以參考得到旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)多普勒頻譜的特征;2017年北京航空航天大學(xué)的束長勇等[14]研究了自旋、章動(dòng)及進(jìn)動(dòng)的微運(yùn)動(dòng)下的微多普勒譜，為本文的建模理論提供了參考價(jià)值。本文是從信號(hào)處理的方向出發(fā)來研究膛內(nèi)彈丸運(yùn)動(dòng)姿態(tài)的相關(guān)問題，通過研究微波干涉儀得到的膛內(nèi)彈丸回波信號(hào)，結(jié)合使用HHT方法和小波變換方法得到膛內(nèi)彈丸擺動(dòng)的姿態(tài)，能定量求解得到擺動(dòng)頻率，并且能定量評(píng)估火炮身管內(nèi)的不平衡程度。針對(duì)上述方法存在的問題，本文提出了直接通過對(duì)微波干涉儀的回波信號(hào)進(jìn)行處理，從中挖掘出微多普勒信號(hào)，通過分析微多普勒的特征進(jìn)而獲得膛內(nèi)彈丸的微運(yùn)動(dòng)姿態(tài)信息。1 彈丸的微多普勒數(shù)學(xué)模型

1.1 理論建模推導(dǎo)

為了使彈丸出膛時(shí)目標(biāo)對(duì)準(zhǔn)率高，線膛炮身管內(nèi)壁上刻有陽線和陰線，模型建立時(shí)需要考慮現(xiàn)實(shí)的機(jī)械結(jié)構(gòu)，本文只考慮線膛炮本身的自旋和擺動(dòng)兩種微運(yùn)動(dòng)。彈丸運(yùn)動(dòng)模型如圖1所示。

雷達(dá)處于O位置，XYZ坐標(biāo)是基于子彈的質(zhì)心為原點(diǎn)建立的坐標(biāo)，隨著彈丸運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系平移。因?yàn)樘艃?nèi)彈丸是緊貼著身管壁的，所以在這里認(rèn)為彈丸在身管內(nèi)是繞著子彈的中心軸旋轉(zhuǎn)，即自旋運(yùn)動(dòng)。根據(jù)文獻(xiàn)[15]得知線膛炮的平動(dòng)速度與旋轉(zhuǎn)角速度之間的關(guān)系式如下：

式中：v——膛內(nèi)彈丸的平動(dòng)速度，m/s;

wr——彈丸的旋轉(zhuǎn)速度（在模型中表示的是彈丸自旋運(yùn)動(dòng)的角速度），rad/s;

d——火炮口徑，mm;

θ——火炮的纏角，rad。

將彈丸在膛內(nèi)的振動(dòng)簡化成子彈繞中心軸的簡諧運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程如下：

式中：B——振動(dòng)的最大幅度，m;

wb——振動(dòng)的頻率，Hz;

φ——振動(dòng)運(yùn)動(dòng)的初始相位，rad。

初始彈丸質(zhì)心O1的坐標(biāo)為R0，R0與雷達(dá)O的方向角與俯仰角分別為α，β。即

子彈上的點(diǎn)M（作為研究微運(yùn)動(dòng)的參考點(diǎn)）在初始XYZ坐標(biāo)系中的坐標(biāo)（X0，Y0，Z0），自旋運(yùn)動(dòng)矩陣

擺動(dòng)變換矩陣為

雷達(dá)到彈丸上的點(diǎn)Mi的距離：

其中γ為雷達(dá)視線與縱向速度方向的夾角，由于|R0|?|vt|且|R0|?|O1M1|，對(duì)應(yīng)的兩個(gè)矢量得的矢量角很小，即余弦值接近于1。

設(shè)雷達(dá)發(fā)射的電磁波頻率為fc，則點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的回波信號(hào)為

其中，A表示的是反射波的能量損耗，c是電磁波傳播的速度，SM（t）是整個(gè)彈丸的回波信號(hào)，是每個(gè)散射點(diǎn)回波能量的總和。點(diǎn)Mi產(chǎn)生回波信號(hào)為：

可以看出，RMi（t）決定著多普勒的特征，接下來需要進(jìn)一步對(duì)其簡化的式子。

其中，

由于本文的φ是由三角函數(shù)組成的，利泰勒級(jí)數(shù)展開式

最高次3保留下來，簡化得到：

對(duì)應(yīng)的多普勒頻率為

可以看出縱向運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的多普勒是vcosγ，其余部分是微多普勒。由式（10）可得，分別包含著表示擺動(dòng)運(yùn)動(dòng)φ的三次方、二次方和一次方，三次方的φ可以分解出的頻率成分有3wb、wb，可見3wb的能量最小，2wb次之，包含頻率成分wb的能量最大。通過比較3種頻率成分的能量大小關(guān)系，可以從中得到擺動(dòng)頻率。

1.2 仿真信號(hào)分析

假定某一線膛炮有如下參數(shù)指標(biāo)：口徑：155mm;彈丸在膛內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：5ms;出炮口速度：1000m/s左右;纏度：1;擺動(dòng)頻率：25kHz。

根據(jù)上述的火炮指標(biāo)及內(nèi)彈道學(xué)方程組[12]可以得到符合實(shí)際膛內(nèi)彈丸縱向運(yùn)動(dòng)規(guī)律的速度關(guān)系，曲線如圖2所示。

根據(jù)上述模型的理論推導(dǎo)，在縱向運(yùn)動(dòng)的規(guī)律上加載微運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，得到彈丸在膛內(nèi)的完整運(yùn)動(dòng)規(guī)律，仿真曲線如圖3所示。在縱向運(yùn)動(dòng)規(guī)律曲線上加載的小波動(dòng)正是微多普勒的特征，通過調(diào)節(jié)不同的幅度參數(shù)，獲得的規(guī)律曲線也不同。圖3（a）顯示的是微運(yùn)動(dòng)能量占比比較小的運(yùn)動(dòng)規(guī)律曲線，圖3（b）次之，圖3（c）所顯示的微運(yùn)動(dòng)能量占整個(gè)運(yùn)動(dòng)能量的比重大，這是分別根據(jù)調(diào)節(jié)擺動(dòng)幅度B1=10mm、B2=30mm和B3=50mm得到的，其中B

根據(jù)多普勒效應(yīng)，多普勒頻率fd隨雷達(dá)與所測目標(biāo)的相對(duì)速度的變化關(guān)系為

其中的c是光速，值為3×108m/s，fc是雷達(dá)發(fā)射的單頻信號(hào)的頻率。由彈丸的完整運(yùn)動(dòng)規(guī)律得到雷達(dá)的完整回波信號(hào)，回波信號(hào)的頻率隨著時(shí)間的增大，波形會(huì)變得越稠密，如圖4所示。

2 擺動(dòng)參數(shù)的提取方法

由于膛內(nèi)彈丸測試環(huán)境的惡劣性，直接測量彈丸的姿態(tài)比較困難，因此本文提出了基于微多普勒的姿態(tài)測試方法。彈丸擺動(dòng)姿態(tài)的參數(shù)提取方法步驟如下：

1）首先使用STFT變換方法將彈丸在膛內(nèi)的縱向運(yùn)動(dòng)規(guī)律脊線提取出來，得到FSTFT（t）。

2）通過對(duì)待處理信號(hào)進(jìn)行HHT處理得到具有完整運(yùn)動(dòng)特征的規(guī)律曲線F（t）。

3）通過Fmicro（t）=F（t）?FSTFT（t）得到包含擺動(dòng)微運(yùn)動(dòng)的微多普勒信息。

4）對(duì)Fmicro（t）進(jìn)行12層小波分解，對(duì)分解出的分量進(jìn)行能量比較，能量最大的分量所對(duì)應(yīng)的頻率就是擺動(dòng)的頻率;與不同組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理后的能量

（沒有單位）對(duì)比，可以定性判斷擺動(dòng)幅度的大小，從而評(píng)估身管內(nèi)壁的燒蝕程度。

2.1 短時(shí)傅里葉變換（STFT）原理

短時(shí)傅里葉變換采用分段的思想，在時(shí)域上將完整的信號(hào)分成多段，每一段信號(hào)表示某一時(shí)刻的信號(hào)特征。具體的表達(dá)式為

其中，x（t）為待處理信號(hào)，STFT（τ，f）為經(jīng)過短時(shí)傅里葉變換處理后得到的信號(hào)，w（t）是進(jìn)行短時(shí)傅里葉變換所選的窗函數(shù)。

本文使用的窗函數(shù)可以是漢明窗、高斯窗和漢寧窗等窗來截?cái)嘈盘?hào)，由于受海森堡測不準(zhǔn)原理的約束，窗長決定了分辨率，所以為了綜合時(shí)間分辨率和頻率分辨率的優(yōu)缺點(diǎn)，需要選擇一個(gè)合適長度的窗。根據(jù)雷達(dá)測膛內(nèi)彈丸運(yùn)動(dòng)速度研究方面的前人經(jīng)驗(yàn)及實(shí)際處理情況得到的最佳窗長wD為

式中：wD——窗長，s;

Mc——模式修正參數(shù)，與發(fā)射的微波性質(zhì)有關(guān);

fc——微波干涉儀發(fā)射的單頻信號(hào)的頻率，Hz;

Am——彈丸運(yùn)動(dòng)最大速度的估計(jì)值，m/s。

2.2 Hilbert-Huang變換（HHT）原理

HHT變換突破了能進(jìn)行傅里葉變換的理論條件限制，是一種不同于其他基于傅里葉變換的時(shí)頻分析方法。它的實(shí)現(xiàn)需要兩個(gè)步驟，首先對(duì)信號(hào)進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（EMD）得到固有模態(tài)函數(shù)（IMF），然后對(duì)IMF分量進(jìn)行希爾伯特變換。固有模態(tài)分量必須滿足兩個(gè)條件：

1）IMF的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)和過零點(diǎn)個(gè)數(shù)要相等或者最多相差一個(gè);

2）在任意時(shí)刻，由極大值構(gòu)成的上包絡(luò)線要和極小值構(gòu)成的下包絡(luò)線要關(guān)于橫軸對(duì)稱，即均值為0。

經(jīng)過模態(tài)分解后會(huì)得到各個(gè)IMF分量的時(shí)頻關(guān)系，從中找到包含有效信息最多的分量進(jìn)行希爾伯特變換。對(duì)IMF分量c（t）做希爾伯特變換：

得到解析函數(shù)：

對(duì)應(yīng)的幅值函數(shù)為：

對(duì)應(yīng)的相位函數(shù)：

由相位可以得到瞬時(shí)頻率

希爾伯特譜：

HHT方法獲得的瞬時(shí)頻率信息詳細(xì)，能夠獲得微小波動(dòng)的微多普勒頻率。

2.3 小波分解原理

小波變換的基本思想是通過平移母小波可獲得信號(hào)的時(shí)間信息，而通過縮放小波的寬度（或者叫做尺度）可獲得信號(hào)的頻率特性。變換公式如下：

是由小波函數(shù)θ（t）平移得到的。

小波的類型有很多，例如haar函數(shù)、db函數(shù)和sym函數(shù)等。在該測試方法中，選擇的是db6小波函數(shù)。

3 信號(hào)處理與數(shù)據(jù)分析

3.1 信號(hào)處理結(jié)果

圖5為原始信號(hào)通過STFT方法提取出的縱向運(yùn)動(dòng)曲線，可以明顯看出STFT方法能把彈丸的縱向運(yùn)動(dòng)規(guī)律提取出來，曲線基本平滑，上面沒有加載小波動(dòng)。圖6、7分別是STFT、HHT方法分析得到的三維時(shí)頻關(guān)系圖，HHT的時(shí)頻圖上明顯有代表微多普勒的小波動(dòng)。圖8（a）為兩種方法獲得時(shí)頻關(guān)系的對(duì)比，圖8（b）則是局部放大后的對(duì)比圖，可以直觀地看到，HHT明顯包含著微多普勒信息。將完整運(yùn)動(dòng)規(guī)律去掉縱向運(yùn)動(dòng)就得到了微運(yùn)動(dòng)的曲線，如圖9所示。

3.2 數(shù)據(jù)分析

對(duì)包含微運(yùn)動(dòng)規(guī)律的信號(hào)進(jìn)行12層小波分解，圖10顯示的是第7、8、9、10層的細(xì)節(jié)分量?？梢院苤庇^地看出，第9層分量的能量最大，具體的分量對(duì)應(yīng)的能量數(shù)據(jù)如表1所示。

通過上表可以很明顯地分析得到兩點(diǎn)信息：

1）不同擺動(dòng)幅度下，信號(hào)的第9層分量的能量最大，即表明該層分量包含著擺動(dòng)頻率的一次方成分;

2）隨著擺動(dòng)幅度的增大，第9層的能量明顯增大，可見能通過能量的對(duì)比定性得到擺動(dòng)幅度的大小對(duì)比，從而也能正確地評(píng)估身管內(nèi)壁的燒蝕程度。

圖11為對(duì)第9層分量進(jìn)行的FFT分析，所取得幅值最大點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的頻率是25kHz。表2為在不同擺動(dòng)幅度下測試所得的擺動(dòng)頻率值及誤差，誤差基本保持在±1kHz范圍以內(nèi)。

3.3 實(shí)際信號(hào)處理

圖12為測速微波干涉儀獲得的某實(shí)際火炮身管內(nèi)彈丸的運(yùn)動(dòng)數(shù)據(jù)，圖13是利用上述時(shí)頻分析方法處理實(shí)際信號(hào)得到的時(shí)頻關(guān)系對(duì)比圖，可以看出HHT方法處理結(jié)果存在明顯的微多普勒信息，但是由于實(shí)際火炮內(nèi)的彈丸抖動(dòng)頻率不是恒定的，且信號(hào)的信噪比低，得到圖14所示的微運(yùn)動(dòng)規(guī)律曲線的頻率和幅度值變化著。表3所示的是包含微運(yùn)動(dòng)規(guī)律信號(hào)小波分解的第7、8、9、10層的細(xì)節(jié)分量，可明顯看出第10層能量最大，圖15是對(duì)第10層分量進(jìn)行頻譜分析的結(jié)果，可見該火炮身管內(nèi)彈丸抖動(dòng)頻率在13.2kHz左右。

4 結(jié)束語

本文通過建立膛內(nèi)彈丸的完整運(yùn)動(dòng)模型并進(jìn)行仿真分析，提出了一種測試彈丸擺動(dòng)姿態(tài)的微多普勒信號(hào)處理方法，驗(yàn)證了此方法的可行性，理論誤差在實(shí)際應(yīng)用范圍內(nèi);另外本文利用提出的處理方法對(duì)某火炮實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行了簡單的處理，由于實(shí)際身管內(nèi)彈丸抖動(dòng)頻率不是恒定的，所以獲得的是實(shí)際彈丸的平均抖動(dòng)頻率值。該測試方法還需要進(jìn)一步用來處理更多的實(shí)際信號(hào)來確定實(shí)際的測試精度和適用范圍。

本文的應(yīng)用價(jià)值是為只利用微波干涉儀獲取膛內(nèi)彈丸的橫向運(yùn)動(dòng)特征提供了有利的參考價(jià)值，并且也證明了通過小波變換最后能獲得橫向擺動(dòng)的頻率;與火炮實(shí)驗(yàn)的舊數(shù)據(jù)對(duì)比，也可以判斷火炮身管內(nèi)的不平衡程度。

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（編輯：劉楊）