關于一階線性非齊次微分方程解法的探究

王 滿

（四川工商學院計算機學院，四川 眉山 620000）

微分方程章節(jié)是微積分課程的重要組成部分，是微積分理論在各領域中的具體應用。微分方程已經在自然科學、工程技術、生物學、物理學、化學等學科中嶄露頭角。在研究某些現(xiàn)象的變化過程中，往往需要建立待求函數(shù)的導數(shù)或微分之間的關系式，通過求解關系式去探索待求函數(shù)的某些特征。在求解一階線性非齊次微分方程時，課本［1］和參考書上均使用常數(shù)變易法，步驟清晰，層層遞推，比較容易求解出通解。但編者在介紹常數(shù)變易法時，直接給出待定函數(shù)，不僅沒有給出常數(shù)變易法（也可稱為參數(shù)變易法或變易常數(shù)法）的理論依據(jù)，也沒有說明待求函數(shù)的結構特點以及齊次微分方程的解與非齊次微分方程的解存在何種內在聯(lián)系，令讀者費解?；谡n本解法，文章首先介紹微積分理論，解決這些疑問。然后介紹求解一階線性非齊次微分方程的兩種新解法——積分因子法和變量變換法。最后舉例并驗證這兩種方法的正確性和有效性，并與課本方法做比較。

1 一階線性微分方程

形如

的方程，由于方程中導數(shù)的最高階數(shù)是1，y,y2都是一次有理式，故稱為一階線性微分方程。其中，p(x),q(x)均為的連續(xù)函數(shù)。

鑒于藥品行業(yè)的特殊性，在政府全面放開藥品定價的當下，如何構建完善的藥品價格壟斷規(guī)制框架、在兼顧各方利益的同時保障藥品行業(yè)平穩(wěn)有序發(fā)展，是當前最需要探索的課題。

當q(x)≡0時，(1)式被稱為一階線性齊次微分方程。

當q(x)不恒等于零時，(1)式被稱為一階線性非齊次微分方程。

根據(jù)齊次微分方程和非齊次微分方程解的結構定理［1］知，非齊次微分方程的通解等于相應的齊次微分方程的通解加上非齊次微分方程的一個特解。所以接下來，先討論一階線性齊次微分方程通解。

1.1 一階線性齊次微分方程

形如

的微分方程稱為一階線性齊次微分方程。(2)式本質上是可分離變量的微分方程，求解時需要用到最基本的方法——分離變量法。具體步驟如下:

對照組患者給予多西他賽聯(lián)合順鉑、氟尿嘧啶靜脈治療，試驗組患者給予多西他賽聯(lián)合順鉑、氟尿嘧啶腹腔灌注，多西他賽注射液（江蘇恒瑞醫(yī)藥股份有限公司，國藥準字H20020543）第1天和第2天1000 mg/（m2·d）靜脈滴注，氟尿嘧啶注射液（上海旭東海普藥業(yè)有限公司，國藥準字H31020593）500 mg/（m2·d）靜脈滴注，順鉑注射液（齊魯制藥海南有限公司，國藥準字H20073652）75 mg/（m2·d）靜脈滴注，腹腔灌注應用熱化療灌注機將順鉑75 mg/（m2·d）和氟尿嘧啶500 mg/（m2·d）分別溶于42～45℃的生理鹽水內，3周為1個周期，共計化療3個周期。

第二步:兩邊同時積分得通解:

其中，C是任意積分常數(shù)。

這種方法簡單易懂，步驟簡略。使用的理論依據(jù)是不定積分，尋找原函數(shù)。

解:分離變量得

兩邊同時積分，得到

其中，C1為任意常數(shù)。

通過調查問卷分析形成各類圖書閱讀不均的原因，跟讀者的自身閱歷、喜好、知識積累以及個人需求有關。通過分析寧夏圖書館讀者的閱讀喜好，有助于確定各類讀者的圖書采購量和控制副本量，使有限的購書經費得以充分發(fā)揮，避免造成不必要的浪費，也有助于平衡各層次讀者的閱讀需求和對圖書館的滿意度。

余額寶社區(qū)服務點，其概念來自于美國等西方金融發(fā)達國家的“社區(qū)銀行”，其中的“社區(qū)”并不是一個嚴格界定的地理概念，既可以指一個省、一個市或一個縣，也可以指城市或鄉(xiāng)村居民的聚居區(qū)域。凡是資產規(guī)模較小、主要為經營區(qū)域內中小企業(yè)和居民家庭服務的地方性小型提供購買余額寶購買服務、轉出服務以及收益查看服務的服務點都可稱為余額寶社區(qū)服務點。

LONG Jun-rui, SHAN Chan-juan, YANG Qun-di, LIU Xin-ying, WANG Jiu-sheng, MEI Chang-lin, XIONG Lin-ping

第二步:將y,y′代入原方程，得u′v+u(v′+vcosx)=e-sinx。

為了方便簡化推導過程，以后在微分方程中遇到原函數(shù)是對數(shù)函數(shù)時，直接不用加絕對值符號。即(4)式變?yōu)閘ny=-1nx+lnC，則通解為xy=C。

1.2 一階線性非齊次微分方程

的通解，其中q(x)不恒等于零。求此方程的通解，課本上使用的方法是——常數(shù)變易法。具體步驟如下:

第二步:常數(shù)變易，設C=u(x)，求出y,y′。

第三步:將y,y′代入(5)式中，解出

豬水腫病是豬大腸桿菌病腸毒血癥引起的一種急性病，以發(fā)病突然、頭面部水腫和運動失調為主要特點。本病多發(fā)于即將斷奶或斷奶后1～2周齡的仔豬，死亡率高，常為吃食好、生長快、體型大的健壯仔豬發(fā)病。

第四步:將u(x)代入第二步中的表達式，得到(5)式的通解

該方法過程簡潔明了，層次清晰，使用方便。但書本并未給出方程式(2)和(5)的內在聯(lián)系，也就是沒說明為什么要將C變?yōu)閡(x)，變了之后的為什么是(5)式的特解。課堂上，如果直接給出這個形式，學生肯定是有疑問的。帶著這樣的疑問，備課時，我仔細專研教材和微分方程理論，發(fā)現(xiàn)了求解(5)式的其他解法，揭示一階線性齊次微分方程和一階線性非齊次微分方程的解的內在聯(lián)系，并找到了常數(shù)變易法的根本依據(jù)。

為原微分方程的通解，其中C為任意常數(shù)。

對于一階線性非齊次微分方程(5)式，大家都知道這是不可分離變量的微分方程，因此不能使用分離變量法。但由于常數(shù)變易法尚未闡述清楚，所以致力于尋找其他解法，很幸運發(fā)現(xiàn)了巧妙的訣竅。

所有檢測結果均以平均值±標準偏差（±sd，n=3）表示。數(shù)據(jù)采用Excel和SPSS 20.0對數(shù)據(jù)進行單因素分析（ANOVA）檢驗不同樣品間的差異顯著性，所有差異分析均在p=0.05水平進行。

因此，通解為

先舉個例子，一階線性非齊次微分方程

但其實還有更有趣的作用。根據(jù)隱函數(shù)的求導法則的逆過程得到

即

第一種——積分因子法。

討論(1)式對應的一階線性非齊次微分方程

兩組患者干預前的FMA評分無明顯差異(P>0.05),觀察組干預后FMA評分明顯較對照組高(P<0.05),見表1。

第二步:由隱函數(shù)的求導法則的逆運算得:

1.對網絡課程框架結構進行實用性設計——主要包括知識結構設計和系統(tǒng)功能設計。課程結構設計的重點是對專業(yè)知識的學習。由于成人學員存在工學矛盾等客觀原因，他們更加重視利用有限的時間，學習實用性較強的專業(yè)技能和文化知識，因此，課程框架設計要符合網絡課程的開放性、自主性、互動性、共享性等基本特點。

總而言之，實行本科生導師制這一教育改革措施，滿足了當前教育發(fā)展的需求，也有利于培養(yǎng)國家需要的高素質創(chuàng)新型人才。北京農學院動物醫(yī)學專業(yè)實行本科生導師制尚處于起步階段，與其他高校相比還存在很大的差距，需要不斷探索和研究，不斷完善和進步，從而取得更加有效的成果。■

第四步:兩邊除以積分因子，得通解:

接下來，我們再來討論第二種——變量變換法。

對于上述例子，一階線性非齊次微分方程

通過觀察發(fā)現(xiàn)方程右端為函數(shù)乘積的形式，猜想解也為函數(shù)乘積的形式。于是，先假設該微分方程的一個解為y=uv（u，v為x的函數(shù)），利用乘積的求導法則得y′=u′v+uv′。代入原方程得u′v+u(v′+。為了解出u，v函數(shù)，先令v′+6x2v=0，解得再根據(jù)u′=sinx得u=-cosx。同樣得到微分方程的特解為所以通解為。

上述方法是通過分析了微分方程的系數(shù)和組成部分，先猜想再驗證。這種方法的具體步驟如下:

第一步:設解為y=uv（u，v為x的函數(shù)），則y′=u′v+uv′。

第二步:將y,y′代入到(5)式中，得

第四步:得出(5)式通解為

上述闡述了兩種新方法，接下來，通過例子說明這兩種方法的正確性和有效性，同時對比四種方法的求解步驟和過程。

2 舉例驗證

該方程為一階線性非齊次微分方程，分別利用四種解法求解。

解法1——<積分因子法>

第二步:由隱函數(shù)的求導法則的逆運算得:

第三步:兩邊同時積分得:

紹圣四年（1097），山谷《跋自作草后》：“余寓居開元寺之怡偲堂，坐見江山，每于此中作草，似得江山之助。然顛長史、狂僧皆倚酒而通神入妙。余不飲酒忽十五年，雖欲善其事，而器不利，行筆處時時蹇蹶，計遂不得復如醉時書也?！痹S七年（1092）三月，山谷作《發(fā)愿文》曰“愿從今日盡未來世，不復飲酒”，至紹圣四年（1097），已十五年。張旭、懷素作草皆以醉酒而忘我迷狂，縱橫揮灑，變幻莫測，出神入化。山谷不飲酒，行筆處時時蹇蹶。山谷此時追求“通神入妙”，故而感慨。

第四步:兩邊除以積分因子，得通解:

解法2——<變量變換法>

第一步:設特解為y=uv（u，v為x的函數(shù)），則y′=u′v+uv′。

xy=C，

第三步:兩邊同時積分:

第三步:令v′+vcosx=0，則v=e-sinx，代回第二步得u=x。

第四步:將u，v代入第一步得出特解為y=xe-sinx(x+C)，則通解為y=e-sinx(x+C)。

傳統(tǒng)Fenton反應速率常數(shù)k1為0.0470 min-1，而加入石墨烯的Fenton反應速率常數(shù)k2為0.0632 min-1，則k2>k1。由此可知，相比傳統(tǒng)Fenton反應，石墨烯的加入提高了Fenton氧化的反應速率，對制漿中段廢水的降解效果更顯著。

解法3——<常數(shù)變易法>

家長助教活動主要是指家長在幼兒園教師的指導下，有效地配合教師開展的協(xié)助幼兒學習的活動。在《幼兒園教育指導綱要（試行）》中，針對家長助教提出：教師可以在尊重、平等、自愿的原則上吸引家長主動地參與到幼兒園的教育工作中來，使家長成為幼兒園教師的重要合作伙伴，使幼兒家庭與幼兒園之間更加和諧，使幼兒能夠在眾多家長的鼓勵下獲得更多的知識。有了家長的幫助，不但可以活躍教學氛圍，還可以把家長自身的教育資源合理地加以發(fā)掘和利用，使幼兒通過家長助教學習到更多的知識，獲得更好的發(fā)展。所以，幼兒園應該在充分重視家長助教工作，針對如何指導家長有效地開展助教進行探索和嘗試，使家長助教獲得積極發(fā)展。

第一步:不難求出該方程對應的齊次微分方程的通解為y=Ce-sinx。

第二步:令常數(shù)變易，設y=u(x)e-sinx，則

y′=u′(x)e-sinx-u(x)cosxe-sinx。

第三步:將y,y′代入原方程，則u′(x)=1，u(x)=x+C。

第四步:將u(x)代入第二步的y中，得通解為y=e-sinx(x+C)。

解法4——<直接公式法>

從該例題可以看出:四種方法都能將微分方程的通解求出。公式法雖然看起來簡單，但一階線性非齊次微分方程的通解公式(6)本身比較難記憶，況且數(shù)學學科也不主張學生去死記硬背公式。常數(shù)變易法和積分因子法、變量變換法步驟均為四步，但常數(shù)變易法未能說明一階線性非齊次和一階線性齊次的解的聯(lián)系，學生只知其然，不知其所以然。積分因子法和變量變換法不僅分析了一階線性非齊次微分方程的解的結構，而且這兩種方法的理論并不陌生，均來源于前面所學章節(jié)，不僅使學生明白該節(jié)知識點，也能與已有知識建立起聯(lián)系，融會貫通，使知識結構更清晰完整。

3 總結

在教學過程中，應該深入研究教材，查閱相關資料，將理論吃透，嚴格推導公式，并試圖找出多種有效方法去求解，給學生傳遞更多的理論思想和知識，培養(yǎng)數(shù)學思維和素質。