基于改進鯊魚優(yōu)化算法的倒立擺自抗擾控制研究

吳 敏，肖志堅，尚 猛

(1.浙江東方職業(yè)技術(shù)學院 數(shù)字工程學院,浙江 溫州 325000；2.嶺南大學 經(jīng)營學院,韓國 慶山 385141)

0 引 言

旋轉(zhuǎn)倒立擺是一類具有強耦合性的非線性系統(tǒng)，通常作為各類控制算法的檢驗裝置。由旋轉(zhuǎn)倒立擺的運動方式與機械臂旋轉(zhuǎn)軸運動和火箭飛行原理有很大的相同之處，因此對于倒立擺的控制策略研究有著很深遠的工程意義[1]。旋轉(zhuǎn)倒立擺通常由兩個可以自由移動的旋轉(zhuǎn)桿組成，具有兩個自由度且兩個自由度之間具有很強的耦合性和非線性，因此對于控制算法提出了更高的控制要求[2]。王浩等提出一種分數(shù)階PID的控制策略[3]，解決了傳統(tǒng)PID控制精度不高的問題。彭繼慎等提出一種倒立擺的神經(jīng)網(wǎng)絡自適應滑模控制[4]，有效的提高了控制精度，但對于控制過程中的外界擾動影響，未做很好的處理。因此本文提出一種基于自抗擾的控制策略。

自抗擾控制[5](Active Disturbance Rejection Control，ADRC)是韓京清教授提出的一種具有強抗擾動能力的控制器，其優(yōu)點在于控制過程中不依賴被控對象精確的數(shù)學模型，對于處理具有強耦合非線性的控制模型具有較強的控制精度。但缺點在于，非線性自抗擾控制器具有多個控制器參數(shù)，且參數(shù)之間具有很強的耦合性，在實際控制過程中，控制參數(shù)整定的是否精確很大程度的決定了自抗擾控制器的控制精度。因此為了使自抗擾控制器可以更廣泛的應用與實際控制中，國內(nèi)外越來越多的研究學者提出了多種自抗擾控制器參數(shù)的整定方法。劉福才等通過混沌粒子群算法對自抗擾控制器進行參數(shù)整定，很大程度提高了控制器的控制精度[6]。周宜然等提出了一種改進的遺傳算法，避免了遺傳算法陷入局部最優(yōu)的問題，提高了控制器的抗擾動能力[7]。劉曉麗等提出了一種基于蟻群優(yōu)化算法的自抗擾參數(shù)整定方法，但算法在迭代過程中會出現(xiàn)早熟收斂的情況，在一定程度上會對控制器的控制精度有所影響[8]。肖靜等提出一種基于免疫自整定的ADRC研究[9]。劉朝華等提出一種基于免疫雙態(tài)微粒群的混沌系統(tǒng)自抗擾控制[10]。以上方法均在一定程度上提高了自抗擾控制器的控制精度，有效的整定了控制器參數(shù)，但也存在一些不足。因此本文提出一種基于改進鯊魚優(yōu)化算法的自抗擾控制器參數(shù)整定策略。

針對傳統(tǒng)鯊魚優(yōu)化算法[11]易陷入局部最優(yōu)的問題，本文通過對立學習初始化和均勻變異策略對鯊魚優(yōu)化算法進行改進，提高了算法的收斂速度和收斂精度，并通過改進后的鯊魚優(yōu)化算法在線整定自抗擾控制器控制參數(shù)，提高了控制器的控制精度和抗擾動能力。最后以旋轉(zhuǎn)倒立擺為被控對象，驗證了本文所提方法的有效性。

1 自抗擾控制

自抗擾控制器的主要有三個組成部分，分別為微分跟蹤器(Tracking Differentiator，TD)、非線性反饋控制率(Nonlinear State Error Feedback Control Law，NLSEF)以及自抗擾控制器的核心組成部分，擴張狀態(tài)觀測器(Extended State Observe，ESO)。以旋轉(zhuǎn)倒立擺為被控對象，其控制結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 旋轉(zhuǎn)倒立擺自抗擾控制框圖

圖中θ和ψ分別為旋轉(zhuǎn)倒立擺的擺角和轉(zhuǎn)角。其中控制倒立擺擺角和轉(zhuǎn)角的自抗擾控制器結(jié)構(gòu)相同，因此以控制擺角的自抗擾控制器為例，其數(shù)學模型為

(1)

式中，θ1(k)為擺角角度，θ2(k)為擺角速度。同理，對于轉(zhuǎn)角的TD而言，ψ1(k)為轉(zhuǎn)角角度，ψ2(k)為轉(zhuǎn)角速度。r為快慢因子，h為步長。ESO估計被控對象的各階狀態(tài)變量z1，z1，z4，z5以及總擾動的實時作用量z3和z6，同樣以擺角的ESO為例，其數(shù)學表達式如下所示：

(2)

式中，β01，β02和β03為修正系數(shù)，很大程度影響ESO的觀測效果。NLSEF對誤差eθ1和eθ2進行非線性組合，并輸出控制信號uθ0，對誤差eψ1和eψ2進行非線性組合，并輸出控制信號uψ0。以擺角的NLSEF為例，其數(shù)學表達式為

(3)

式中，β1和β2為控制系數(shù)，很大程度影響ADRC的控制精度。fal(·)函數(shù)為一類非線性函數(shù)，代表輸出誤差校正率，其表達式為

(4)

因此，對于擺角的ADRC而言，需要整定的參數(shù)有β01、β02、β03、β1和β2。對于轉(zhuǎn)角的ADRC而言，需要整定的參數(shù)有β04、β05、β06、β3和β4。通過大量實驗表明，其余參數(shù)對控制器精度影響不大，因此可人工調(diào)節(jié)。

2 改進的鯊魚優(yōu)化算法

2.1 基本鯊魚優(yōu)化算法

基本鯊魚優(yōu)化算法是模擬鯊魚覓食所提出的一類群智能優(yōu)化算法。在基本鯊魚優(yōu)化算法中，每一條受傷流血的魚均可視為鯊魚的獵物，由于每條受傷的魚的位置均不固定，因此鯊魚優(yōu)化算法在可行域內(nèi)的種群初始化行為表現(xiàn)為隨機性，其公式為

(5)

(6)

鯊魚在游動過程中會存在一定的慣性，因此鯊魚每個階段的速度均取決于上一個階段的速度，并且鯊魚在游動過程中會保持在一定的速度范圍內(nèi)，因此定義鯊魚優(yōu)化算法每個維度的速度更新公式為

(7)

其中，i=(1,2,…,NP)；j=(1,2,…,ND)；OF為目標函數(shù)。上標k表示鯊魚當前的運動階段。由于鯊魚可能無法到達每個階段的最大速度，因此設定ηt∈[0,1]。R1和R2為均勻分布在[0,1]之間的隨機數(shù)。αt為慣性系數(shù)，是[0,1]之間的隨機數(shù)并在階段t內(nèi)為恒定值。βt為t階段的速度限制率。

(8)

除此之外，鯊魚還會通過特有的旋轉(zhuǎn)移動進行獵食，其運動軌跡不一定為一個標準圓形。從優(yōu)化角度來看，鯊魚的旋轉(zhuǎn)前進可以使鯊魚在每個階段實現(xiàn)本地搜索。以此來找到更好的候選解決方案。這種位置的搜索公式為

(9)

式中，m為位置搜索中每個階段的獵物的數(shù)量。鯊魚會向具有更強氣味的獵物進行移動，并繼續(xù)搜索路徑，這一特點在SSO算法實現(xiàn)如下：

(10)

2.2 鯊魚優(yōu)化算法的改進策略

首先，對于群智能優(yōu)化算法而言，種群初始化范圍的大小在一定程度上決定了算法的尋優(yōu)精度。由于傳統(tǒng)鯊魚優(yōu)化算法在初始階段并沒有任何對全局最優(yōu)解的先驗認識，導致初始化階段的鯊魚種群均勻分布在搜索空間內(nèi)。然傳統(tǒng)鯊魚優(yōu)化算法的尋優(yōu)策略是將上一代的最優(yōu)個體保存到下一代種群當中，此時若算法隨機初始化中的優(yōu)良個體保存數(shù)量較少，會在很大程度上影響算法的收斂精度和收斂速度。因此本文采用對立學習策略對傳統(tǒng)鯊魚優(yōu)化算法進行初始化

對立學習策略是由Tizhoosh首次提出，其優(yōu)點在于算法初始化時，通過產(chǎn)生當前個體以及與其對立的個體，并將當前個體和對立個體進行適應度值對比，篩選適應度值較好的個體作為初始種群個體，很大程度的提高了算法的種群多樣性，從而提高了算法的搜索效率。

設在定義域[a,b]內(nèi)存在實數(shù)x，則存在實數(shù)x的對立點為x*，x*=a+b-x。因此鯊魚優(yōu)化算法隨機初始化的對立初始化公式為

(11)

式中，i=1,2,…NP。由此基于對立學習的鯊魚優(yōu)化算法初始化步驟如下：

(3)將兩個種群合并，并將合并后的 個個體進行適應度值計算，并比較排序，篩選出適應度值最大的NP個個體最為初始化種群。

其次為了避免傳統(tǒng)鯊魚優(yōu)化算法因早熟收斂陷入局部最優(yōu)影響尋優(yōu)精度的問題，本文通過自適應變異策略對算法的全局搜索方式進行改進。目的是當算法陷入局部最優(yōu)時會對粒子產(chǎn)生擾動力，幫助算法跳出局部最優(yōu)，提高算法的全局搜索能力和收斂精度。其變異公式為

xi(t)=(1+β)xi(t)

(12)

式中，β為[0,1]之間服從均勻分布的隨機數(shù)。

具體的改進算法的計算步驟如下所述：

Step1:初始化參數(shù)：即鯊魚種群規(guī)模大小NP，最大迭代次數(shù)tmax。

Step2:在可行域空間內(nèi)初始化鯊魚種群的位置，再利用對立學習策略生成對立種群。

Step3:合并兩個種群并計算每一頭鯊魚相應的適應度值，從2NP個個體中選擇適應度值較大的NP個個體作為初始種群；

Step4:計算出NP個個體適應度值的大小，找出適應度值最小的個體位置作為最優(yōu)位置。

Step5:依照式(7)和式(10)對鯊魚優(yōu)化算法的速度和位置進行更新。

Step6:依照式(12)對粒子進行均勻變異操作。

Step7:判斷是若達到終止條件，是則輸出最優(yōu)個體，即算法找到的最優(yōu)解；否則，返回Step4。

3 控制算法性能測試

為了驗證本文所提改進鯊魚優(yōu)化算法的高效性，本文以12個基準測試函數(shù)為評價指標，對比本文所提ISSO算法、CPSO算法[6]、改進遺傳算法[7]和IBPSO[9]實驗所得結(jié)果，其中為保證實驗公平性，4種算法種群規(guī)模均為50，迭代次數(shù)均為100，4種算法每個測試函數(shù)獨立運行50次取平均值和最小值，其中測試函數(shù)如表1所示，具體測試結(jié)果如表2所示，最優(yōu)解用加粗字體表示。其中測試函數(shù)f1～f4為單峰函數(shù)，維數(shù)為30，f5～f8為多峰函數(shù)，維數(shù)為30，f9～f12為固定維函數(shù)，維數(shù)分別為4,2,2,2。

表1 12個基準測試函數(shù)

表2 12個測試函數(shù)的測試結(jié)果對比

由表2可得，對于單峰測試函數(shù)f1～f4而言，本文所提ISSO算法所求解的平均值和最小值相較其他3種算法所求解的平均值和最小值更小，說明ISSO算法具有更高的搜索精度，算法整體性能更加穩(wěn)定。對于多峰函數(shù)f5～f8而言，在其他3種優(yōu)化算法均陷入局部最優(yōu)時，仍具有較高的搜索精度。說明本文所提ISSO算法的整體性能要優(yōu)于其他3種算法。對于固定維函數(shù)f9～f12而言，優(yōu)于測試函數(shù)維數(shù)整體降低，導致所求問題的復雜度整體降低，因此4種算法的收斂精度均有所提升，但對于測試函數(shù)f9和f10而言，本文所提ISSO算法可以取得更小的最小值，因此驗證了本文所提ISSO算法的穩(wěn)定性要更高。整體而言，本文所提ISSO算法具有較高收斂精度和穩(wěn)定性，算法整體性能較傳統(tǒng)SSO優(yōu)化算法有較大提高，可以用于自抗擾控制器參數(shù)整定。

4 基于旋轉(zhuǎn)倒立擺的仿真對比

旋轉(zhuǎn)倒立擺作為一類單輸入多輸出的強耦合非線性系統(tǒng)，很多控制理論通過以其作為被控對象，驗證控制器的控制效果，是驗證自動控制理論的重要途徑之一，因此本文以旋轉(zhuǎn)倒立擺作為被控對象，驗證本文所提改進鯊魚優(yōu)化算法的自抗擾控制器的控制效果。其中旋轉(zhuǎn)倒立擺的非線性模型如下所示：

(13)

式中，m1=0.2 kg為旋轉(zhuǎn)桿質(zhì)量；R1=0.2 m為旋轉(zhuǎn)桿長度；L1=0.1 m為旋轉(zhuǎn)桿到軸心的距離；電機轉(zhuǎn)矩Km=0.0236 n·m/v；f1=0.01 n·m·s為旋轉(zhuǎn)桿繞軸心轉(zhuǎn)動的摩擦力矩系數(shù)；旋轉(zhuǎn)桿繞軸心旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量J1=0.004 kg·m2；擺動桿質(zhì)量為m2=0.52 kg；R2=0.25 m為擺動桿長度；擺動桿到軸心的距離為L2=0.12 m；電機速率為Ke=0.2865 v·s；f2=0.001 n·m·s為擺動桿繞軸心轉(zhuǎn)動的摩擦力矩系數(shù)；J2=0.001 kg·m2為擺動桿繞軸心旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量。

本文將ITAE指標作為評價函數(shù)，其數(shù)學表達式如式(14)所示：

(14)

因此基于改進鯊優(yōu)化算法自抗擾倒立擺的控制流程圖如圖2所示。

圖2 基于改進鯊魚優(yōu)化算法的自抗擾旋轉(zhuǎn)倒立擺控制框圖

通過ISSO優(yōu)化后的自抗擾控制參數(shù)如表3所示。

表3 自抗擾控制器參數(shù)

最后本文以改進鯊魚優(yōu)化算法的自抗擾控制器(ISSO-ADRC)對旋轉(zhuǎn)倒立擺進行運行控制，并通過對比改進分數(shù)階PID控制器[3](IMOPSO-FOPID)，傳統(tǒng)自抗擾控制器(ADRC)[12]的控制效果，驗證本文所提控制策略的有效性。其中擺角和轉(zhuǎn)角的期望輸入均為0，目的是當旋轉(zhuǎn)倒立擺起擺后，可以使旋轉(zhuǎn)桿轉(zhuǎn)角和擺動桿擺角的角度均為0。具體實驗結(jié)果如圖3～圖6所示。

圖3～圖4為旋轉(zhuǎn)倒立擺擺角和轉(zhuǎn)角的動態(tài)響應曲線，從圖中可得，對比IMOPSO-FOPID和傳統(tǒng)ADRC的控制效果，本文所提ISSO-ADRC控制誤差最小，超調(diào)最小且可以更快到達穩(wěn)態(tài)。因此本文所提ISSO-ADRC具有更高的控制精度。

圖3 擺動桿擺角響應曲線

圖4 旋轉(zhuǎn)桿轉(zhuǎn)角響應曲線

圖5 加入擾動后的擺桿擺角響應曲線

為了驗證所提控制算法的有效性，當t=2 s時加入一個幅值為0.1，頻率為10 Hz的正弦轉(zhuǎn)矩擾動，從圖5～圖6中可得，現(xiàn)較其他兩種控制方法，本文所提ISSO-ADRC控制策略受擾動影響更小，可以更快對擾動進行觀測補償，使系統(tǒng)盡快穩(wěn)定。因此，本文所提ISSO-ADRC控制策略的魯棒性更強，具有較好的抗擾動能力。

5 結(jié) 語

本文首先針對傳統(tǒng)控制策略難以有效對旋轉(zhuǎn)倒立擺進行位置平衡控制的問題，提出一種自抗擾控制策略。其次針對傳統(tǒng)自抗擾控制器由于耦合參數(shù)過多難以整定以至于影響控制器精度的問題，提出一種基于改進鯊魚優(yōu)化算法的整定方法，并通過對立學習策略和均勻變異對鯊魚優(yōu)化算法進行改進，提高了算法的種群多樣性和收斂精度，改善了算法的全局收斂能力，并將改進后的鯊魚優(yōu)化算法在線整定自抗擾控制器參數(shù)。最后以經(jīng)典的旋轉(zhuǎn)倒立擺為被控對象，通過對比試驗，驗證了本文所提基于改進鯊魚優(yōu)化算法自抗擾控制器具有較高的控制精度和抗擾動能力。