新中考背景下初中數(shù)學(xué)“好題”例析
——福建省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2018年度常規(guī)課題，《新中考背景下初中數(shù)學(xué)考試命題導(dǎo)向研究》成果之一

潘振南

對初中數(shù)學(xué)教師來說，深入研究命題導(dǎo)向，是教師反思自身教學(xué)行為、改進(jìn)教學(xué)方法的重要環(huán)節(jié)之一。因為大家都知道，初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是以“題”為載體的，處在教育一線的數(shù)學(xué)教師要善于圍繞教學(xué)的主線和每節(jié)課的核心內(nèi)容，精選“好題”、改編“好題”；要善于從數(shù)學(xué)知識的相互聯(lián)系及學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律出發(fā)，用好題、巧解題、多變式，要充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，突出以問題設(shè)計為數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計的重點(diǎn)，讓學(xué)生少做題、輕松學(xué)、有興趣，最終培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)思考。教師要研究“數(shù)學(xué)好題”，可從不同的課型、課后作業(yè)及各級各類考試等設(shè)計中不斷積累和總結(jié)經(jīng)驗。

一、初中數(shù)學(xué)“好題”的理論標(biāo)準(zhǔn)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2011年版)明確指出：數(shù)學(xué)課程評價的根本目的是為了促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)，改善教師教學(xué)。命題應(yīng)發(fā)揮數(shù)學(xué)課程評價的多種功能。數(shù)學(xué)考試命題的出發(fā)點(diǎn)和歸宿應(yīng)該是促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展，試題要給學(xué)生的生命舒展、個性發(fā)展留下空間，從內(nèi)容到形式都要朝著有利于學(xué)生發(fā)展的方向變革，這樣的試題才具有效度、信度。就新中考背景下評價一道初中數(shù)學(xué)題是否為“好題”的理論標(biāo)準(zhǔn)，筆者認(rèn)為可以歸納以下幾個要點(diǎn)。

1.科學(xué)性原則：試題內(nèi)容符合科學(xué)性，沒有出現(xiàn)科學(xué)性的錯誤，沒有涉及到學(xué)術(shù)上的爭議；

2.規(guī)范性原則：試題編制符合規(guī)范性，題型使用得當(dāng)，敘述表達(dá)規(guī)范，版面格式規(guī)范；

3.公平性原則：試題素材、背景材料等的使用公平(比如城市與農(nóng)村學(xué)生均能接受的情景、素材)；

4.導(dǎo)向性原則：試題導(dǎo)向明確，能體現(xiàn)近幾年中考數(shù)學(xué)命題改革的變化趨勢；

5.思想性原則：試題能體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的考查，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的教育價值觀和數(shù)學(xué)的文化性的考查；

6.創(chuàng)新性原則：試題在背景、形式、內(nèi)容或解答方法等方面具有一定的新穎性與獨(dú)特性，能診斷考生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識與創(chuàng)新能力。

二、初中數(shù)學(xué)“好題”的特征例析

初中數(shù)學(xué)教學(xué)本身就有不同情境，在不同情境中用不同的題，其教育教學(xué)的價值、效益就不同。同一道題，在不同情境中的教育教學(xué)價值、效益也不一樣。因此，筆者認(rèn)為所謂的“數(shù)學(xué)好題”，撇開具體的題型，就是試圖找到一種大家都能接受的相對合理的“數(shù)學(xué)好題”的一些基本要素。現(xiàn)例析數(shù)學(xué)“好題”所具備的一些特征。

1.關(guān)注課標(biāo)教材，重視基礎(chǔ)考查

一道好試題不一定就是一道難度很高、很完美的題目。例如，每年的各地市質(zhì)檢卷及中考卷等綜合卷都會突出對基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想及基本活動經(jīng)驗的考查，選擇題、填空題、解答題這三種題型的前半部分一般情況下都是基礎(chǔ)題中的容易題，絕大多數(shù)學(xué)生都能得分，這些試題注重通性、通法，淡化特殊技巧，較好地體現(xiàn)了基礎(chǔ)性、公平性及普及性，這里就不一一舉例了。

2.關(guān)注核心素養(yǎng)，滲透思想方法

高中數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)與初中《新課程標(biāo)準(zhǔn)》的核心素養(yǎng)對比，如下表所示：

《初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》中提出的10 個核心概念指向?qū)W習(xí)主體(學(xué)生)的特征，是學(xué)生在義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程中最應(yīng)得到培養(yǎng)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。從初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的特點(diǎn)與要求出發(fā)，結(jié)合近幾年中考數(shù)學(xué)命題的變化趨勢，我們應(yīng)當(dāng)將數(shù)感融入運(yùn)算能力，將符號意識融入模型思想，進(jìn)而將空間概念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、模型思想、應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識作為初中階段“好題”編制的關(guān)注點(diǎn)。

(1)空間觀念

例1：下面的幾何圖形是由四個相同的小正方體搭成的，其中主視圖和左視圖相同的是( )。

評析：本題考查簡單幾何體三視圖，屬于基礎(chǔ)性知識的考查，由課本習(xí)題改編而來，但不是單純地讓學(xué)生識別一個幾何體的某一種視圖，而是綜合考查學(xué)生的空間觀念。

(2)幾何直觀

評析：本題沒有給出數(shù)軸，其目的是希望學(xué)生能夠自覺地畫出數(shù)軸，考查學(xué)生對“見數(shù)思形”的敏感性。利用數(shù)軸求不等式組的解集，有利于學(xué)生通過直觀性探索解決問題。

(3)運(yùn)算能力

評析：本題屬于分式的混合運(yùn)算，同時考查了分式的意義。運(yùn)算能力要求為第二級水平，這是一種常見的題型，也是本省這兩年中考都考到的題型。本題考查學(xué)生運(yùn)算能力的水平，主要表現(xiàn)在兩個方面：一是在根據(jù)定義、公式、法則等進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算過程中呈現(xiàn)出來的正確、合理、靈活和熟練程度；二是對運(yùn)算的理解和尋求合理簡潔的運(yùn)算途經(jīng)解決問題的水平。

(4)推理能力

例4：在不透明的袋子中裝有一個幾何體模型，兩位學(xué)生摸該模型并描述它的特征。

甲同學(xué)：它有4 個面是三角形；乙同學(xué)：它有8 條棱。

該模型的形狀對應(yīng)的立體圖形可能是( )。

A.三棱柱 B.四棱柱 C.三棱錐 D.四棱錐

評析：數(shù)學(xué)的每個分支都充滿了推理，所以考查學(xué)生推理能力的載體是全方位的。而考查空間觀念，也可以用排除法，比如本題：三棱柱只有兩個三角形的面，所以排除A；四棱柱沒有三角形的面，所以排除B；三棱錐有四個三角形的面，但是只有6 條棱，所以排除C；剩下D 選項，且四棱錐符合條件，故選D。

例5：已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c 中，其函數(shù)y 與自變量x 之間的部分對應(yīng)值如下表所示：

點(diǎn)A(x1，y1)、B(x2，y2)在函數(shù)的圖像上，則當(dāng)1＜x1＜2，3＜x2＜4 時，y1與y2的大小關(guān)系正確的是( ) 。

A.y1＞y2B.y1＜y2C.y1≥y2D.y1≤y2

評析：本題的背景材料是初中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容——二次函數(shù)。先由表格中的數(shù)據(jù)可以推出該二次函數(shù)開口向上，且對稱軸為直線x=2，再由函數(shù)的單調(diào)性可以得到答案。本題選擇值的設(shè)置很嚴(yán)謹(jǐn)，等號取不取的問題必須重視。

(5)模型意識

例6：如下右圖，在△ABC 中，AC=BC=25，AB=30，D 是AB 上的一點(diǎn)(不與A、B 重合)，DE⊥BC，垂足是點(diǎn)E，設(shè)BD=x，四邊形ACED 的周長為y，則下列圖像能大致反映y 與x 之間的函數(shù)關(guān)系的是( )。

評析：本題綜合考查函數(shù)的圖像、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是利用相似構(gòu)造方程表示出DE 和BE，再利用周長公式構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式。本題如果改為一道解答題(如：求出y 與x 之間的函數(shù)關(guān)系并畫出圖像)效果可能會更好，因為選擇值的設(shè)置，由自變量的取值范圍可以直接舍去A、B、C 三個答案。

(6)應(yīng)用意識

例7：建筑工人砌墻時，經(jīng)常在兩個墻腳的位置分別插一根木樁，然后拉一條直的參照線，其運(yùn)用到的數(shù)學(xué)原理是( )。

A.兩點(diǎn)之間，線段最短

B.兩點(diǎn)確定一條直線

C.經(jīng)過一點(diǎn)有無數(shù)條直線

D.以上均不正確

例8：如下圖，小明到小穎家有四條路，小明想盡快到小穎家，他應(yīng)該走第______條路，其中的數(shù)學(xué)道理是____________。

評析：例7、例8 這兩題從生活現(xiàn)象入手，揭示看似簡單且習(xí)以為常的行為背后有著深刻的數(shù)學(xué)原理，考查學(xué)生利用已學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決實際問題。類似的，在初等數(shù)學(xué)中，大量的數(shù)學(xué)知識都具有現(xiàn)實背景，如三角形的穩(wěn)定性等，都提供了從數(shù)學(xué)的角度解釋生活現(xiàn)象的鮮活的命題素材。

(7)創(chuàng)新意識

例9：定義：如果一個數(shù)的平方等于-1，記為i2=-1，這個數(shù)i叫做虛數(shù)單位，把形如a+bi(a，b 為實數(shù))的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a 叫這個復(fù)數(shù)的實部，b 叫做這個復(fù)數(shù)的虛部。它的加、減、乘法運(yùn)算與整式的加、減、乘法運(yùn)算類似。

例如計算：(2-i)+(5+3i)=(2+5)+(-1+3)i=7+2i；

(1+i)×(2-i)=1×2-i+2×i-i2=2+(-1+2)i+1=3+i；

根據(jù)以上信息，完成下列問題：

①填空：i3=________，i4=________；

②計算：(1+i)×(3-4i)；

③計算：i+i2+i3+…+i2017。

評析：本題向初中學(xué)生提出了一個新的概念——復(fù)數(shù)，約定了一種新的運(yùn)算，通過創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求學(xué)生通過觀察分析、閱讀理解，并與已知認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的知識進(jìn)行同化，從而創(chuàng)造性地解決問題，對學(xué)生獨(dú)立思考、加工提取信息及知識遷移和創(chuàng)新的能力要求較高。

3.關(guān)注數(shù)學(xué)文化，體現(xiàn)德育導(dǎo)向

例10：《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作，書中有一個問題：“今有黃金九枚，白銀一十一枚，稱之重適等，交易其一，金輕十三兩，問金、銀各重幾何？”意思是：甲袋中裝有黃金9 枚(每枚黃金重量相同)，乙袋中裝有白銀11 枚(每枚黃金重量相同)，稱重兩袋相等，兩袋互相交換1 枚后，甲袋比乙袋輕了13 兩(袋子重量忽略不計)，問黃金、白銀每枚各重多少兩？設(shè)每枚黃金重x兩，每枚白銀重y 兩，根據(jù)題意得( )。

評析：本題選自我國古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作《九章算術(shù)》，以此弘揚(yáng)中華數(shù)學(xué)文化，增強(qiáng)民族自豪感，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)課程育人功能的德育導(dǎo)向。

4.關(guān)注數(shù)學(xué)理解，考查運(yùn)用能力

評析：本題背景來源于教材中反比例函數(shù)及相似三角形的性質(zhì)，深入挖掘“反比例函數(shù)”的定義，考查學(xué)生對參數(shù)的準(zhǔn)確理解，還要結(jié)合相似的相關(guān)知識來解題，突出引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷概念形成過程和理解概念本質(zhì)的重要性。

5.關(guān)注操作實踐，助推思維發(fā)展

例12：如圖，在△ABC 中，∠ACB=90°，以點(diǎn)B 為圓心，BC 的長為半徑畫弧，交線段AB 于點(diǎn)D，以點(diǎn)A 為圓心，AD 長為半徑畫弧，交線段AC 于點(diǎn)E，連結(jié)CD。

(1)若∠A=28°，求∠ACD 的度數(shù)；

(2)設(shè)BC=a，AC=b；

①線段AD 的長是方程x2+2ax-b2=0 的一個根嗎？說明理由。

評析：本題在設(shè)計上以學(xué)生熟悉的作圖入手，通過實踐活動，發(fā)現(xiàn)所需要的條件，從而進(jìn)一步解題。當(dāng)然本題設(shè)計的亮點(diǎn)還在于與勾股定理、一元二次方程等知識點(diǎn)的綜合考查。

三、初中數(shù)學(xué)“好題”的一題多變

數(shù)學(xué)教育家波利亞認(rèn)為：“一個有責(zé)任心的教師與其窮于應(yīng)付繁瑣的數(shù)學(xué)內(nèi)容和過量的題目，不如適當(dāng)選擇某些有意義但又不太復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生發(fā)掘題目的各個方面，在指導(dǎo)學(xué)生解題過程中，提高他們的才智與推理能力?！被谏鲜隼砟?，我們認(rèn)為可以從一道“好題”出發(fā)，借題發(fā)揮，探索一題多解、一題多變、一題多用的價值，以期培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會從多層次、廣視角、全方位地認(rèn)識、研究問題，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力。

例如：華東師大版初中數(shù)學(xué)教材九年級上冊第2 頁，問題1：

如圖1，用總長為20m 的圍欄材料，一面靠墻，圍成一個矩形花圃，怎樣圍才能使花圃的面積最大？

圖1

改編一：如圖2 是一個矩形花圃，除墻一面外，原來的三邊改成中間再增加兩條與AB 平行且相等的邊；當(dāng)然還可增加四條邊等。

圖2

改編二：(2015年·泉州中考24 題)：某校在基地參加社會實踐活動中，帶隊教師考問學(xué)生：基地計劃新建一個矩形的生物園地，一邊靠舊墻(墻足夠長)，另外三邊用總長69 米的不銹鋼柵欄圍成，與墻平行的一邊留一個寬為3 米的出入口，如圖所示，如何設(shè)計才能使園地的面積最大？下面是兩位學(xué)生爭議的情境：

請根據(jù)上面的信息，解決問題：

(1)設(shè)AB=x米(x＞0)，試用含x 的代數(shù)式表示BC 的長；

(2)請你判斷誰的說法正確，為什么？

改編三：(2018年·福建中考23 題)：如圖，在足夠大的空地上有一段長為a 米的舊墻MN，某人利用舊墻和木欄圍成一個矩形菜園ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜園的一邊靠墻，另三邊一共用了100 米木欄。

(1)若a=20，所圍成的矩形菜園的面積為450 平方米，求所利用舊墻AD 的長；

(2)求矩形菜園ABCD 面積的最大值。

總之，正如波利亞所說：“好的題目和蘑菇一樣，它們都成串生長?！痹诔踔袛?shù)學(xué)教學(xué)中，不僅要求教師要具有一雙善于發(fā)現(xiàn)好題的眼睛，并且面對好題，還要有絕不放過的精神。在平面幾何中，三角形的題目可以改編成四邊形，平行四邊形可以改編成菱形或矩形或正方形等，再結(jié)合圖形的變換，可讓“好題”好上加好。