思維導(dǎo)圖在微積分教學(xué)中的應(yīng)用分析

張榮輝

（泉州師范學(xué)院繼續(xù)教育學(xué)院，福建泉州 362000）

數(shù)學(xué)思維是形成學(xué)生良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵內(nèi)容，同時(shí)也是判斷學(xué)生的知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的主要評(píng)估條件。學(xué)生在掌握科學(xué)的思維方法之后，也能深入地挖掘數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)涵，結(jié)合教學(xué)實(shí)踐過(guò)程夯實(shí)基礎(chǔ)。當(dāng)然這一過(guò)程本身也是一個(gè)系統(tǒng)化的學(xué)習(xí)過(guò)程，注重學(xué)生思想方法的形成和內(nèi)在思維理念的掌握，并在發(fā)現(xiàn)問(wèn)題時(shí)及時(shí)地采取處理方案。

1 數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)方法之間的聯(lián)系

1.1 思維與方法

數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)方法之間既存在著明確的聯(lián)系也有區(qū)別。其聯(lián)系主要表現(xiàn)在數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)，同時(shí)也闡述了數(shù)學(xué)方法的理論基礎(chǔ)與內(nèi)在信息，這與人們掌握數(shù)學(xué)思想之間也關(guān)系密切。另外，數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)方法的區(qū)別則主要體現(xiàn)在如何表達(dá)數(shù)學(xué)對(duì)象的特征。當(dāng)信息積累達(dá)到一定的程度之后，就可以對(duì)數(shù)學(xué)方法起到穩(wěn)定的指導(dǎo)作用。換言之，任何一種數(shù)學(xué)方法都表現(xiàn)了不同的數(shù)學(xué)思想。無(wú)論是從理論層面還是實(shí)踐角度，我們對(duì)于數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的劃分都不會(huì)做出明確要求，更偏向于從思維的角度展開(kāi)說(shuō)明分析。

而思維導(dǎo)圖則是對(duì)思維的一種整體表達(dá)形式，是思維不斷發(fā)展所體現(xiàn)出的自然功能。一般情況下思維導(dǎo)圖有一個(gè)主題，通過(guò)主題進(jìn)行擴(kuò)展，不同的分支以不同的子主題形式表示，子主題表現(xiàn)的也是思維不斷發(fā)展的過(guò)程?？偠灾?，思維導(dǎo)圖并不單純是一種方法，更是體現(xiàn)思維過(guò)程的載體，我們借助思維導(dǎo)圖開(kāi)了解思維的脈絡(luò)，對(duì)思維過(guò)程進(jìn)行闡述。

1.2 思維與概念

在對(duì)數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)思維進(jìn)行探索的過(guò)程中也不難看出，兩者之間在邏輯上有明確的先后關(guān)系，這一邏輯關(guān)系也表現(xiàn)的是人們的思維過(guò)程。在思維導(dǎo)圖的繪制過(guò)程中，我們思考問(wèn)題的信息與層次概念會(huì)融入其中，這些概念相互連接最終形成一個(gè)整體的思維信息。在現(xiàn)代的高等數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，思維導(dǎo)圖的作用通常顯著。

2 思維導(dǎo)圖應(yīng)用的教學(xué)原則

2.1 概括性原則

概括性原則指的是將思維內(nèi)容有條理地貫穿在數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)過(guò)程中，同時(shí)將其作為數(shù)學(xué)知識(shí)體系的主要組成部分，例如將數(shù)學(xué)對(duì)象具有的屬性和關(guān)系進(jìn)行描述，在學(xué)習(xí)完極限的概念知識(shí)之后，就可以對(duì)極限思想的知識(shí)進(jìn)行概括，便于學(xué)生從整體上了解極限思想。此外，教師還需要注意知識(shí)和方法之間的聯(lián)系，將特殊性認(rèn)知轉(zhuǎn)化為一般性認(rèn)識(shí)。一元函數(shù)的微積分和二元函數(shù)微積分的內(nèi)容中都涉及了函數(shù)的連續(xù)性、微分等方面的知識(shí)，這些內(nèi)容都可以通過(guò)思維導(dǎo)圖納入學(xué)習(xí)過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生參與到思想總結(jié)的環(huán)節(jié)過(guò)程中，增強(qiáng)對(duì)于數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用意識(shí)，有利于學(xué)生更加透徹地具有問(wèn)題的分析和解決的能力。

2.2 整體性原則

數(shù)學(xué)思維導(dǎo)圖以基本的數(shù)學(xué)知識(shí)作為載體，并且在現(xiàn)有的教學(xué)過(guò)程基礎(chǔ)上不斷地進(jìn)行滲透。受到教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)進(jìn)度、授課時(shí)間等不同因素的影響，在前文中涉及的數(shù)學(xué)思想方法可能在后續(xù)的學(xué)習(xí)內(nèi)容中不再出現(xiàn)，這會(huì)使得部分思想方法教學(xué)出現(xiàn)脫節(jié)，也不利于學(xué)生形成更加完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。對(duì)此，我們應(yīng)該將不同層面的知識(shí)進(jìn)行整體說(shuō)明，以思維導(dǎo)圖的形式來(lái)整體化歸納，一方面體現(xiàn)出數(shù)學(xué)思想和方法的具體特征，另一方面形成穩(wěn)定的數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)體系[1]。

2.3 實(shí)踐性原則

教學(xué)實(shí)踐的過(guò)程中教師是主導(dǎo)，而學(xué)生是參與主體，缺少任何一方都無(wú)法保障教學(xué)過(guò)程的正常進(jìn)行。而思維導(dǎo)圖正是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)認(rèn)知和結(jié)果的歸納，重視的是記憶理解層面下的靜態(tài)教學(xué)過(guò)程。所以，基于這一層面的思維動(dòng)態(tài)發(fā)展中需要讓學(xué)生形成有效的個(gè)性鮮明數(shù)學(xué)思想。例如教師在講解完零點(diǎn)定理后就可以提出一個(gè)問(wèn)題：桌子在不平的地面上能夠平穩(wěn)放置？通過(guò)這一問(wèn)題建立思維導(dǎo)圖后進(jìn)行數(shù)學(xué)模型構(gòu)建，并且轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行建模。諸如此類的數(shù)學(xué)問(wèn)題都是通過(guò)實(shí)踐過(guò)程來(lái)獲取素材信息，在教師的合理引導(dǎo)之下積極地參與到數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生的過(guò)程當(dāng)中，通過(guò)思想提煉來(lái)指導(dǎo)思維活動(dòng)，在教學(xué)活動(dòng)中不斷鍛煉思維模式。

2.4 滲透性原則

滲透性原則即將一些抽象的數(shù)學(xué)思想融入具體的數(shù)學(xué)信息當(dāng)中，同時(shí)也會(huì)對(duì)這些思想方法形成初步的感知與體會(huì)，在后續(xù)從理性上正確認(rèn)識(shí)后從不同的問(wèn)題中逐漸進(jìn)行深入理解。以我們當(dāng)前所使用的數(shù)學(xué)教材而言，知識(shí)體系當(dāng)中都包含了顯性的數(shù)學(xué)知識(shí)與隱藏的數(shù)學(xué)思想方法，尤其是涉及的定理、概念、公式等都非常精煉，也是高度抽象的結(jié)論所表現(xiàn)出的具體信息。如果學(xué)生無(wú)法有效地理解，就需要教師引導(dǎo)進(jìn)行知識(shí)滲透，通過(guò)思維導(dǎo)圖的模式來(lái)明確不同思想方法下的教學(xué)要求，在每一個(gè)問(wèn)題的分析過(guò)程中有計(jì)劃地把握住數(shù)學(xué)思維滲透的時(shí)間。借助日常地解決問(wèn)題過(guò)程，突出和深化數(shù)學(xué)的思想方法，讓問(wèn)題解決的過(guò)程變得更加明確清晰，這些在現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的解決過(guò)程中同樣會(huì)發(fā)揮顯著作用[2]。

3 思維導(dǎo)圖在微積分教學(xué)過(guò)程中的融合應(yīng)用模式

3.1 思維導(dǎo)圖引導(dǎo)下的微觀規(guī)劃設(shè)計(jì)

思維導(dǎo)圖引導(dǎo)下我們可以構(gòu)建一個(gè)清晰明確的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，也可以更好地組織教學(xué)材料，對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行微觀規(guī)劃設(shè)計(jì)，以思維導(dǎo)圖模式來(lái)表達(dá)自身的想法。例如我們?cè)趯W(xué)習(xí)到導(dǎo)數(shù)的概念這一部分的知識(shí)時(shí)，就需要了解到不同學(xué)生的個(gè)人能力和學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。一般情況下學(xué)生能夠掌握導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方式，但并不了解導(dǎo)數(shù)的具體內(nèi)涵。所以這一部分的教學(xué)重點(diǎn)就應(yīng)該定位于導(dǎo)數(shù)概念的理解和掌握，例如圖1所示的概念內(nèi)容。

圖1 導(dǎo)數(shù)概念的思維導(dǎo)圖

具體來(lái)看教師可以從實(shí)例中突出導(dǎo)數(shù)的概念，并抓住特殊形式的極限，之后再進(jìn)一步了解到函數(shù)的瞬時(shí)變化率。所以，思維導(dǎo)圖進(jìn)行教學(xué)微觀設(shè)計(jì)可以更加有效地組織教學(xué)內(nèi)容，突出教學(xué)重難點(diǎn)。實(shí)際的知識(shí)講解環(huán)節(jié)不同章節(jié)內(nèi)容也能以此為基礎(chǔ)繪制出一張基本的概念圖，然后隨著知識(shí)點(diǎn)的擴(kuò)散，知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系也能使得概念圖更加清晰，甚至不斷地進(jìn)行擴(kuò)充，也是整體分析知識(shí)點(diǎn)結(jié)構(gòu)的主要方式，思考具體的問(wèn)題講解方法和手段的相關(guān)過(guò)程[4]。

3.2 思維導(dǎo)圖與知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

一般情況下教師的教學(xué)過(guò)程涉及多個(gè)方面的信息與內(nèi)容，很可能出現(xiàn)舊知識(shí)尚未消化完全，新知識(shí)就已經(jīng)出現(xiàn)，使得知識(shí)銜接出現(xiàn)矛盾。此時(shí)，教學(xué)重點(diǎn)也發(fā)生了改變，更加傾向于知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建，體現(xiàn)出不同類型知識(shí)之間的聯(lián)系。所以，新的概念引入與思維導(dǎo)圖的構(gòu)建過(guò)程就可以進(jìn)行規(guī)劃。如通過(guò)定積分、不定積分概念圖的對(duì)比就能了解到不定積分的內(nèi)容應(yīng)用，通過(guò)新的章節(jié)內(nèi)容引入來(lái)明確知識(shí)結(jié)構(gòu)，抓住學(xué)習(xí)過(guò)程的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在后續(xù)的學(xué)習(xí)中有目的地進(jìn)行優(yōu)化和提高[5]。

3.3 思維導(dǎo)圖與整理思路

課程學(xué)習(xí)中學(xué)生對(duì)于知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握也能有助于他們對(duì)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系了解得更加透徹，在后續(xù)的復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)中也可以通過(guò)思維導(dǎo)圖進(jìn)行整合分析，促進(jìn)學(xué)生思維的培養(yǎng)。教學(xué)的關(guān)鍵在于調(diào)動(dòng)學(xué)生的主觀積極性，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立思考。我們?nèi)匀灰远ǚe分的相關(guān)知識(shí)為例，學(xué)生在學(xué)習(xí)完定積分內(nèi)容之后，教師也會(huì)進(jìn)行提問(wèn)，如通過(guò)不定積分還能了解到哪些知識(shí)，結(jié)果也包括不定積分、定積分本質(zhì)、應(yīng)用等，從不同的子主題出發(fā)，通過(guò)子主題的分析來(lái)聯(lián)想到其他的內(nèi)容，以此為基礎(chǔ)繪制出相關(guān)的思維導(dǎo)圖，這也是一個(gè)思維發(fā)散的過(guò)程，讓學(xué)生從多個(gè)角度、多個(gè)方面培養(yǎng)問(wèn)題的分析和解決能力，也是創(chuàng)新能力培養(yǎng)的主要途徑。

3.4 思維導(dǎo)圖與數(shù)學(xué)建模

思維導(dǎo)圖和數(shù)學(xué)建模之間同樣密切聯(lián)系，對(duì)數(shù)學(xué)原型構(gòu)造數(shù)學(xué)模型的過(guò)程實(shí)際上也是對(duì)其展開(kāi)的研究和解答，讓問(wèn)題得到重點(diǎn)解決。目前涉及的數(shù)學(xué)建模問(wèn)題眾多，包括積分法求圖形面積、導(dǎo)數(shù)理論求最值模型等，特別是經(jīng)濟(jì)學(xué)當(dāng)中的利潤(rùn)模型計(jì)算等。這些內(nèi)容都應(yīng)該以思維導(dǎo)圖來(lái)進(jìn)行，在了解問(wèn)題的目的后提出假設(shè)，然后建立模型、修改模型，最終應(yīng)用模型。從辯證角度來(lái)看，相對(duì)于部分所構(gòu)成的整體是確定的部分，我們也需要在教學(xué)環(huán)節(jié)了解問(wèn)題整體結(jié)構(gòu)特征，有意識(shí)地展開(kāi)整體化處理和研究。

4 結(jié)語(yǔ)

思維導(dǎo)圖在微積分知識(shí)教學(xué)中具有重要的作用，同時(shí)在整個(gè)高等數(shù)學(xué)的范疇之內(nèi)同樣能發(fā)揮關(guān)鍵效果。在相關(guān)課程的教學(xué)過(guò)程中合理地選擇思維導(dǎo)圖的應(yīng)用方式，不僅可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，還能保障課程的教學(xué)質(zhì)量。在未來(lái)的教學(xué)實(shí)踐過(guò)程中，學(xué)生能夠思考到的內(nèi)容更多，對(duì)于數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思維的理解也會(huì)更加深入。雖然教材本身是由嚴(yán)格的概念、定理、公式所組成，但教師只要能夠注重思維導(dǎo)圖對(duì)于思維過(guò)程的引導(dǎo)優(yōu)勢(shì)，就可以關(guān)注知識(shí)的形成過(guò)程。