“基本模型”引領(lǐng)下的教學(xué)設(shè)計(jì)與思考
——以初中幾何相似中A字、Z字模型為例

陳思宇

南京師范大學(xué)附屬中學(xué)新城初級(jí)中學(xué)，江蘇 南京 210019

初中數(shù)學(xué)；基本模型；教學(xué)設(shè)計(jì)；思考

教學(xué)過(guò)程

一、教學(xué)目標(biāo)

理解A字、Z字型模型和反A字、Z字模型的基本概念，并能在與相似有關(guān)的圖形中識(shí)別此基本模型。

能利用此基本模型對(duì)相似有關(guān)問(wèn)題進(jìn)行證明或求解。

能在復(fù)雜圖形中抽象出此基本模型，并在此基礎(chǔ)上對(duì)復(fù)雜的問(wèn)題進(jìn)行證明和應(yīng)用。

二、教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：理解A字、Z字型模型和反A字、Z字模型的基本概念，并能識(shí)別基本模型及證明三角形的相似。

難點(diǎn)：能在復(fù)雜圖形中抽象出此基本模型，并對(duì)復(fù)雜的問(wèn)題進(jìn)行證明和應(yīng)用。

三、教學(xué)流程

（一）認(rèn)識(shí)模型

1.追根溯源

如圖1，在相似三角形的證明過(guò)程中，常常出現(xiàn)由平行線(xiàn)所產(chǎn)生的A字、Z字型的基本模型。蘇科版九上教材P54通過(guò)證明亦得到如下結(jié)論：平行于三角形一邊的直線(xiàn)與其他兩邊相交，所截得的三角形與原三角形相似。

2.探索變式

問(wèn)題1：如何證明圖1中A字、Z字型模型的△ABC∽△ADE？

問(wèn)題2：將圖1進(jìn)行怎樣變換也會(huì)得到∠1＝∠2？此時(shí)會(huì)出現(xiàn)相似三角形嗎？請(qǐng)證明。

設(shè)計(jì)意圖：教材是中考的源頭，也是初三復(fù)習(xí)必須回歸的起點(diǎn)，此基本模型由書(shū)本上的平行線(xiàn)所得到的A字型基本模型出發(fā)，引申出Z字型及反A字、Z字型模型，完全從課本出發(fā)，體現(xiàn)了“源于教材，高于教材”的用心，并積極地“溯源登高”。同時(shí)，設(shè)計(jì)問(wèn)題1和問(wèn)題2，回歸教學(xué)的本質(zhì)，以學(xué)生為主體，教師為引導(dǎo)，以探究為主線(xiàn)，研究此基本模型在相似中的證明和應(yīng)用。

（二）典型例題

例1.如圖3，△ABC中，∠A＝70°，AB＝4，AC＝6，

將△ABC沿圖中的虛線(xiàn)剪開(kāi)，則剪下的三角形與原三角形不相似的是（ ）。

圖3

例2.如圖4，AB、CD相交于點(diǎn)O，OC＝2，OD＝3，AC∥BD，EF是△ODB的中位線(xiàn)，且EF＝2，求AC的長(zhǎng)。

設(shè)計(jì)意圖：例1瞄準(zhǔn)教學(xué)目標(biāo)，具有一定的基礎(chǔ)性，充分體現(xiàn)了這幾種模型，目的在于讓學(xué)生清楚地識(shí)別，認(rèn)清幾種基本模型的特點(diǎn)。例2選自一道中考題，從平行線(xiàn)出發(fā)，融合了A字、Z字型兩種模型，稍加綜合，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，既體現(xiàn)了這一模型的重要性，它是中考?？嫉闹攸c(diǎn)之一，又能進(jìn)一步理解和認(rèn)識(shí)這一模型，并用此模型為解題提供一定的方法和思路。

（三）鞏固練習(xí)

1.如圖5，若∠B＝∠C，則__________∽__________，理由是__________，且__________∽__________，理由是__________。

2.如圖6，在銳角三角形ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AC、AB上，AG⊥BC于點(diǎn)G，AF⊥DE于點(diǎn)F，∠EAF＝∠GAC．求證：△ADE∽△ABC。

3.如圖7，在△ABC中，AC＝8cm，BC＝16cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著AC邊向點(diǎn)C以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿著CB邊向點(diǎn)B以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，如果P與Q同時(shí)出發(fā)，用t（秒）表示移動(dòng)的時(shí)間（0≤t≤8），那么，當(dāng)t為何值時(shí)，△PQC與△ABC相似？

設(shè)計(jì)意圖：三道練習(xí)題選題精準(zhǔn)，突出重難點(diǎn)和教學(xué)目標(biāo)，主要從三角形的角度出發(fā)，研究了A字、Z字型、反A字型等模型，多選自中考題，既涉及到基本定理的闡述、相似的證明，又有動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題引起的分類(lèi)討論，題型較典型，覆蓋面廣，符合學(xué)生的實(shí)際情況，從同學(xué)們的反饋情況來(lái)看，絕大多數(shù)同學(xué)都能根據(jù)基本模型迅速解題，具有練習(xí)的意義和價(jià)值。

（四）拓展提升

如圖8，已知AD是△ABC的角平分線(xiàn)，☉O經(jīng)過(guò)A、B、D三點(diǎn)。過(guò)點(diǎn)B作BE∥AD，交☉O于點(diǎn)E，連接ED。

（1）求證：ED∥AC；

（2）若BD＝2CD，設(shè)△EBD的面積為S1，△ADC的面積為S2，且S12－16S2＋4＝0，求△ABC的面積。

設(shè)計(jì)意圖：此題涉及到圓的相關(guān)知識(shí)，具有一定的難度，綜合性較強(qiáng)，主要為攻克難點(diǎn)準(zhǔn)備，表面上看不出使用相似，但如果引導(dǎo)學(xué)生看到圖中Z字型的基本相似模型，就會(huì)在計(jì)算面積的時(shí)候合理利用好相似，從而使問(wèn)題得以解決，可以供學(xué)有余力的學(xué)生嘗試一下。

（五）作業(yè)與小結(jié)

四、教學(xué)反思

（一）選材既要緊扣模型，又要注重真、小、實(shí)

以“基本模型”為專(zhuān)題的復(fù)習(xí)課，所選題型必須緊扣此模型，這樣才能讓學(xué)生找到其共同特點(diǎn)和解決辦法，同時(shí)又要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)情況選擇切口小、問(wèn)題真、針對(duì)性強(qiáng)的題型，不求面面俱到，而是要結(jié)合復(fù)習(xí)的目標(biāo)要求，針對(duì)學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié)，力求解決學(xué)生的真問(wèn)題。本節(jié)課選擇的是幾何中常見(jiàn)的A字、Z字型基本模型，切口比較小，覆蓋面也基本在圓和相似這兩章的內(nèi)容。其次，此模型是相似中的常見(jiàn)模型，針對(duì)性非常強(qiáng)，學(xué)生若能掌握好這種基本幾何模型，對(duì)于他們學(xué)習(xí)相似，乃至學(xué)習(xí)其他幾何問(wèn)題，提高解題和思維能力都大有裨益。最后，從學(xué)生的真實(shí)情況出發(fā)，A字、Z字型模型在相似中的應(yīng)用是中考的?？紗?wèn)題之一，部分學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)還不能舉一反三、融會(huì)貫通，因此，非常有必要選擇這一模型開(kāi)設(shè)中考專(zhuān)題復(fù)習(xí)課。

（二）例題突出典型問(wèn)題，充分體現(xiàn)模型本質(zhì)

“基本模型”復(fù)習(xí)課的例題選擇不用全面寬泛，而是應(yīng)當(dāng)具有一定的針對(duì)性和代表性，充分體現(xiàn)模型的本質(zhì)，立足解決學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的真問(wèn)題。例1題目比較基礎(chǔ)，考察的點(diǎn)也很單一，并不復(fù)雜全面，但非常具有代表性，充分體現(xiàn)了此模型的本質(zhì)，學(xué)生若能辨析好例1，對(duì)于后面認(rèn)識(shí)和利用此模型解決較復(fù)雜的問(wèn)題就非常得心應(yīng)手。例2選自一道中考題，題目并不復(fù)雜，但很典型，學(xué)生在解決這一問(wèn)題時(shí)，既利用此模型舉一反三、觸類(lèi)旁通，又能注意到這是中考?？嫉闹攸c(diǎn)之一，準(zhǔn)確把握好中考的方向，提高復(fù)習(xí)效率。

（三）習(xí)題設(shè)計(jì)串起一類(lèi)，利用模型融會(huì)貫通

“基本模型”的習(xí)題設(shè)計(jì)，可以從一些考察單一知識(shí)點(diǎn)的問(wèn)題入手，不用處處設(shè)計(jì)綜合性較強(qiáng)的問(wèn)題，而要力求找到一條主線(xiàn)，串起一些零散的問(wèn)題，并能夠揭示這些問(wèn)題之間的內(nèi)在邏輯關(guān)聯(lián)，使所復(fù)習(xí)的知識(shí)整體化和系統(tǒng)化。以鞏固練習(xí)中的3道練習(xí)題為例，題目并不復(fù)雜，而且每一題所考察的知識(shí)點(diǎn)都比較單一，但是它們中都存在A(yíng)字、Z字型、反A字型等模型，這些基本模型將這些問(wèn)題串聯(lián)起來(lái)，幫助學(xué)生找到解決這一類(lèi)問(wèn)題的基本方法，使得學(xué)生在以后的學(xué)習(xí)中可以解決同類(lèi)型的問(wèn)題，從而達(dá)到舉一反三的目的。從課后作業(yè)的完成情況來(lái)看，同學(xué)們基本上都順利地完成了基本題型，可見(jiàn)對(duì)于此模型掌握已達(dá)到基本要求，后面還設(shè)計(jì)了幾個(gè)難度較大的題目，目的在于讓學(xué)有余力的學(xué)生進(jìn)行探究，同時(shí)也是對(duì)這一模型的進(jìn)一步挖掘。

（四）還課堂于學(xué)生，讓精彩不斷生成

課堂教學(xué)是預(yù)設(shè)和生成的有機(jī)融合，預(yù)設(shè)是為了更好的生成，“基本模型”復(fù)習(xí)課的教學(xué)中，更要給學(xué)生足夠的思考時(shí)間，讓學(xué)生回顧和梳理問(wèn)題解答的過(guò)程，體會(huì)它們之間的本質(zhì)聯(lián)系。本節(jié)課從開(kāi)始提出模型就給出了學(xué)生探究的時(shí)間，接著例題由學(xué)生尋找模型，并總結(jié)經(jīng)驗(yàn)和方法，還有學(xué)生提出他自己的技巧，鞏固練習(xí)也多由學(xué)生自行解決，這樣，學(xué)生在心里串起了一條主線(xiàn)，也漸漸發(fā)現(xiàn)這類(lèi)問(wèn)題的特點(diǎn)，于是就潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲般生成了解決此類(lèi)問(wèn)題的一般思想方法，而不是在單個(gè)題目的具體解法上，“基本模型”的目標(biāo)就此達(dá)成。

以上是筆者對(duì)“基本模型”在初三復(fù)習(xí)課教學(xué)中的一些實(shí)踐和思考，“基本模型”教學(xué)條理清楚不零散，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)潔有深度，如何進(jìn)一步利用“基本模型”來(lái)提高課堂效率和學(xué)習(xí)效率，筆者還將在今后的實(shí)踐中不斷地探討與改進(jìn)。