追根溯源尋本質(zhì)　分析理解辨差異

摘 要：抓住概念本質(zhì)是理解概念的關(guān)鍵.本文例談了分式方程的增根和無解問題，通過對(duì)不同題型中兩者關(guān)系的“等同”“包含”“無關(guān)”等情形的分類解析，感悟兩者的區(qū)別和聯(lián)系，并借助分析歸因，追尋概念的本質(zhì)，理解解法的差異.

關(guān)鍵詞：分式方程;整式方程;增根;無解

作者簡介：郭源源（1988-），男，江蘇南京人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，研究方向：初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)研究.

分式方程的增根和無解是分式方程中常見的兩個(gè)概念，也是分式章節(jié)?？嫉念}型.部分學(xué)生在學(xué)完分式方程后，會(huì)對(duì)這兩種概念混淆不清，錯(cuò)誤地認(rèn)為分式方程中，它們是同一種情形，有增根就是無解，無解就是有增根，解法思路都一樣.然而事實(shí)并非如此.本文結(jié)合自己在教學(xué)中的實(shí)踐所得，以近年的中考題和其變式為例，談?wù)剝烧弑举|(zhì)上的差異及其解法上的不同.

1 “無解”等同“有增根”情形

例1 （2019年煙臺(tái)）若關(guān)于x的分式方程 3xx-2-1=m+3x-2有增根，則m的值為.

解 方程兩邊同乘以（x-2），得3x-（x-2）=m+3，整理得 2x=m+1，此整式方程的解為x=m+12.

又因?yàn)樵质椒匠逃性龈?，則x=2.

所以可得m+12=2，解得m=3.

評(píng)注 解題的基本思路是：（1）將原分式方程去分母轉(zhuǎn)化成整式方程，并解出整式方程x的值;（2）分析出原方程有增根時(shí)x的值;（3）兩者x值相等列式，解出參數(shù)m即可[1].還可以不解整式方程，直接將增根代入其中，求出參數(shù)m，兩種方法本質(zhì)是一樣的.解此類題的關(guān)鍵是讀懂“有增根”背后的隱藏條件，即“增根是分式方程分母為0時(shí)未知數(shù)的值”.

例2 若關(guān)于x的分式方程 3xx-2-1=m+3x-2無解，則m的值為.

解 由例1可知，去分母轉(zhuǎn)化成整式方程2x=m+1后，此整式方程有唯一的解x=m+12.而條件中原分式方程最終無解，由此可判斷，整式方程的唯一解是分式方程的增根，只有這樣，原方程才會(huì)無解.故此情形和例1一樣，列出m+12=2，解得m=3.

評(píng)注 分式方程“化整”后，所轉(zhuǎn)化的整式方程在已確定只有唯一解的情形下，原分式方程“有增根”和“無解”兩個(gè)問法是一樣的.因?yàn)樵诖朔N情形下，無解產(chǎn)生的原因，就是唯一解是增根.故例1和例2參數(shù)值求法是一樣的.

2 “無解”包含“有增根”情形

例3 （2019年巴中）若關(guān)于x的分式方程 xx-2+2m2-x=2m有增根，則m的值為.

解 方程兩邊同乘以（x-2），得x-2m=2m（x-2），整理得（1-2m）x=-2m.

由原分式方程有增根，可判斷此整式方程一定有解，故（1-2m）≠0，即m≠12.

此時(shí)整式方程解為x=-2m1-2m.

又因?yàn)樵质椒匠逃性龈瑒tx=2.

所以可得-2m1-2m=2，解得m=1.

評(píng)注 本題的關(guān)鍵在于化整后的整式方程（1-2m）x=-2m，因系數(shù)（1-2m）不確定是否為0，故此整式方程解的情況也不確定，需要進(jìn)一步分析推斷.通過原分式方程有增根，推斷出整式方程有解，且是唯一解.故解法和例1一致.

例4 若關(guān)于x的分式方程 xx-2+2m2-x=2m無解，則m的值為.

解 去分母轉(zhuǎn)化成整式方程（1-2m）x=-2m.

因?yàn)樵质椒匠虩o解，推斷可能有兩種情況：①此整式方程無解;②此整式方程有解，但唯一的解是增根.故可作以下分類：

①若此整式方程無解，則1-2m=0，即m=12.符合題意;

②若此整式方程有解，則唯一的解為x=-2m1-2m.此時(shí)同例3解法，m=1.符合題意.

綜上所述，m=12或m=1.

評(píng)注 分式方程“化整”后，所轉(zhuǎn)化的一次整式方程在不確定是否有解的情形下，原分式方程“無解”包含了“整式方程無解”和“整式方程唯一解是增根”兩種情況.故例3和例4的求法不一樣，例3只屬于例4中的一種情況.

3 “無解”無關(guān)“有增根”情形

例5 若關(guān)于x的分式方程2xx+1-mx2+x=x+1x有增根，求m的值.

解 方程兩邊同乘以x（x+1），得2x2-m=（x+1）2，整理得x2-2x-m-1=0.

由原分式方程有增根，可判斷此整式方程一定有解，且解中含有增根.

因?yàn)樵质椒匠逃性龈鶠閤=0或x=-1，

則當(dāng)x=0時(shí)，將其代入整式方程解得m=-1.

當(dāng)x=-1時(shí)，將其代入整式方程解得m=2.

綜上所述，m=-1或m=2.

評(píng)注 分式方程“化整”后為一元二次方程，無法推斷一元二次方程的解就是增根，只能推斷一元二次方程解中含有增根，所以代入增根求參數(shù)的方法較合理.

例6 若關(guān)于x的分式方程2xx+1-mx2+x=x+1x無解，求m的取值范圍.

解 去分母轉(zhuǎn)化成整式方程x2-2x-m-1=0.

因?yàn)樵质椒匠虩o解，推斷可能有兩種情況：①此一元二次方程無解;②此一元二次方程有解，但所有解都是增根.故可作以下分類：

①若此一元二次方程無解，則b2-4ac=4-4（-m-1）=4m+8<0，即m<-2.符合題意.

②若此一元二次方程有解，則b2-4ac=4-4（-m-1）=4m+8≥0，即m≥-2.

由韋達(dá)定理知此一元二次方程的兩解x1+x2=-ba=2.

因?yàn)樵质椒匠逃性龈鶠閤=0或x=-1，

則當(dāng)x1=0時(shí)，代入解得m=-1，但同時(shí)求得另一個(gè)根x2=2，此情況不滿足一元二次方程所有解都是增根，故m≠-1.

當(dāng)x1=-1時(shí)，代入解得m=2，但同時(shí)求得另一個(gè)根x2=3，此情況也不滿足一元二次方程所有解都是增根，故m≠2.

綜上所述，m<-2.

評(píng)注 分式方程“化整”后，若轉(zhuǎn)化成一元二次方程，則在不確定其是否有解的情形下，原分式方程“無解”包含了“一元二次方程無解”和“一元二次方程所有解都是增根”兩種情況.例5中的一元二次方程暗示“解中含有增根”，而例6中暗示“所有解都是增根”，故它們的答案也截然不同.

4 “有解”并且“只有一個(gè)實(shí)根”情形

例7 只有一個(gè)實(shí)數(shù)是關(guān)于x的分式方程2xx+1-mx2+x=x+1x的根，求m的值.

解 去分母轉(zhuǎn)化成整式方程x2-2x-m-1=0.

只有一個(gè)實(shí)數(shù)是原分式方程的根，推斷可能有兩種情況：①此一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;②此一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，但有一個(gè)是增根.故可作以下分類：

①若此一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則b2-4ac=4-4（-m-1）=4m+8=0，即m=-2.符合題意;

②若此一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則b2-4ac=4-4（-m-1）=4m+8>0，即m>-2. 且兩個(gè)根中，必須有一個(gè)是增根，原分式方程有增根為x=0或x=-1.由例6中的解法知：

當(dāng)x1=0時(shí)，代入解得m=-1，同時(shí)求得另一個(gè)根x2=2，符合題意.

當(dāng)x1=-1時(shí)，代入解得m=2，同時(shí)求得另一個(gè)根x2=3，符合題意.

綜上所述，m=-2或m=-1或m=2.

評(píng)注 本題的關(guān)鍵在于解讀條件“只有一個(gè)實(shí)數(shù)是原方程的根”，它包含了上述的兩種情況.此時(shí)它與增根的關(guān)系也是不確定的，情況①原方程無增根;情況②原方程有增根.

綜上，分式方程的增根和無解問題看似雖小，沒有繁瑣的計(jì)算和冗長的證明，考題中也多以選擇、填空的形式出現(xiàn)，但其實(shí)質(zhì)卻蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法，包括對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，對(duì)題目條件的解讀和對(duì)方程細(xì)節(jié)的處理，整個(gè)過程涉及到隱藏條件的分析、轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用、分類策略的掌握等，思維含量很高，對(duì)提升學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和全面性有很大的幫助.

初學(xué)者對(duì)于增根和無解問題似是而非、似懂非懂的現(xiàn)象不在少數(shù)，究其原因，是對(duì)概念本質(zhì)的不理解.數(shù)學(xué)家華羅庚說過：復(fù)雜的問題要善于退，足夠的退，退到最原始而又不失重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅.筆者認(rèn)為，要想徹底弄清這類問題，需退回到理解增根和無解產(chǎn)生的原因.去分母的依據(jù)是等式的基本性質(zhì)，可等式的基本性質(zhì)中同乘或除以的必須是一個(gè)不為零的整式，而分式方程去分母卻無法保證同乘的整式是否為零，故這一步是有漏洞的，因此最后的解需要代入同乘的整式中檢驗(yàn)，若整式不為零，則去分母步驟成立，解也沒問題;若整式為零，則去分母步驟錯(cuò)誤，最后的解也就成為了增根.追根到底，增根產(chǎn)生的原因是去分母同乘了零，導(dǎo)致未知數(shù)的取值范圍被擴(kuò)大，而分式方程無解原因有兩種：（1）“化整”后的整式方程無解;（2）“化整”后的整式方程有解，但解都是增根[2] .所以掌握分式方程增根和無解的問題，如文中的各類情形，靠的不是學(xué)生的死記硬背，而是帶著理解去分析，準(zhǔn)確解讀出條件背后的涵義，嚴(yán)謹(jǐn)有序的逐一劃歸解決.由此可見，只有站在概念的角度追根溯源找尋本質(zhì)，才能從根本上理解分式方程增根與無解各自產(chǎn)生的原因以及辨析它們之間的差異，從而真正幫助學(xué)生從數(shù)學(xué)內(nèi)涵和數(shù)學(xué)發(fā)展上更清晰更深刻地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí).

參考文獻(xiàn)：

[1]丁祖元.強(qiáng)化數(shù)學(xué)思辨 凸顯內(nèi)在關(guān)聯(lián) 提升核心素養(yǎng)——以分式方程有增根和無解為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2015（12）：21-22.

[2]楊勤春.分式方程的增根和無解一樣嗎[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2018（Z2）：40-41.

（收稿日期：2019-07-22）