一道數(shù)學課本題的“再回首”

摘 要：教材中的例題、習題具有一定的典型性和代表性，蘊含著課程的基本理念與教學目的，在教學過程中起著畫龍點睛的作用，教師對典型的例題、習題應不失時機的“再回首”，充分挖掘其引領、示范的教學功能.

關鍵詞：課本;習題;再回首

作者簡介：李玉榮（1963-），男，江蘇句容人，本科，中學高級教師，研究方向：初中數(shù)學教學研究.

荷蘭著名數(shù)學家和數(shù)學教育家弗賴登塔爾認為，“數(shù)學教育是一個活動過程，學生應當通過再創(chuàng)造來學習數(shù)學，……這樣獲得的知識與能力才能更好地加以理解，而且能保持長久的記憶”.因此，教師應使學生在學習過程的不同層次中，始終處于積極、創(chuàng)造的狀態(tài).解題教學是數(shù)學教學的一個重要環(huán)節(jié)，也是提高學生數(shù)學能力的主要途徑.筆者以為，在解題教學尤其是中考復習課的解題教學中，教師若能選擇恰當?shù)睦}進行“再回首”“再創(chuàng)造”，讓學生“小題大做”“借題發(fā)揮”，往往能激活學生的數(shù)學思維，促成典型習題的可持續(xù)引領、示范作用.

題目 （人教版數(shù)學八年級上冊第79頁練習3）求證：如果三角形一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.

1 自然解法占主導

復習課上，筆者選用此題作為例題，學生不屑一顧，幾乎清一色給出如下證法：

已知：如圖1，在△ABC中，點D為AB的中點，CD=12AB.

求證：∠ACB=90°[1].

證法1 因為CD=12AB=AD=BD，

所以∠DCB=∠B，∠ACD=∠A.

因為∠DCB+∠B+∠ACD+∠A=180°，

所以∠ACD+∠DCB=90°.即∠ACB=90°.

評注 此解法符合學生的認知規(guī)律，自然、簡潔.在解題教學中，自然解法占主導地位無可厚非，但如果教師的教學就此打住，即出現(xiàn)了教學中的“滑過”現(xiàn)象，那么此題的功效無疑大減！本題的條件之一是“CD為中線”，怎樣體驗它的作用？值得引領學生進一步探究解法，積累數(shù)學活動經驗.

2 題闊招多任爾行

一題多解是培養(yǎng)學生發(fā)散性思維的一個重要途徑，教學中關注例題教學的可持續(xù)性，讓知識成串、互通有無，讓復習課充滿新鮮感、富有挑戰(zhàn)性，也是培養(yǎng)學生創(chuàng)造性思維能力的有效方法.此題看似簡單，其實也蘊涵著豐富多彩的內涵，筆者引領學生作了如下探究.

證法2 如圖2，延長CD至點E使得DE=CD，連接AE，BE.

因為AD=BD，所以四邊形ACBE為平行四邊形.

又因為CE=2CD=AB，

所以四邊形ACBE為矩形.

所以∠ACB=90°.

評注 此解法也很簡潔，倍長中線構造平行四邊形，是解決中線問題的常用方法.

證法3 如圖3，分別取AC，BC的中點E，F(xiàn)，連接EF.

所以EF=12AB，DF//AC，DE//BC.

所以四邊形DECF為平行四邊形.

又因為CD=12AB=EF，所以四邊形DECF為矩形.

所以∠ACB=90°.

證法4 如圖4，取BC的中點M，連接DM，則DM//AC.

所以∠ACB=∠DMB.

因為CD=12AB=BD，

所以DM⊥BC，即∠DMB=90°.

所以∠ACB=90°.

評注 上述兩種解法也很簡潔，見中點，取中點構造三角形的中位線是破解中點問題的常用方法.

證法5 如圖5，延長BC至點E，使得CE=BC，則CD=12AE.

因為CD=12AB，所以AB=AE.

所以AC⊥BE.

所以∠ACB=90°.

評注 此解法也很簡潔，見中點，倍長線段構造三角形的中位線是破解中點問題的另一方法.

證法6 因為CD=12AB=BD=AD，

所以點D是△ABC的外心.

因為AB是△ABC外接圓的直徑，所以∠ACB=90°.

評注 妙用外接圓，結論顯而易見.

證法7 如圖6，過點C作CH⊥AB于點H，設AD =BD= CD=m，DH=x，

則AH=m+x，BH=m-x.

則CH2=m2-x2.

所以BC2=（m-x）2+m2-x2，AC2=（m+x）2+m2-x2.

可得BC2+AC2=（m-x）2+m2-x2+（m+x）2+m2-x2=4m2=AB2.

所以∠ACB=90°.

評注 此解法看似繁瑣，其實僅僅用了勾股定理及其逆定理，巧妙計算得證.

證法8 如圖7，分別過點A，B作AH⊥CD ，BE⊥CD ，垂足分別為點D，E.

設AD =BD= CD=m，DE=x，則CE=m-x.

易證△BED≌△AHD.

所以BE=AH，DH=DE=x，

CH=m+x.

因為CE·CH=（m-x）（m+x）=m2-x2=BE2=BE·AH，所以CEAH=BECH.

故Rt△BCE∽Rt△CAH，可得∠ACH=∠CBE.

因為∠CBE+∠BCE=90°，所以∠ACH+∠BCE=90°，即∠ACB=90°.

評注 此解法略顯繁瑣，但作兩條垂線也是解決中點問題常見的輔助線.

證法9 如圖8，作Rt△EFG，使得∠EGF=90°，EF=AB，EG=AC，HG為斜邊上的中線.

則HG=12EF=HE.

因為CD=12AB=AD，

所以AD=HE，CD=HG.

所以△ADC≌△EHG.

可得∠A=∠E，進而△ABC≌△EFG.

所以∠ACB=∠EGF=90°.

評注 此解法為構造法，靈感來源于勾股定理逆定理的證明方法，頗有滋味.

解決問題的策略、方法和途徑可以是多樣性的，《數(shù)學課程標準（2011年版）》強調了這種“多樣性”，并且希望學生由此發(fā)展創(chuàng)新意識.學生獨立思考，自己發(fā)現(xiàn)和提出問題，是對創(chuàng)新意識的一種培養(yǎng).因此，教師要合理利用教材內容，因勢利導，適時鼓勵學生思考和交流，形成自己對問題的理解，對比認識方法不同的優(yōu)劣，同時體驗“解決問題方法的多樣性”，這需要教師課前做足“功課”，精心“預設”，課堂上“放手”探究，才能讓“不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展”的理念真正落到實處.無需遨游題海，關注并研究典型例題、習題教學的可持續(xù)性就是一個極好的途徑.

（收稿日期：2019-04-23）