具有免疫抑制和雙時滯的HIV 感染模型分析

國 會，胡志興

(北京科技大學數(shù)理學院，北京 100083)

艾滋病是由感染HIV 病毒引起的，HIV 病毒對人體的免疫系統(tǒng)有很強的攻擊性，至今仍沒有有效的藥物來治愈這類傳染病. 所以，近年來大量的數(shù)學模型來定量或定性的分析其傳染過程，這對弄清艾滋病的傳染機理以及對治療、控制艾滋病傳染具有重要的指導意義. 自Perelson 等人[1]提出經(jīng)典模型，之后很多學者對模型進行了修改和完善，包括考慮潛伏期，CTL 免疫反應的影響[2-5]. Wang Y 等人又在此基礎上考慮了時滯對HIV 病毒傳染的影響[6-9]，使模型更具有生物學意義. 很多HIV 數(shù)學模型都考慮的是飽和發(fā)生率，非線性發(fā)生率等等. Liao F 等人在此基礎上考慮了細胞免疫抑制的HIV 數(shù)學模型[10-12]， 但是卻忽略的細胞內(nèi)時滯以及CLT 免疫反應時滯對動力學模型的影響.

本文研究了具有雙時滯且考慮CLT 免疫細胞抑制作用的HIV 病毒感染的動力學模型：

1 模型系統(tǒng)(1）的分析

系統(tǒng)(1)的初始條件滿足：

其中

下面討論解的非負性：由系統(tǒng)(1)我們可以得到

其中

2 平衡點的穩(wěn)定性

即

即

其中

的根.

因此，，

其中

根據(jù)文獻[13]的命題4.8.1，有如下引理

3 內(nèi)部平衡點的局部穩(wěn)定性和Hopf 分支

即

其中

由方程(3.2)得特征方程：

其中

因為

由Routh-hurwitz 判據(jù)可知，方程(3.3)僅有負實部的根當且僅當條件()成立. 所以()成立時，內(nèi)部平衡點是局部漸近穩(wěn)定的.

由方程(3.3)得特征方程：

其中

其中

定義

由文獻[14 -15]，得到下面引理.

引理3.1 如果方程(3.7)滿足如下條件.

若方程(3.7)滿足任一上述條件，則至少存在一個正實根.

則方程(3.7)無正實根.

不失一般性，我們不妨假設方程(3.7)有四個正實根，分別為然后方程(3.6)的四個正根分別為根據(jù)方程(3.5)得到

因此，

由方程(3.2)得特征方程：

其中

其中

由文獻[15]的定理2.1 得到如下引理.

引理3.2 對于方程(3.13)有如下條件：

若方程(3.13)滿足任一上述條件，則方程(3.13)至少存在一個正實根.

則方程(3.13)沒有正實根.

不失一般性，我們假設方程(3.13)有四個正實根，分別為而且方程(3.12)就有四個正實根

從方程(3.11)我們可以得到：

由方程(3.11)得：

從而

假設方程(3.15)有純虛根，帶入方程(3.15)，分離實部和虛部得：

解得：

其中

其中

其中

因此

其中

其中

其中

將方程(3.22)中的兩個方程平方后相加，得到：

其中

其中

其中

因此，

4 數(shù)值模擬

在這一部分中，通過MATLAB 對平衡點進行了簡單的數(shù)值模擬.

對于情形1 選取參數(shù)的選取如下所示：

選取初值(9716，0.7961，0.0326，0.7822)，計算.當時，所選參數(shù)滿足情形1，此時內(nèi)部平衡點是局部漸近穩(wěn)定的，如圖1 所示：

圖1 時，漸近穩(wěn)定Fig.1 is locally asymptotically stable when

在情形2 中選取如下參數(shù)：

圖2 時系統(tǒng)的相圖Fig.2 Phase diagram of the system for

在情形3 中選取參數(shù)如下：

圖3 時系統(tǒng)的相圖Fig.3 Phase diagram of the system for

在情形4 中選取參數(shù)如下：

圖4 時系統(tǒng)的相圖.Fig.4 Phase diagram of the system for .

圖5 時系統(tǒng)的相圖Fig.5 Phase diagram of the system for

5 結論

本文建立了具有免疫抑制及兩時滯的HIV 病毒感染模型. 主要由Routh -Hurwitz 判據(jù)等方法證明了兩邊部平衡點產(chǎn)生影響.將兩時滯作為作為分支參數(shù)分析了不同情形下內(nèi)部平衡點Hopf 分支的存在情況，結論表明時滯可能會使正平衡點擾動，進而產(chǎn)生周期解.由于沒有臨床醫(yī)學數(shù)據(jù)，沒有具體研究病毒復制的抑制率對免疫細胞濃度的影響.事實上，未來還有更復雜的模型值得考慮，比如考慮細胞的Logistic 增長，空間擴散等.