近世代數(shù)中某些問題的幾何解釋

鄭雨婷 陳匯 孫美寧

近世代數(shù)又稱抽象代數(shù)，其作為數(shù)學(xué)的一門學(xué)科，主要研究對象是代數(shù)結(jié)構(gòu)，比如群、環(huán)、域、模、矢量空間和代數(shù)。近世代數(shù)這門課程具有極高的抽象性，在一定程度上，這門課程中的很多概念是從一些具體的數(shù)學(xué)模型中抽象出的一般結(jié)構(gòu).另外，每一次抽象回到具體，能夠化解一些具體問題，甚至能解決一些以前不能解決的問題。

幾何學(xué)與近世代數(shù)相聯(lián)系，用幾何的知識如：圖形變換、向量運算和空間曲面等，來解釋近世代數(shù)的相關(guān)問題，將抽象的近世代數(shù)問題具體化，使學(xué)者在學(xué)習(xí)過程中更加直接明了的理解相關(guān)理論。

近世代數(shù)不同于高等代數(shù)的深化具體，更偏向于抽象。國內(nèi)雖早已對其有研究，還有很大的空間等待我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)和思考。我們從學(xué)生的角度出發(fā)，以課本為基礎(chǔ)，思索問題的方法更新穎。

1 研究背景

近世代數(shù)是數(shù)學(xué)系本科的一門重要專業(yè)基礎(chǔ)課， 也是學(xué)習(xí)代數(shù)數(shù)論、代數(shù)幾何、代數(shù)拓?fù)涞然A(chǔ)數(shù)學(xué)課程及計算代數(shù)、編碼等應(yīng)用數(shù)學(xué)課程所必需的一門基礎(chǔ)課。近世代數(shù)是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)一門非常重要的專業(yè)必修課， 其特點是高度抽象， 邏輯性強(qiáng)， 推理嚴(yán)謹(jǐn)。學(xué)生普遍認(rèn)為是一門難懂難學(xué)的課程， 加之課程由大學(xué)三年一期開設(shè)， 提前到二年一期， 更加加大了學(xué)生的壓力。因此讓近世代數(shù)變得更直觀，易理解顯得尤為重要。

2 研究內(nèi)容

為了達(dá)到研究目的，我們主要通過參考圖書館文獻(xiàn)，通過已學(xué)習(xí)的知識，針對確立的具體問題，將近世代數(shù)與幾何思想進(jìn)行轉(zhuǎn)變與融合。研究內(nèi)容具體如下：

1. 近世代數(shù)也是一些幾何模型的抽象，群的定義引入就可以用幾何對稱圖形

例如，歐氏平面上正交變換構(gòu)成群，所以正交變換具有下列三個性質(zhì)：

• 恒等變換是正交變換
• 正交變換的逆變換是正交變換
• 兩個正交變換的乘積仍然是正交變換
• 近世代數(shù)的一些思想可以用過具體的幾何圖像得以直觀的解釋，比如配給的分類思想，見下例：
• 是群R關(guān)于子群H的包含r的一個陪集。對于一個給定的r，凡是可以寫成2kπ+r的數(shù)都在中，它們是實數(shù)軸上相距2k的所有點組成的點集。

2.3群的圖像是用平面或空間有向線段來表示群的網(wǎng)絡(luò)圖

它是19世紀(jì)數(shù)學(xué)家凱萊首先引進(jìn)的，因此群的圖像也稱凱萊圖。

例如：設(shè)G=〈a〉是3階循環(huán)群，G={e，a，a²}。在平面上任取一點e作為起點，e是群的單位元，以標(biāo)有箭頭的有向線段表示右乘群G的生成元a，有向線段的終點是右乘a的結(jié)果。右乘a的逆元a^-1是沿著與箭頭所指方向相反的方向移動一條有向線段。3階循環(huán)群G=〈a〉的圖像如圖1所示。

循環(huán)群的圖像有以下特點：

①循環(huán)群有多少個元素，他的圖像上就有多少個頂點，任何一個頂點都可以作為起點表示單位元e;

②在每一個頂點處有兩條線段，沿箭頭方向移動一條有向線段，表示右乘生成元，沿著與箭頭相反的方向一動一條有向線段，表示右乘生成元的逆元;

③圖像網(wǎng)絡(luò)采用什么形狀沒有特殊要求，只要不有損數(shù)學(xué)意義，可選擇較美觀的形狀。

除以上內(nèi)容，還可以在近世代數(shù)的群，環(huán)，域的不同部分，選取適當(dāng)?shù)闹R點理論，對其分析研究，將理論的描述，用幾何中的圖形變換、向量運算和空間曲面等進(jìn)行，對它的性質(zhì)，特點進(jìn)行描述，使抽象的理論具體化，方便應(yīng)用于解決其他領(lǐng)域相關(guān)問題。

3 創(chuàng)新之處

①將近世代數(shù)中某些抽象的概念與幾何圖形相聯(lián)系，更加突出理論中所強(qiáng)調(diào)的重點，加深初學(xué)者對于理論內(nèi)容的理解，記憶程度，便于應(yīng)用。

②從學(xué)生的角度出發(fā)，為初學(xué)者加深對抽象代數(shù)學(xué)的理解，學(xué)好這門科學(xué)提供便利途徑，在教與學(xué)的過程中，使代數(shù)與幾何相互聯(lián)系、相互促進(jìn)。

③培養(yǎng)學(xué)生運用代數(shù)與幾何相聯(lián)系的方法分析問題解決問題的能力。

4 應(yīng)用前景

近世代數(shù)也是幾何模型的抽象，由幾何對稱圖形引入群的定義;近世代數(shù)的一些思想可以通過具體的幾何圖得以直觀的解釋。將近世代數(shù)與幾何的相互結(jié)合與滲透，在未來近世代數(shù)的課程中，將會改變近世代數(shù)的教授方法，將代數(shù)與幾何聯(lián)系起來，使學(xué)生們后更直觀地學(xué)習(xí)近世代數(shù)這門學(xué)科。而學(xué)生通過對近世代數(shù)的更深入地學(xué)習(xí)，將之前認(rèn)為純理論化的東西，轉(zhuǎn)換為可以解決生活中實際問題的有效工具（例如，例如在墻紙裝飾上結(jié)合群的知識實現(xiàn)圖形覆蓋），并且應(yīng)用近世代數(shù)的視角更好的解決問題，例如，正方形的對稱群問題，二元域，凱撒密碼，分子同構(gòu)問題等。

項目名稱：近世代數(shù)中某些問題的幾何解釋，項目編號：L（B）2018088，項目級別：B級。

（作者單位：沈陽師范大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院）