2019 年高考中的“三角函數(shù)和三角變換”

■江蘇省沭陽(yáng)如東中學(xué) 彭 菡

2019年高考三角函數(shù)和三角變換主要圍繞“三角函數(shù)定義、三角公式求值、方程組觀念的應(yīng)用、三角函數(shù)圖像性質(zhì)、三角函數(shù)區(qū)間上的零點(diǎn)和值域”等問(wèn)題展開(kāi)的，彰顯“整體變量觀念、轉(zhuǎn)化化歸和數(shù)形結(jié)合”素養(yǎng)的具體應(yīng)用。

題型一——三角函數(shù)定義、同角關(guān)系誘導(dǎo)公式及和差角公式

例1(2019年高考江蘇卷13)已知的值是

解析：由題意首先求得t a nα的值，然后利用兩角和差正余弦公式和二倍角公式將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為齊次式求值的問(wèn)題，最后切化弦求得三角函數(shù)式的值即可。由得解得

點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，滲透了邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。采取轉(zhuǎn)化法，利用分類討論和轉(zhuǎn)化與化歸思想解題。

題型二——二倍角公式及方程組觀念求值

例2(2019年高考全國(guó)Ⅱ卷文11理10)已知，則

解析：利用二倍角公式得到正余弦關(guān)系，利用角的范圍及正余弦平方和為1的關(guān)系求得答案。因?yàn)? sin2α=cos2α+1，所 以因?yàn)?，?/p>

點(diǎn)睛：本題為三角函數(shù)中二倍角公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的考查，中等難度，判斷正余弦的正負(fù)及運(yùn)算的準(zhǔn)確性是關(guān)鍵，題目不難，需細(xì)心，解決三角函數(shù)問(wèn)題，研究角的范圍后得出三角函數(shù)值的正負(fù)，很關(guān)鍵，切記不能憑感覺(jué)。

題型三——經(jīng)過(guò)三角變化探究y=Asin(ω x+φ)+B，y=Acos(ω x+φ)+B的性質(zhì)

例3(2019年高考全國(guó)Ⅲ卷文5)函數(shù)f(x)=2 sinx-sin2x在[0，2 π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )。

A.2 B.3 C.4 D.5

解析：令f(x)=0，得sinx=0或cosx=1，再根據(jù)x的取值范圍可求得零點(diǎn)。

由f(x)=2 sinx-sin2x=2 sinx-2 sinxcosx=2 sinx(1-cosx)=0，得sinx=0或cosx=1。因?yàn)閤∈[0，2 π]，所以x=0或π或2 π。所以f(x)在[0，2 π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是3。故選B。

點(diǎn)睛：本題考查在一定范圍內(nèi)的函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，滲透了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。采取特殊值法，利用數(shù)形結(jié)合和方程思想解題。

題型四——經(jīng)過(guò)圖像變換探究函數(shù)解析式求值

例4(2019年高考天津卷文7)已知函數(shù)f(x)=Asin(ω x+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)是奇函數(shù)，且f(x)的最小正周期為π，將y=f(x)的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)。若，則( )。

解析：只需根據(jù)函數(shù)性質(zhì)逐步得出A，ω，φ值即可。由f(x)為奇函數(shù)，可知f(0)=Asinφ=0，由|φ|＜π可得φ=0；把其圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，得，由g(x)的最小正周期為2 π可得ω=2，由，可得A=2，所以，所以故選C。

點(diǎn)睛：本題考查五點(diǎn)法確定函數(shù)解析式及圖像變換法求f(x)=Asin(ω x+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的思維方法。

題型五——經(jīng)過(guò)三角變換探究f(x)=Asin(ω x+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的性質(zhì)

例5(2019年高考浙江卷18)設(shè)函數(shù)f(x)=sinx，x∈R。

(1)已知θ∈[0，2 π)，函數(shù)f(x+θ)是偶函數(shù)，求θ的值；

解析：(1)由函數(shù)的解析式及偶函數(shù)的性質(zhì)即可確定θ的值，由已知函數(shù)的解析式可得f(x+θ)=sin(x+θ)，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則當(dāng)x=0時(shí)，即，結(jié)合θ∈[0，2 π)可取k=0，1，相應(yīng)的θ值為

(2)通過(guò)降次結(jié)合輔助角公式整理函數(shù)的解析式為y=Asin(ω x+φ)+B的形式，然后確定其值域。由函數(shù)的解析式可得：

點(diǎn)睛：本題主要考查由三角函數(shù)的奇偶性確定參數(shù)的值，三角函數(shù)值域的求解，三角函數(shù)式的整理變形等知識(shí)，意在考查同學(xué)們的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力。