■北京八十中雄安校區(qū) 王立彬
我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了基本不等式,知道它的適用范圍和條件是“一正、二定、三相等”。但在解決一些實(shí)際問(wèn)題時(shí),我們還需要認(rèn)識(shí)基本不等式與雙勾函數(shù)之間的關(guān)系。
例1設(shè)函數(shù)
(1)當(dāng)a=2時(shí),求函數(shù)f(x)的最小值;
(2)當(dāng)0<a<1時(shí),求函數(shù)f(x)的最小值。
解析:(1)把a(bǔ)=2代入f(x)=x+,得-1,因?yàn)閤>0,所以,所以,當(dāng)且僅當(dāng)x+1=,即時(shí),f(x)取等號(hào),此時(shí)
(2)當(dāng)0<a<1時(shí)-1,令t=x+1,得前面我們已經(jīng)分析了此函數(shù)為雙勾函數(shù)的平移函數(shù),在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞增,當(dāng)t=1時(shí),函數(shù)取得最小值,即f(x)min=a。
總結(jié):(1)若利用基本不等式解決最小值問(wèn)題,需要將函數(shù)配湊,并通過(guò)還原得到雙勾函數(shù)的形式。然后利用基本不等式的定積求和的形式求最小值,此時(shí)要注明等號(hào)成立的條件。(2)在配湊以后,如果用基本不等式1來(lái)解決,我們發(fā)現(xiàn)等號(hào)在時(shí)成立,不滿足x>0的條件。利用已經(jīng)分析的雙勾函數(shù)圖像特點(diǎn),我們可以清楚地發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的原因,應(yīng)用基本不等式解決函數(shù)f(t)=的最值,需要在定義域內(nèi),或者說(shuō),用基本不等式求得的最小值,是雙勾函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)的極值點(diǎn)。
例2當(dāng)x>-1時(shí),求f(x)=的最小值。
解析:整理,因?yàn)閤>-1,所以x+1>0,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即x=5-1時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)
總結(jié):解決此類函數(shù)問(wèn)題經(jīng)常要利用拆項(xiàng)、添項(xiàng)、配湊、分離、減少變?cè)确椒?,?gòu)造函數(shù)為的形式來(lái)解題,并且等號(hào)成立時(shí)要在定義域范圍內(nèi)取到。
例3求函數(shù)的最小值。
解析,令得≥2),對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得,當(dāng)t≥2時(shí),f′(t)≥0恒成立。所以函數(shù)f(t)=t+在區(qū)間[2,+∞)上單調(diào)遞增,當(dāng)t=2時(shí),函數(shù)取得最小值,所以f(x)min
總結(jié):通過(guò)構(gòu)造函數(shù)后,我們分析題中的條件為t≥2,等號(hào)成立的條件t=1不在定義域范圍內(nèi),所以我們需要另辟蹊徑通過(guò)函數(shù)求導(dǎo)的方法,利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解決問(wèn)題。
例4求函數(shù)0)的最大值。
解析:整理,因?yàn)閤>0,所以,當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)等號(hào)成立,所以即
總結(jié):有一部分同學(xué)經(jīng)常會(huì)把例4這種題型,和分離變量的問(wèn)題弄混,本題中的原函數(shù)的分子冪次低于分母冪次,所以同時(shí)除以分子,此時(shí)分子為常數(shù),分母構(gòu)造為對(duì)勾函數(shù)的形式。為了方便理解,我們舉例f(x)=整理為f(x)=,分子、分母同除以x+1得分母可構(gòu)造為雙勾函數(shù)。例5求函數(shù)0)的最大值。
解析:因?yàn)閤<0,所以-x>0,所以當(dāng)且僅當(dāng)-3x=,即時(shí)等號(hào)成立,所以3x+,即f(x),得
總結(jié):當(dāng)自變量x為負(fù)值,不滿足“一正”時(shí),可以通過(guò)提取負(fù)號(hào)滿足條件,應(yīng)用基本不等式,結(jié)合用導(dǎo)數(shù)對(duì)函數(shù)單調(diào)性分析,我們也可以清楚知道,雙勾函數(shù)在(-∞,0)上有極大值,用基本不等式求得的最值點(diǎn),就是雙勾函數(shù)在區(qū)間(-∞,0)上的極大值點(diǎn)。
例6已知2x+8y=x y(x>0,y>0),求x+y的最小值。
解析:由x>0,y>0,等式2x+8y=x y兩邊同乘以,所以x+y=8,所以x+y的最小值為8。
總結(jié):首先需要將等式2x+8y=x y變形整理為的形式,等式右側(cè)要求是常數(shù)1,再與x+y相乘,當(dāng)令時(shí),則,所以本題實(shí)際上也是對(duì)勾函數(shù)求最值問(wèn)題。我們也可以將2x+8y=x y變形為,通過(guò)減元來(lái)求解問(wèn)題。