雙勾函數(shù)與基本不等式

■北京八十中雄安校區(qū) 王立彬

我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了基本不等式，知道它的適用范圍和條件是“一正、二定、三相等”。但在解決一些實(shí)際問題時(shí)，我們還需要認(rèn)識(shí)基本不等式與雙勾函數(shù)之間的關(guān)系。

例1設(shè)函數(shù)

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值；

(2)當(dāng)0＜a＜1時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值。

解析：(1)把a(bǔ)=2代入f(x)=x+，得-1，因?yàn)閤＞0，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)x+1=，即時(shí)，f(x)取等號(hào)，此時(shí)

(2)當(dāng)0＜a＜1時(shí)-1，令t=x+1，得前面我們已經(jīng)分析了此函數(shù)為雙勾函數(shù)的平移函數(shù)，在區(qū)間[1，+∞)上單調(diào)遞增，當(dāng)t=1時(shí)，函數(shù)取得最小值，即f(x)min=a。

總結(jié)：(1)若利用基本不等式解決最小值問題，需要將函數(shù)配湊，并通過還原得到雙勾函數(shù)的形式。然后利用基本不等式的定積求和的形式求最小值，此時(shí)要注明等號(hào)成立的條件。(2)在配湊以后，如果用基本不等式1來解決，我們發(fā)現(xiàn)等號(hào)在時(shí)成立，不滿足x＞0的條件。利用已經(jīng)分析的雙勾函數(shù)圖像特點(diǎn)，我們可以清楚地發(fā)現(xiàn)問題的原因，應(yīng)用基本不等式解決函數(shù)f(t)=的最值，需要在定義域內(nèi)，或者說，用基本不等式求得的最小值，是雙勾函數(shù)在區(qū)間(0，+∞)內(nèi)的極值點(diǎn)。

例2當(dāng)x＞-1時(shí)，求f(x)=的最小值。

解析：整理，因?yàn)閤＞-1，所以x+1＞0，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即x=5-1時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)

總結(jié)：解決此類函數(shù)問題經(jīng)常要利用拆項(xiàng)、添項(xiàng)、配湊、分離、減少變?cè)确椒?，?gòu)造函數(shù)為的形式來解題，并且等號(hào)成立時(shí)要在定義域范圍內(nèi)取到。

例3求函數(shù)的最小值。

解析，令得≥2)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，當(dāng)t≥2時(shí)，f′(t)≥0恒成立。所以函數(shù)f(t)=t+在區(qū)間[2，+∞)上單調(diào)遞增，當(dāng)t=2時(shí)，函數(shù)取得最小值，所以f(x)min

總結(jié)：通過構(gòu)造函數(shù)后，我們分析題中的條件為t≥2，等號(hào)成立的條件t=1不在定義域范圍內(nèi)，所以我們需要另辟蹊徑通過函數(shù)求導(dǎo)的方法，利用函數(shù)的單調(diào)性來解決問題。

例4求函數(shù)0)的最大值。

解析：整理，因?yàn)閤＞0，所以，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)等號(hào)成立，所以即

總結(jié)：有一部分同學(xué)經(jīng)常會(huì)把例4這種題型，和分離變量的問題弄混，本題中的原函數(shù)的分子冪次低于分母冪次，所以同時(shí)除以分子，此時(shí)分子為常數(shù)，分母構(gòu)造為對(duì)勾函數(shù)的形式。為了方便理解，我們舉例f(x)=整理為f(x)=，分子、分母同除以x+1得分母可構(gòu)造為雙勾函數(shù)。例5求函數(shù)0)的最大值。

解析：因?yàn)閤＜0，所以-x＞0，所以當(dāng)且僅當(dāng)-3x=，即時(shí)等號(hào)成立，所以3x+，即f(x)，得

總結(jié)：當(dāng)自變量x為負(fù)值，不滿足“一正”時(shí)，可以通過提取負(fù)號(hào)滿足條件，應(yīng)用基本不等式，結(jié)合用導(dǎo)數(shù)對(duì)函數(shù)單調(diào)性分析，我們也可以清楚知道，雙勾函數(shù)在(-∞，0)上有極大值，用基本不等式求得的最值點(diǎn)，就是雙勾函數(shù)在區(qū)間(-∞，0)上的極大值點(diǎn)。

例6已知2x+8y=x y(x＞0，y＞0)，求x+y的最小值。

解析：由x＞0，y＞0，等式2x+8y=x y兩邊同乘以，所以x+y=8，所以x+y的最小值為8。

總結(jié)：首先需要將等式2x+8y=x y變形整理為的形式，等式右側(cè)要求是常數(shù)1，再與x+y相乘，當(dāng)令時(shí)，則，所以本題實(shí)際上也是對(duì)勾函數(shù)求最值問題。我們也可以將2x+8y=x y變形為，通過減元來求解問題。