歸納數(shù)列中常見的易錯題型

■河南省平輿縣第一高級中學 李合舉

一、數(shù)列概念理解不透，由Sn求an時忽略n=1的情況

對于數(shù)列an與Sn之間有如下關(guān)系：an利用兩者之間的關(guān)系可以已知Sn求an。但注意只有在當a1適合an=Sn-Sn-1(n≥2)時兩者才可以合并，否則要寫成分段函數(shù)的形式。

例1已知數(shù)列{an}的前n項之和Sn=a qn(a≠0，q≠1，q為非零常數(shù))，則{an}為( )。

A.等差數(shù)列

B.等比數(shù)列

C.既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列

D.既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列

錯解：因為an+1=Sn+1-Sn=a qn+1-a qn=a qn(q-1)，所以an=Sn-Sn-1=a qn-1(q-1)，所以(常數(shù))，所以{a}為等比n數(shù)列。故選B。

錯因分析：錯解中忽略了an=Sn-Sn-1時的隱含條件n＞1。

正解：當n=1時，a1=S1=a q；當n≥2時，所以q(常數(shù))，但因為，所以{an}既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列。故選C。

同類題型：已知數(shù)列{an}的前n項之和為Sn=n2+n+1，則數(shù)列{an}的通項公式為

解析：當n=1時，a1=S1=3；

當n≥2時，an=n2+n+1-(n-1)2-(n-1)-1=2n。

二、忽視對等比數(shù)列中公比的分類討論

等比數(shù)列求和公式應用時要對q=1，q≠1討論。

例2設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn。若S3+S6=2S9，求數(shù)列{an}的公比q。

錯解：因 為S3+S6=2S9，所 以，整理得q3(2q6-q3-1)=0。

由q≠0得方程2q6-q3-1=0，所以，所以或q=1。

錯因分析：在錯解中，由，整理得q3(2q6-q3-1)=0時，應有a1≠0和q≠1。在等比數(shù)列中，a1≠0是顯然的，但公比q完全可能為1，因此，在解題時應先討論公比q=1的情況，再在q≠1的情況下，對式子進行整理變形。

正解：若q=1，則有S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1。但a1≠0，即得S3+S6≠2S9，與題設矛盾，故q≠1。

同類題型：在數(shù)列{an}中，a1=1，a2=2，數(shù)列{anan+1}是公比為q(q＞0)的等比數(shù)列，則數(shù)列{an}的前2n項和

解析：因為數(shù)列{anan+1}是公比為q(q＞0)的等比數(shù)列，所以，即這表明數(shù)列{an}的所有奇數(shù)項成等比數(shù)列，所有偶數(shù)項成等比數(shù)列，且公比都是q。

又a1=1，a2=2，當q≠1時，S2n=a1+

當q=1時，S2n=a1+a2+a3+a4+…

三、利用函數(shù)知識求解數(shù)列相關(guān)問題時易忽略其定義域是正整數(shù)集或其子集

例3等差數(shù)列{an}的首項a1＞0，前n項和為Sn，當l≠m時，Sm=Sl。問：當n為何值時Sn最大?

易錯點分析：等差數(shù)列的前n項和是關(guān)于n的二次函數(shù)，可將問題轉(zhuǎn)化為求解關(guān)于n的二次函數(shù)的最大值，但易忘記此二次函數(shù)的定義域為正整數(shù)集這個限制條件。

解析：由題意知Sn=f(n)=n a1+，此函數(shù)是以n為變量的二次函數(shù)。因為a1＞0，當l≠m時，Sm=Sl，故d＜0，即此二次函數(shù)開口向下。由f(l)=f(m)知，當時，f(x)取得最大值，但由于n∈N*，故若l+m為偶數(shù)，當時，S最大。若ln+m為奇數(shù)，當時，Sn最大。

同類題型：設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a3=12，S12＞0，S13＜0。

(1)求公差d的取值范圍；

(2)指出S1，S2，…，S12中哪一個值最大，并說明理由。

易錯點分析：(1)依據(jù)S12＞0，S13＜0，直接列方程求解d的范圍即可；(2)判斷出轉(zhuǎn)折項即可找出前n項和的最大值。無論應用二次函數(shù)求最值，還是利用找轉(zhuǎn)折項求最值，兩種方法都具有一般性，但需要注意的是，利用二次函數(shù)求最值時，要注意n只能取正整數(shù)，找轉(zhuǎn)折項可以利用通項公式解不等式，但是計算比較煩瑣，這時可以合理選擇應用數(shù)列的性質(zhì)，以簡化運算和判斷。

解析：(1)依題意，有S12=12a1+

由a3=12，得a1=12-2d。 ③

(2)由d＜0可知a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13，因此，若在1≤n≤12中存在自然數(shù)n，使得an＞0，an+1＜0，則Sn就是S1，S2，…，S12中的最大值。由于S12=6(a6+a7)＞0，S13=13a7＜0，即a6+a7＞0，a7＜0，由此得a6＞-a7＞0。因為a6＞0，a7＜0，故在S1，S2，…，S12中，S6的值最大。

四、使用累加、累乘及相消法求和時，要正確辨別剩余項，以免出錯

例4求的值。

易錯點分析：本題解答時，若不從通項入手分析各項的特點就很難找到解題突破口，其次，在裂項抵消中間項的過程中，對消去哪些項剩余哪些項的規(guī)律不清而導致解題失誤。“裂項法”有兩個特點，一是每個分式的分子相同；二是每項的分母都是兩個(也可三個或更多)數(shù)相乘，且這兩個數(shù)的第一個數(shù)是前一項的第二個數(shù)，如果不具備這些特點，就要進行轉(zhuǎn)化。同時要明確消項的規(guī)律：一般情況下，剩余項是前后對稱的

解析：由等差數(shù)列的前n項和公式得所以n取 1，2，3，…，就 分 別 得 到

同類題型：求的值。

解析：令