例析極化恒等式在解題中的妙用

■湖北省襄陽市第一中學(xué) 王 勇(特級教師、正高級教師)

極化恒等式：對于平面向量a，b，通過恒等變形可得在△ABC中，若設(shè)是B C的中點(diǎn)，則再經(jīng)過幾何延伸，如圖1所示，由此可知極化恒等式可將平面向量的數(shù)量積關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)平面向量的長度關(guān)系，使不可度量的向量數(shù)量積關(guān)系轉(zhuǎn)化為可度量、可計(jì)算的數(shù)量關(guān)系，其意義非同凡響。下面舉例說明極化恒等式在解題中的妙用，旨在探索題型規(guī)律，揭示解題方法。

圖1

一、解決平面向量的數(shù)量積問題

1.巧求數(shù)量積的值。

例1(2018年黃岡市模擬題)已知過點(diǎn)A(0，1)，且斜率為k的直線l與圓C：(x-2)2+(y-3)2=1相交于M，N兩點(diǎn)，則

圖2

解析：如圖2所示，取MN的中點(diǎn)G，連接C G，CM，C A，則C G⊥MN。

點(diǎn)評：本題A，M，N三點(diǎn)共線，極化恒等式仍適用。借助垂徑定理、勾股定理及兩點(diǎn)間的距離公式即可得解。

2.界定數(shù)量積的取值范圍。

例2(2018年湖北省八校聯(lián)考題)已知A B是半圓O的直徑，A B=2，等邊三角形O C D的頂點(diǎn)C、D在半圓弧上，且C D∥A B，P是半圓弧上的動點(diǎn)，則的取值范圍是( )。

圖3

解析：如圖3，取線段C D的中點(diǎn)M，連接PM。由極化恒 等 式，得注意到，A B是半圓O的直徑，A B=2，△O C D是等邊三角形，O C=O D=C D=1，所以，所以

如圖3，連接OM并延長交半圓弧于N，連接BM，易知

因?yàn)镻是半圓弧上的動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到N點(diǎn)時(shí)，線段PM的長度最小，其最小值等于線段MN的長度；當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到B點(diǎn)時(shí)，線段PM的長度最大，其最大值等于線段BM的長度。

3.探求數(shù)量積的最值。

例3(2018年宜昌市調(diào)考題)如圖4，在半徑為1的扇形A O B中，∠A O B=60°，C為弧上的動點(diǎn)，弦A B與半徑O C交于點(diǎn)P，則的最小值為

圖4

解析：如圖5，取O B的中點(diǎn)M，連接PM。

圖5

當(dāng)點(diǎn)C在弧上運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)P在弦A B上運(yùn)動，過點(diǎn)M作MD⊥A B于D，則

在△A O B中，∠A O B=60°，O A=O B=1，且M為線段O B的中點(diǎn)，易知|MD|=

二、解決平面向量模的問題

例4(2018年浙江省五校聯(lián)考題)平面向量a，b滿足：a·b=4，|a-b|=3，則|a|的最大值是

解析：如圖6，令，線段A B的中點(diǎn)是M，由|a-b|=3得

圖6

由極化恒等式，得a·b=，解得

故|a|的最大值是4。

三、解決平面向量綜合性問題

例5(2018年浙江省五校聯(lián)考題)在長方體ABC D-A1B1C1D1中，A B=2，A D=4，A A1=4，O為對角線A C1的中點(diǎn)，過O的直線與長方體表面交于M，N兩點(diǎn)，P為長方體表面上的動點(diǎn)，則的取值范圍是

解析：由極化恒等式，得由已知條件可得